Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(-4) शामिल नहीं है और सभी छोटे मान शामिल हैं इसलिए (x<-4) होगा। परीक्षा में \(-\infty\) वाले अंतराल को बाईं रेखा समझें। / The value (-4) is excluded and all smaller values are included so (x<-4). In exams read an interval with \(-\infty\) as a left ray.
C. जब असमानता में (<) या (>) हो/When the inequality has (<) or (>)
Explanation
Simple Explanation
सख्त असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता इसलिए endpoint खुला होता है। परीक्षा में (<) और (>) को open dot से जोड़ें। / In a strict inequality the boundary value is not included so the endpoint is open. In exams connect (<) and (>) with open dots.
A. \(-\frac{5}{2}\) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at \(-\frac{5}{2}\) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) के कारण सीमा मान शामिल है और बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्न को संख्या रेखा पर सही स्थान पर रखें। / Because of \(\ge\) the boundary value is included and greater values are to the right. In exams place the negative fraction correctly on the number line.
दोनों बंद बिंदु बताते हैं कि (-8) और (2) शामिल हैं। परीक्षा में closed dots को \(\le\) वाले दोनों चिह्नों से जोड़ें। / Both closed dots show that (-8) and (2) are included. In exams connect closed dots with \(\le\) signs on both sides.
C. (-1) और (3) दोनों पर बंद बिंदु/Closed dots at both (-1) and (3)
Explanation
Simple Explanation
([-1,3]) में दोनों सिरों पर वर्ग कोष्ठक हैं इसलिए दोनों मान शामिल हैं। परीक्षा में closed interval के दोनों बिंदु बंद बनाएं। / The interval ([-1,3]) has square brackets at both ends so both values are included. In exams draw closed dots for both endpoints of a closed interval.
खुला बिंदु (1) को हटाता है और दाईं दिशा बड़े मानों को दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) वाले सिरे पर हमेशा गोल कोष्ठक होता है। / The open dot excludes (1) and the right direction shows greater values. In exams infinity endpoints always use round brackets.
C. (-7) शामिल नहीं है और (-2) शामिल है/(-7) is excluded and (-2) is included
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक (-7) को हटाता है और वर्ग कोष्ठक (-2) को शामिल करता है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं में भी सिरों का नियम वही रहता है। / The round bracket excludes (-7) and the square bracket includes (-2). In exams the endpoint rule stays the same for negative numbers.
B. (4) पर खुला बिंदु और बाकी पूरी रेखा/Open dot at (4) and the rest of the whole line
Explanation
Simple Explanation
\(x\ne 4\) में (4) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खुला दिखाएं। / The inequality \(x\ne 4\) includes all real numbers except (4). In exams show the removed point as an open dot.
A. (9) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (9) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,9]\) में (9) शामिल है और सभी छोटे मान लिए जाते हैं। परीक्षा में \(-\infty\) की ओर रेखा बाईं दिशा में होती है। / The interval (\(-\infty,9]\) includes (9) and all smaller values. In exams the ray toward \(-\infty\) goes left.
हल करने पर \(-2x\ge -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलकर \(x\le 2\) होता है। परीक्षा में ऋणात्मक से भाग देने पर असमानता का चिन्ह पलटें। / Solving gives \(-2x\ge -4\) and dividing by a negative changes the sign to \(x\le 2\). In exams reverse the inequality sign when dividing by a negative.
खुला बिंदु (-3) को हटाता है और बंद बिंदु (6) को शामिल करता है। परीक्षा में छायांकित भाग को बीच की असमानता में लिखें। / The open dot excludes (-3) and the closed dot includes (6). In exams write the shaded region as a compound inequality.
D. \(\frac{3}{2}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{3}{2}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में बराबरी शामिल है और छोटे मान बाईं ओर होते हैं। परीक्षा में भिन्न सीमा मान को भी सामान्य संख्या की तरह रखें। / The sign \(\le\) includes equality and smaller values lie to the left. In exams place a fractional boundary like any ordinary number.
(-5) शामिल है और (2) शामिल नहीं है इसलिए ([-5,2)) सही है। परीक्षा में बराबरी वाले सिरे पर वर्ग कोष्ठक लगाएं। / The value (-5) is included and (2) is excluded so ([-5,2)) is correct. In exams use a square bracket at the equality endpoint.
बंद बिंदु (8) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में दाईं रेखा के लिए (>) या \(\ge\) चुनें। / The closed dot includes (8) and the right direction shows greater values. In exams choose (>) or \(\ge\) for a right ray.
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि (0) और (4) शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दो खुले सिरों के लिए गोल कोष्ठक लगाएं। / Both open dots show that (0) and (4) are not included. In exams use round brackets for two open endpoints.
A. (3) पर खुला बिंदु और बाईं ओर रेखा/Open dot at (3) and ray to the left
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x<3) मिलता है इसलिए (3) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर खुला या बंद बिंदु तय करें। / Solving gives (x<3) so (3) is not included. In exams first find the boundary value then decide open or closed dot.
