Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों खुले बिंदु बताते हैं कि दोनों endpoints शामिल नहीं हैं। परीक्षा में open-open segment को round brackets से लिखें। / Both open dots show that both endpoints are excluded. In exams write an open-open segment using round brackets.
(-3) से भाग देने पर दोनों चिन्ह पलटते हैं और \(-2\le x<5\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद endpoints का क्रम सही करें। / Dividing by (-3) reverses both signs and gives \(-2\le x<5\). In exams fix the endpoint order after negative division.
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le\) वाले endpoint को बंद और (>) वाले endpoint को खुला रखें। / For or take the union of both separate parts. In exams keep the \(\le\) endpoint closed and the (>) endpoint open.
(5) से गुणा करके और (3) घटाकर \(7\le x<12\) मिलता है। परीक्षा में positive multiplication से inequality sign नहीं बदलता। / Multiplying by (5) and subtracting (3) gives \(7\le x<12\). In exams positive multiplication does not reverse the inequality sign.
(-6) शामिल है और (-1) शामिल नहीं है इसलिए \(-6\le x<-1\) सही है। परीक्षा में negative endpoints को भी number line order में पढ़ें। / The value (-6) is included and (-1) is excluded so \(-6\le x<-1\) is correct. In exams read negative endpoints in number line order.
A. (4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open dot at (4) and ray right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x>4) मिलता है इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में पहले boundary निकालें फिर direction तय करें। / Solving gives (x>4) so (4) is not included. In exams first find the boundary and then decide the direction.
B. \(\frac{1}{2}\) पर बंद और \(4\) पर खुला बिंदु/Closed dot at \(\frac{1}{2}\) and open dot at \(4\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कोष्ठक \(\frac{1}{2}\) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक \(4\) को हटाता है। परीक्षा में brackets को सीधे endpoints में बदलें। / The square bracket includes \(\frac{1}{2}\) and the round bracket excludes \(4\). In exams convert brackets directly into endpoints.
बंद बिंदु (11) को शामिल करता है और दाईं दिशा बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में closed dot के साथ equality वाला चिन्ह चुनें। / The closed dot includes (11) and the right direction shows greater values. In exams choose the equality sign with a closed dot.
(-3) से भाग देने पर दोनों असमानता चिन्ह पलटते हैं और \(-2<x\le 4\) मिलता है। परीक्षा में negative division के बाद क्रम को सही रखें। / Dividing by (-3) reverses both inequality signs and gives \(-2<x\le 4\). In exams keep the order correct after negative division.
दोनों भाग अलग हैं और (1) तथा (4) दोनों शामिल हैं। परीक्षा में union में दोनों rays को अलग-अलग दिखाएं। / The two parts are separate and both (1) and (4) are included. In exams show both rays separately for a union.
खुला बिंदु (-9) को हटाता है और दाईं रेखा उससे बड़े मान लेती है। परीक्षा में (>) को (\(a,\infty\)) के रूप में लिखें। / The open dot excludes (-9) and the right ray takes values greater than it. In exams write (>) as (\(a,\infty\)).
पूरी वास्तविक रेखा (\(-\infty,\infty\)) से लिखी जाती है और infinity पर वर्ग कोष्ठक नहीं लगते। परीक्षा में infinity को endpoint मानकर शामिल न करें। / The whole real line is written as (\(-\infty,\infty\)) and square brackets are not used with infinity. In exams do not treat infinity as an includable endpoint.
B. (7) पर बंद बिंदु और दाईं रेखा/Closed dot at (7) and ray right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x-1\ge 6\) और \(x\ge 7\) मिलता है। परीक्षा में \(\ge\) होने पर endpoint बंद रखें। / Solving gives \(x-1\ge 6\) and \(x\ge 7\). In exams keep the endpoint closed for \(\ge\).
B. (0) बंद और \(\frac{9}{4}\) खुला/(0) closed and \(\frac{9}{4}\) open
Explanation
Simple Explanation
(0) पर बराबरी है इसलिए बंद बिंदु और \(\frac{9}{4}\) पर बराबरी नहीं है इसलिए खुला बिंदु होगा। परीक्षा में mixed endpoints को ध्यान से बनाएं। / There is equality at (0) so it is closed and no equality at \(\frac{9}{4}\) so it is open. In exams draw mixed endpoints carefully.
B. \(x\ge 3\) के रूप में दाईं रेखा/As \(x\ge 3\) with right ray
Explanation
Simple Explanation
\(3\le x\) को \(x\ge 3\) भी लिखा जा सकता है। परीक्षा में चर को बाईं ओर लिखकर दिशा समझना आसान होता है। / The inequality \(3\le x\) can also be written as \(x\ge 3\). In exams writing the variable on the left makes the direction easier to read.
