Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0,1,2) हैं। (3) खुला सिरा है इसलिए उसे नहीं गिनते। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0,1,2). The endpoint (3) is open, so it is not counted.
हल करने पर \(5\le 2x-3<15\) और फिर \(4\le x<9\) मिलता है। इसलिए (4) शामिल है लेकिन (9) शामिल नहीं है। / Solving gives \(5\le 2x-3<15\) and then \(4\le x<9\). Therefore (4) is included but (9) is excluded.
मूल अंतराल में (-4) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। पूरक में (-4) बाहर और (2) शामिल होगा। / The original interval includes (-4) but excludes (2). In the complement, (-4) is excluded and (2) is included.
दूसरा अंतराल (-1) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई अंतर नहीं बचता। संयुक्त भाग (5) से पहले तक की सभी संख्याएँ देता है। / The second interval includes (-1), so no gap remains. The union gives all numbers before (5).
दोनों अंतरालों का समान भाग (-2) से बड़ा और (4) से छोटा है। दोनों सीमाएँ इस समान भाग में शामिल नहीं हैं। / The common part is greater than (-2) and less than (4). Both endpoints are excluded in this intersection.
हल करने पर \(-5x\le 15\) और फिर \(x\ge -3\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमता का चिह्न बदलता है। / Solving gives \(-5x\le 15\) and then \(x\ge -3\). The inequality sign reverses when dividing by a negative.
A. 2 पर खाली वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Open circle at 2 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
असमानता को हल करने पर 4x+1>9 से 4x>8 और x>2 प्राप्त होता है। इसलिए 2 सीमा-बिंदु है, लेकिन > चिह्न के कारण 2 समाधान में शामिल नहीं है; अतः 2 पर खाली वृत्त बनाया जाता है। x के 2 से बड़े सभी मान दाईं ओर होते हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन किया जाता है। भरा वृत्त x≥2 या x≤2 जैसी असमता के लिए होता है। परीक्षा-युक्ति: > या < के साथ खाली वृत्त और ≥ या ≤ के साथ भरा वृत्त बनाइए। / Solving the inequality gives 4x+1>9, so 4x>8 and x>2. The boundary point 2 is not included because the inequality is strict; therefore, an open circle is placed at 2. All values greater than 2 lie to the right, so the right side is shaded. A closed circle would represent an inclusive inequality such as x≥2 or x≤2. Exam tip: use an open circle for > or < and a closed circle for ≥ or ≤.
खुला सिरा (a) को बाहर रखता है और बंद सिरा (b) को शामिल करता है। इसलिए अंतराल ((a,b]) होगा। / The open endpoint excludes (a), and the closed endpoint includes (b). Therefore the interval is ((a,b]).
दोनों अंतरालों का केवल सामान्य बिंदु (1) है। इसलिए संख्या रेखा पर (1) पर भरा बिंदु होगा। / The only common point of the two intervals is (1). So the number line has a closed point at (1).
पहले अंतराल में (0) शामिल है और दूसरा (0) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई खाली जगह नहीं रहती और ([-5,4]) बनता है। / The first interval includes (0), and the second starts after (0). So no gap remains and the result is ([-5,4]).
B. (1) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (1) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(5-2x\le 3\), फिर \(-2x\le -2\) और \(x\ge 1\) मिलता है। सीमा शामिल है इसलिए (1) बंद होगा। / Solving gives \(5-2x\le 3\), then \(-2x\le -2\), and \(x\ge 1\). The boundary is included, so (1) is closed.
((-1,4)) में (-1) और (4) शामिल नहीं हैं इसलिए पूरक में दोनों शामिल होंगे। अतः बाहरी भाग बंद सिरों के साथ होगा। / ((-1,4)) does not include (-1) and (4), so the complement includes both. Hence the outside regions have closed endpoints.
([2,5]) में (2) और (5) शामिल हैं इसलिए बाहर का भाग उन्हें शामिल नहीं करेगा। इसलिए दोनों सीमाएँ खुली रहेंगी। / Since ([2,5]) includes (2) and (5), the outside part will not include them. Thus both boundaries are open.
समान भाग (1) से शुरू होकर (6) से पहले तक है। (1) शामिल है और (6) शामिल नहीं है। / The common part starts at (1) and goes up to but not including (6). (1) is included and (6) is excluded.
