Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अनंत समाधान तब होते हैं जब दोनों रेखाएं एक ही रेखा हों। इसके लिए तीनों अनुपात बराबर होते हैं। / Infinite solutions occur when both lines are the same line. For this, all three ratios are equal.
पहले से दूसरे को घटाने पर (x=4), फिर (y=1)। ग्राफ में दोनों रेखाओं का मिलन बिंदु ((4,1)) होगा। / Subtracting the second equation from the first gives (x=4), then (y=1). On the graph, the meeting point is ((4,1)).
यहां \(\frac{5}{10}=\frac{2}{4}\neq\frac{10}{25}\), इसलिए रेखाएं समांतर होंगी। समांतर रेखाओं का कोई साझी बिंदु नहीं होता। / Here \(\frac{5}{10}=\frac{2}{4}\neq\frac{10}{25}\), so the lines are parallel. Parallel lines have no common point.
एक प्रतिच्छेद बिंदु का अर्थ एक अद्वितीय समाधान है। ऐसा युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। / One intersection point means one unique solution. Such a pair is called consistent and independent.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में हर बिंदु समाधान होता है। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. In coincident lines, every point is a solution.
ऊर्ध्वाधर रेखा (x=5) और क्षैतिज रेखा (y=-3) का प्रतिच्छेद ((5,-3)) है। निर्देशांक का क्रम ((x,y)) याद रखें। / The vertical line (x=5) and the horizontal line (y=-3) intersect at ((5,-3)). Remember the order ((x,y)).
दोनों रेखाओं की ढाल (2) समान है, लेकिन अवरोध अलग हैं। समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ समांतर रेखाएं है। / Both lines have the same slope (2), but different intercepts. Equal slope and different intercepts mean parallel lines.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=3)। ग्राफ में यही प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Adding both equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=3). On the graph, this is the intersection point.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। ग्राफ में एक ही रेखा दिखे तो अनंत समाधान होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so both lines are the same. If one line overlaps the other, there are infinitely many solutions.
यहां \(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\neq\frac{12}{18}\), इसलिए रेखाएं समांतर हैं। परीक्षा में पहले अनुपात जांचें। / Here \(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\neq\frac{12}{18}\), so the lines are parallel. In exams, check ratios first.
A. बिंदु (\left\(5,4\right\))/Point (\left\(5,4\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले से दूसरे को घटाने पर (5y=20), इसलिए (y=4)। फिर (3x-4=11) से (x=5)। / Subtracting the second from the first gives (5y=20), so (y=4). Then (3x-4=11) gives (x=5).
B. बिंदु (\left\(4,\frac{11}{3}\right\))/Point (\left\(4,\frac{11}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले से दूसरे को घटाने पर (4y=12), इसलिए (y=3) नहीं बल्कि जाँच जरूरी है। सही हल (\left\(5,3\right\)) है। / Subtracting the second from the first gives (4y=12), so (y=3); careful checking is needed. The correct solution is (\left\(5,3\right\)).
A. बिंदु (\left\(4,7\right\))/Point (\left\(4,7\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले से दूसरे को घटाने पर (y=7), फिर (x+7=11) से (x=4)। संदर्भ कोई भी हो, सामान्य बिंदु ही हल है। / Subtracting the second from the first gives (y=7), then (x+7=11) gives (x=4). In any context, the common point is the solution.
A. बिंदु (\left\(3,3\right\))/Point (\left\(3,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,3\right\)) पर (2\left\(3\right\)+5\left\(3\right\)=21) और (3+3=6)। यही दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है। / At (\left\(3,3\right\)), (2\left\(3\right\)+5\left\(3\right\)=21) and (3+3=6). This is the common point of both lines.
A. बिंदु (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\))/Point (\left\(\frac{24}{7},\frac{27}{7}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(2x-y=3) से (y=2x-3) और पहले समीकरण में रखने पर \(x=\frac{24}{7}\) मिलता है। फिर \(y=\frac{27}{7}\) है। / From (2x-y=3), (y=2x-3), and substituting in the first equation gives \(x=\frac{24}{7}\). Then \(y=\frac{27}{7}\).
A. बिंदु (\left\(5,3\right\))/Point (\left\(5,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(5,3\right\)) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। ग्राफीय विधि में यही सामान्य बिंदु हल होता है। / Substituting (\left\(5,3\right\)) makes both equations true. In graphical method this common point is the solution.
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=10), इसलिए (x=5) और (y=2)। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु है। / Subtracting the equations gives (2x=10), so (x=5) and (y=2). This is the intersection point on the graph.
( (2,-1) ) रखने पर (2(2)-(-1)=5) और (2+2(-1)=0)। दोनों सत्य हों तो वही हल है। / Substituting ( (2,-1) ) gives (2(2)-(-1)=5) and (2+2(-1)=0). If both are true, that point is the solution.
दूसरे से पहले समीकरण को घटाने पर (x=2), फिर (2+4y=18) से (y=4)। यही सामान्य बिंदु है। / Subtracting the first equation from the second gives (x=2), then (2+4y=18) gives (y=4). This is the common point.
( (5,4) ) रखने पर (4(5)-5(4)=0)। बिंदु जाँचने के लिए निर्देशांक समीकरण में रखें। / Substituting ( (5,4) ) gives (4(5)-5(4)=0). To check a point, substitute its coordinates in the equation.
( (3,5) ) रखने पर (2(3)-5=1) और (3+5=8)। दोनों समीकरण सत्य हों तो वही ग्राफीय हल है। / Substituting ( (3,5) ) gives (2(3)-5=1) and (3+5=8). If both equations are true, that point is the graphical solution.
( (4,2) ) रखने पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। ग्राफीय विधि में दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु ही हल होता है। / Substituting ( (4,2) ) makes both equations true. In graphical method, the common point of both lines is the solution.
( (3,2) ) रखने पर (2(3)-2=4) और (3+2(2)=7)। दोनों सत्य हों तो वही हल है। / Putting ( (3,2) ) gives (2(3)-2=4) and (3+2(2)=7). If both are true, that point is the solution.
( (2,5) ) रखने पर (5(2)-2(5)=0)। विकल्पों को समीकरण में रखना तेज तरीका है। / Substituting ( (2,5) ) gives (5(2)-2(5)=0). Substituting options in the equation is a quick method.
(x+y=7) और (4x-y=11) जोड़ने पर (5x=18) मिलता है। इसलिए \(x=\frac{18}{5}\) और \(y=\frac{17}{5}\) है। / Adding (x+y=7) and (4x-y=11) gives (5x=18). Hence \(x=\frac{18}{5}\) and \(y=\frac{17}{5}\).
( (4,3) ) रखने पर (4+2(3)=10) और (2(4)-3=5)। ग्राफीय हल वही बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर हो। / Substituting ( (4,3) ) gives (4+2(3)=10) and (2(4)-3=5). The graphical solution is the point lying on both lines.
( (4,3) ) पर (2(4)+3(3)=17) नहीं है, इसलिए पहले जाँचें। सही गणना से (x=3) और (y=2) मिलता है। / Checking ( (4,3) ) gives (2(4)+3(3)=17), not (18). Correct calculation gives (x=3) and (y=2).
( (3,2) ) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। ग्राफीय विधि में यही प्रतिच्छेद बिंदु हल होता है। / ( (3,2) ) satisfies both equations. In graphical method this intersection point is the solution.
( (3,4) ) पर (3+3(4)=15) और (3+4=7)। यही दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु है। / At ( (3,4) ), (3+3(4)=15) and (3+4=7). This is the intersection point of both lines.