दोनों खुले बिंदु सख्त असमानता बताते हैं इसलिए (-4<x<1) सही है। परीक्षा में open endpoints को (<) से लिखें। / Both open endpoints indicate strict inequalities so (-4<x<1) is correct. In exams write open endpoints using (<).
or में दोनों अलग-अलग भागों का union लिया जाता है। परीक्षा में \(\le -2\) पर बंद और (>3) पर खुला endpoint रखें। / For or take the union of both separate regions. In exams keep a closed endpoint for \(\le -2\) and an open endpoint for (>3).
दोनों शर्तें मिलकर (0<x<5) देती हैं और दोनों endpoints खुले हैं। परीक्षा में and का अर्थ common shaded part होता है। / The two conditions together give (0<x<5) and both endpoints are open. In exams and means the common shaded part.
सरल करने पर \(x\le 6\) मिलता है इसलिए (6) पर बंद बिंदु और बाईं रेखा होगी। परीक्षा में चर पदों को एक तरफ लाकर हल करें। / Simplifying gives \(x\le 6\) so there is a closed dot at (6) and a left ray. In exams bring variable terms to one side before representing.
B. (0) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray left
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,0]\) में (0) शामिल है और उससे छोटे मान शामिल हैं। परीक्षा में (\(-\infty,0]\) को \(x\le 0\) से जोड़कर याद रखें। / The interval (\(-\infty,0]\) includes (0) and all smaller values. In exams remember (\(-\infty,0]\) as \(x\le 0\).
खुला बिंदु सीमा को हटाता है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में negative fraction की दिशा पर खास ध्यान दें। / The open dot excludes the boundary and the left direction shows smaller values. In exams pay special attention to the direction for a negative fraction.
(-6) पर बराबरी है इसलिए वर्ग कोष्ठक और (-1) पर बराबरी नहीं है इसलिए गोल कोष्ठक होगा। परीक्षा में signs को brackets में बदलना अभ्यास करें। / There is equality at (-6) so use a square bracket and no equality at (-1) so use a round bracket. In exams practice converting signs into brackets.
((4,4)) में दोनों सिर खुले हैं और बीच में कोई संख्या नहीं बचती। परीक्षा में समान open endpoints वाला interval empty होता है। / In ((4,4)) both endpoints are open and no number remains between them. In exams an interval with equal open endpoints is empty.
यह असमानता केवल (x=2) को संतुष्ट करती है इसलिए एक बंद बिंदु बनेगा। परीक्षा में समान दोनों सिरों वाले closed interval को single point मानें। / This inequality is satisfied only by (x=2) so one closed dot is drawn. In exams treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
D. (0) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (0) and ray right
Explanation
Simple Explanation
\(x\ge 0\) में (0) शामिल है और उससे बड़े मान दाईं ओर हैं। परीक्षा में (0) को भी सीमा मान की तरह शामिल करें। / In \(x\ge 0\) the value (0) is included and greater values are to the right. In exams treat (0) as a boundary value too.
(-2) शामिल है और (5) शामिल नहीं है इसलिए ([-2,5)) सही है। परीक्षा में left endpoint और right endpoint अलग-अलग पढ़ें। / The value (-2) is included and (5) is excluded so ([-2,5)) is correct. In exams read the left and right endpoints separately.
पूरी असमानता को (2) से गुणा करने पर \(2\le x<8\) मिलता है। परीक्षा में धनात्मक से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying the whole inequality by (2) gives \(2\le x<8\). In exams the sign does not change when multiplying by a positive number.
A. (3) पर खुला और (8) पर बंद बिंदु/Open dot at (3) and closed dot at (8)
Explanation
Simple Explanation
((3,8]) में (3) हटता है और (8) शामिल होता है। परीक्षा में interval notation को सीधे endpoint dots में बदलें। / In ((3,8]) the value (3) is excluded and (8) is included. In exams convert interval notation directly into endpoint dots.
B. \(x\ge 2\) के रूप में बंद बिंदु और दाईं रेखा/As \(x\ge 2\) with closed dot and right ray
Explanation
Simple Explanation
हल में \(-4x\le -8\) आता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में sign reversal भूलना सबसे सामान्य गलती है। / The solution gives \(-4x\le -8\) and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams forgetting sign reversal is the most common error.
खुला बिंदु (6) को हटाता है और दाईं छाया (6) से बड़े मान दिखाती है। परीक्षा में \(\infty\) पर कभी वर्ग कोष्ठक न लगाएं। / The open dot excludes (6) and right shading shows values greater than (6). In exams never use a square bracket with \(\infty\).
