Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Class (11) में सामान्यतः \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), इसलिए (1) से (6) तक बिंदु होंगे। परीक्षा में domain natural हो तो only natural points mark करें। / Usually in Class (11), \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), so points from (1) to (6) are marked. In exams, if the domain is natural numbers, mark only natural points.
(x<0) में (0) खुला है और \(2\le x<5\) में (2) बंद तथा (5) खुला है। परीक्षा में or को union में बदलें। / In (x<0), (0) is open; in \(2\le x<5\), (2) is closed and (5) is open. In exams, convert or into union.
A. (x>-4), (-4) पर खुला बिंदु और दाईं ओर/(x>-4), open dot at (-4) shaded right
Explanation
Simple Explanation
(-3) से गुणा करने पर inequality reverse होकर (2x+5>-3) बनती है, इसलिए (x>-4)। परीक्षा में negative denominator हटाते समय चिन्ह पलटें। / Multiplying by (-3) reverses the inequality to (2x+5>-3), so (x>-4). In exams, reverse the sign when removing a negative denominator.
Closed ray में endpoint शामिल होता है और left ray का मतलब कम या बराबर है। परीक्षा में ray की दिशा और endpoint दोनों देखें। / A closed ray includes the endpoint, and a left ray means less than or equal. In exams, check both ray direction and endpoint.
Common भाग (2) से (3) तक है, पर (2) शामिल नहीं और (3) शामिल है। परीक्षा में intersection में endpoints की inclusion अलग से जाँचें। / The common part is from (2) to (3), but (2) is excluded and (3) is included. In exams, check endpoint inclusion separately in intersections.
A. (x<2), (2) पर खुला बिंदु और बाईं ओर/(x<2), open dot at (2) shaded left
Explanation
Simple Explanation
(7-3x>1) से (-3x>-6) और (x<2) मिलता है। परीक्षा में negative coefficient हो तो दिशा पलटती है। / (7-3x>1) gives (-3x>-6), hence (x<2). In exams, a negative coefficient reverses the direction.
\(\le -4\) बंद endpoint देता है और (>5) खुला endpoint देता है। परीक्षा में infinite side पर हमेशा round bracket लगाएँ। / \(\le -4\) gives a closed endpoint, and (>5) gives an open endpoint. In exams, always use round brackets on the infinite side.
यह पूरी संख्या रेखा है लेकिन (2) हटाया गया है। परीक्षा में missing open point को not equal समझें। / This is the whole number line except (2). In exams, treat a missing open point as not equal.
\(x^2\ge 16\) में \(|x|\ge 4\), इसलिए बाहर के दो closed भाग मिलते हैं। परीक्षा में \(\ge\) होने पर (-4) और (4) शामिल करें। / \(x^2\ge 16\) means \(|x|\ge 4\), giving two closed outer regions. In exams, include (-4) and (4) for \(\ge\).
([2,6)) के complement में (2) बाहर नहीं आता पर (6) शामिल होता है। परीक्षा में complement लेते समय endpoints उलटकर देखें। / The complement of ([2,6)) excludes (2) but includes (6). In exams, check endpoints carefully when taking complements.
\(6\le 2x\le 14\) से \(3\le x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में दोनों sides closed हों तो final interval भी closed रहता है। / \(6\le 2x\le 14\) gives \(3\le x\le 7\). In exams, if both signs are inclusive, the final interval stays closed.
A. (x<-1) या \(4\le x\le 9\)/(x<-1) or \(4\le x\le 9\)
Explanation
Simple Explanation
पहला भाग (-1) से पहले है और दूसरा भाग (4) से (9) तक बंद है। परीक्षा में अलग intervals को अलग-अलग पढ़ें। / The first part is before (-1), and the second part is closed from (4) to (9). In exams, read separate intervals separately.
\(4-2x\le 10\) से \(-2x\le 6\), इसलिए \(x\ge -3\) है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने पर sign reverse करें। / \(4-2x\le 10\) gives \(-2x\le 6\), so \(x\ge -3\). In exams, reverse the sign when dividing by a negative.
खुला बिंदु (-2) को बाहर रखता है और बंद बिंदु (6) को शामिल करता है। परीक्षा में endpoint symbols को ध्यान से पढ़ें। / The open dot excludes (-2), and the closed dot includes (6). In exams, read endpoint symbols carefully.
Intersection में दोनों intervals का common भाग ([-4,0]) है। परीक्षा में \(\cap\) के लिए overlapping region देखें। / In intersection, the common part of both intervals is ([-4,0]). In exams, look for the overlapping region for \(\cap\).
B. \(x\le -1\), (-1) से बाईं ओर बंद बिंदु/\(x\le -1\), closed dot at (-1) shaded left
Explanation
Simple Explanation
हल \(5-x\ge 6\) से \(-x\ge 1\) और \(x\le -1\) आता है। परीक्षा में (-x) हटाते समय चिन्ह पलटना न भूलें। / Solving gives \(5-x\ge 6\), then \(-x\ge 1\), so \(x\le -1\). In exams, remember to reverse the sign when removing (-x).