बंद बिंदु (-1) को शामिल करता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में बंद बिंदु के साथ \(\le\) या \(\ge\) का प्रयोग करें। / The closed dot includes (-1) and the left direction shows smaller values. In exams use \(\le\) or \(\ge\) with a closed dot.
C. (-6) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (-6) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) में बराबरी शामिल नहीं होती इसलिए खुला बिंदु लगेगा। परीक्षा में बड़े मानों के लिए रेखा दाईं ओर बनाएं। / The sign (>) does not include equality so the dot is open. In exams draw the ray to the right for greater values.
खुले सिरों का अर्थ है कि (0) और (6) दोनों शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दोनों खुले बिंदुओं के लिए ((0,6)) लिखें। / Open endpoints mean both (0) and (6) are not included. In exams write ((0,6)) for two open dots.
A. (5) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (5) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x\ge 5\) मिलता है इसलिए (5) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाएगी। परीक्षा में पहले असमानता सरल करें फिर संख्या रेखा बनाएं। / Solving gives \(x\ge 5\) so (5) is included and the ray goes right. In exams simplify the inequality first then draw the number line.
खुला बिंदु बताता है कि (3.5) शामिल नहीं है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में खुले बिंदु के लिए सख्त असमानता लिखें। / The open dot shows that (3.5) is not included and the left direction shows smaller values. In exams write a strict inequality for an open dot.
B. (-4) पर खुला बिंदु और (1) पर बंद बिंदु/Open dot at (-4) and closed dot at (1)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता और वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है। परीक्षा में (() को खुला और ([) को बंद याद रखें। / A round bracket endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. In exams remember (() means open and ([) means closed.
C. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (-2) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए बंद बिंदु लगेगा। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़े मानों की ओर देखें। / The sign \(\ge\) includes equality so the dot is closed. In exams always check the direction toward greater values.
पहला भाग (-1) से छोटा है और दूसरा भाग (3) सहित उससे बड़ा है। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें। / The first part is less than (-1), and the second part is (3) and greater. In exams, read \(\cup\) as or.
A. (x<4) इसलिए (4) पर खाली गोला और बाईं ओर/(x<4), so open circle at (4) and left side
Explanation
Simple Explanation
हल (2x<8) से (x<4) है। परीक्षा में कठोर असमानता के लिए खाली गोला लगाएँ। / The solution is (2x<8), so (x<4). In exams, use an open circle for a strict inequality.
A. जब सीमा-बिंदु हल में शामिल हो, जैसे \(x \le a\) या \(x \ge a\)/When the endpoint is included in the solution, such as \(x \le a\) or \(x \ge a\)
Explanation
Simple Explanation
भरा हुआ वृत्त बताता है कि सीमा-बिंदु स्वयं हल-समुच्चय में शामिल है। इसलिए \(x \le a\) और \(x \ge a\) में \(a\) पर भरा हुआ वृत्त बनता है। \(x < a\) या \(x > a\) में \(a\) शामिल नहीं होता, इसलिए वहाँ खोखला वृत्त बनाया जाता है। परीक्षा टिप: \(\le\) और \(\ge\) के साथ भरा वृत्त तथा \(<\) और \(>\) के साथ खोखला वृत्त याद रखें। / A filled circle shows that the endpoint itself belongs to the solution set. Hence, for \(x \le a\) and \(x \ge a\), a filled circle is marked at \(a\). In \(x < a\) or \(x > a\), the endpoint is excluded, so an open circle is used. Exam tip: associate \(\le\) and \(\ge\) with a filled circle, and \(<\) and \(>\) with an open circle.
B. (-4) पर भरा गोला और (2) पर खाली गोला/Closed circle at (-4) and open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
(-4) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) को भरा और (<) को खाली गोला मानें। / The number (-4) is included but (2) is not included. In exams, treat \(\le\) as closed and (<) as open.
A. (2) पर खाली गोला (7) पर भरा गोला और बीच का भाग/Open circle at (2) closed circle at (7) and shaded between
Explanation
Simple Explanation
(() का अर्थ सीमा शामिल नहीं और (]) का अर्थ सीमा शामिल है। परीक्षा में कोष्ठक देखकर गोला चुनें। / The bracket (() means not included and (]) means included. In exams, choose the circle type from the bracket.
B. (-3) पर भरा गोला और बाईं ओर रेखा/Closed circle at (-3) and line to the left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा संख्या शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। परीक्षा में भरे गोले का अर्थ शामिल समझें। / In \(\le\), the boundary number is included and smaller numbers lie to the left. In exams, a closed circle means included.
A. (4) पर खाली गोला और दाईं ओर रेखा/Open circle at (4) and line to the right
Explanation
Simple Explanation
(>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली गोला लगेगा। परीक्षा में दिशा चिन्ह से तय करें। / In (>), the boundary number is not included, so use an open circle. In exams, decide direction from the inequality sign.