दूसरा अंतराल (-4) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई खाली जगह नहीं बचती। संयुक्त अंतराल ([-10,2]) है। / The second interval includes (-4), so no gap remains in the middle. The combined interval is ([-10,2]).
(0) हटाने का अर्थ है (0) पर खाली वृत्त लगाना। बाकी (-3) और (7) शामिल रहेंगे। / Removing (0) means placing an open circle at (0). The endpoints (-3) and (7) remain included.
C. (2) और (9) दोनों शामिल नहीं हैं/Both (2) and (9) are not included
Explanation
Simple Explanation
खाली वृत्त सीमा को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए दोनों अंतिम बिंदु शामिल नहीं होंगे। / Open circles keep boundary points out of the solution. Therefore both endpoints are not included.
सरल करने पर \(3-2x\ge 1\), फिर \(-2x\ge -2\) और \(x\le 1\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलता है। / Simplifying gives \(3-2x\ge 1\), then \(-2x\ge -2\), and \(x\le 1\). The sign reverses when dividing by a negative.
हल करने पर (3x+6>2x-1) और (x>-7) मिलता है। कठोर असमता होने से (-7) खुला रहेगा। / Solving gives (3x+6>2x-1) and (x>-7). Since the inequality is strict, (-7) remains open.
हल करने पर \(2x-2\le x+4\) और \(x\le 6\) मिलता है। \(\le\) होने से (6) शामिल है। / Solving gives \(2x-2\le x+4\) and \(x\le 6\). Since \(\le\) is present, (6) is included.
A. −2 पर खुला वृत्त और दाईं ओर छायांकित किरण/Open circle at −2 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
असमिका \(x>-2\) में −2 शामिल नहीं है, इसलिए −2 पर खुला वृत्त बनाया जाता है। \(x\) के वे सभी मान −2 से बड़े हैं, इसलिए छायांकन दाईं ओर होगा। विकल्प B में भरा हुआ वृत्त −2 को शामिल करता है, जो \(x\geq -2\) के लिए होता है। परीक्षा टिप: ‘>’ या ‘<’ के लिए खुला वृत्त तथा ‘≥’ या ‘≤’ के लिए भरा हुआ वृत्त याद रखें। / In \(x>-2\), the value −2 is not included, so an open circle is used at −2. All values of \(x\) are greater than −2, so the shading extends to the right. Option B includes −2 with a filled circle; it represents \(x\geq -2\). Exam tip: use an open circle for ‘>’ or ‘<’, and a filled circle for ‘≥’ or ‘≤’.
पहले अंतराल में (-2) शामिल है और दूसरा उसके तुरंत बाद शुरू होता है। मिलकर ([-8,5)) बनता है। / The first interval includes (-2), and the second starts just after it. Together they form ([-8,5)).
\(|x|\ge 2\) में \(x\le -2\) या \(x\ge 2\) होता है। बराबरी शामिल है इसलिए दोनों बाहरी सिरे बंद होंगे। / \(|x|\ge 2\) means \(x\le -2\) or \(x\ge 2\). Equality is included, so the outer endpoints are closed.
(|x|>4) में (x<-4) या (x>4) होता है। दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं इसलिए खुले वृत्त होंगे। / (|x|>4) means (x<-4) or (x>4). Both boundaries are excluded, so open circles are used.
\(|x|\le 5\) का अर्थ है \(-5\le x\le 5\)। बराबरी होने से दोनों सिरे बंद होंगे। / \(|x|\le 5\) means \(-5\le x\le 5\). Since equality is present, both endpoints are closed.
यह दोनों ओर की सभी संख्याएँ लेता है लेकिन (2) को छोड़ देता है। संख्या रेखा पर (2) पर खाली वृत्त होगा। / It takes all numbers on both sides but leaves out (2). On the number line, (2) has an open circle.
A. (-2) से (6) तक छायांकन और (3) पर खाली वृत्त/Shading from (-2) to (6) with an open circle at (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\setminus{3}\) का अर्थ है (3) को हटाना। इसलिए बंद अंतराल में (3) पर खाली वृत्त दिखेगा। / The notation \(\setminus{3}\) means remove (3). So an open circle appears at (3) inside the closed interval.
(4) से गुणा करने पर \(-4\le x+2\le 12\) और फिर \(-6\le x\le 10\) मिलता है। दोनों सीमाएँ शामिल हैं। / Multiplying by (4) gives \(-4\le x+2\le 12\), then \(-6\le x\le 10\). Both endpoints are included.