A. \(x\le 7\), (7) पर बंद बिंदु और बाईं ओर छाया/\(x\le 7\), closed dot at (7) shaded left
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर (2) से गुणा करने पर \(x-1\le 6\), इसलिए \(x\le 7\)। परीक्षा में धनात्मक गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (2) gives \(x-1\le 6\), so \(x\le 7\). In exams, multiplying by a positive number does not reverse the sign.
(|x+1|>4) में केंद्र से बाहर के दो भाग मिलते हैं और endpoint शामिल नहीं होते। परीक्षा में (>) वाले absolute value में बाहर की ओर shading करें। / (|x+1|>4) gives two outer regions, and endpoints are not included. In exams, absolute value with (>) is shaded outward.
\(|x-2|\le 5\) से \(-5\le x-2\le 5\) और \(-3\le x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में \(\le\) वाले absolute value में बीच का बंद interval लें। / \(|x-2|\le 5\) gives \(-5\le x-2\le 5\), hence \(-3\le x\le 7\). In exams, absolute value with \(\le\) gives a closed middle interval.
दोनों endpoint खुले होने से (3) और (8) शामिल नहीं हैं। परीक्षा में खुले circle को round bracket से लिखें। / Both endpoints are open, so (3) and (8) are not included. In exams, write open circles with round brackets.
एक चर की एक रैखिक असमता, जैसे \(ax+b<0\) जहाँ \(a\ne0\), को हल करने पर \(x<c\), \(x\le c\), \(x>c\) या \(x\ge c\) के रूप में एक किरण मिलती है। विकल्प C में \(-1<x\le4\) दो सीमाओं के बीच का परिमित अंतराल है। इसे व्यक्त करने के लिए \(x>-1\) और \(x\le4\), दोनों असमताएँ एक साथ चाहिए। विकल्प A, B और D प्रत्येक एक ही सीमा वाली किरण हैं। परीक्षा टिप: यदि हल-समुच्चय के दोनों सिरे परिमित हों, तो सामान्यतः एक से अधिक असमताओं की आवश्यकता होती है। / A single linear inequality in one variable, such as \(ax+b<0\) with \(a\ne0\), gives a ray of the form \(x<c\), \(x\le c\), \(x>c\), or \(x\ge c\). Option C, \(-1<x\le4\), is a bounded interval with two finite endpoints. It requires both conditions \(x>-1\) and \(x\le4\) simultaneously. Options A, B, and D are each single-boundary rays. Exam tip: A solution set with two finite endpoints usually requires more than one inequality.
B. (x>2), (2) से दाईं ओर/(x>2), shaded right of (2)
Explanation
Simple Explanation
(-3x<-6) में ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है। परीक्षा में negative से divide करते समय inequality reverse करें। / From (-3x<-6), dividing by a negative reverses the sign. In exams, reverse the inequality when dividing by a negative.
A. \(x\ge 5\) यानी (5) से दाईं ओर बंद बिंदु/\(x\ge 5\), closed dot at (5) shaded right
Explanation
Simple Explanation
हल \(2x\ge 10\) से \(x\ge 5\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर दिशा और endpoint लगाएँ। / Solving gives \(2x\ge 10\), so \(x\ge 5\). In exams, solve first and then mark direction and endpoint.
गोल कोष्ठक खुला endpoint और वर्ग कोष्ठक बंद endpoint बताता है। परीक्षा में interval notation को inequality में बदलते समय यही नियम लगाएँ। / A round bracket means open endpoint and a square bracket means closed endpoint. In exams, use this rule while converting interval notation to inequality.
A. ( -3) पर बंद बिंदु बाईं ओर और (1) पर खुला बिंदु दाईं ओर/Closed dot at (-3) shaded left and open dot at (1) shaded right
Explanation
Simple Explanation
\(x\le -3\) में (-3) शामिल है और (x>1) में (1) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) के लिए बंद और (>) के लिए खुला बिंदु याद रखें। / \(x\le -3\) includes (-3), while (x>1) does not include (1). In exams, remember closed dot for \(\le\) and open dot for (>).
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (3) शामिल है इसलिए पूर्णांक (-1) से (3) तक होंगे। परीक्षा में खुले और बंद endpoints के अनुसार integer points चुनें। / The value (-2) is excluded but (3) is included so the integers are from (-1) to (3). In exams choose integer points according to open and closed endpoints.
B. \(\frac{5}{3}\) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा/Closed dot at \(\frac{5}{3}\) and ray left
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5}{3}\) शामिल है और उससे छोटे सभी मान लिए जाते हैं। परीक्षा में (\(-\infty,a]\) को \(x\le a\) समझें। / The value \(\frac{5}{3}\) is included and all smaller values are taken. In exams understand (\(-\infty,a]\) as \(x\le a\).
