Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\cos^{-1}x\) की प्रधान सीमा \([0,\pi]\) है। इसलिए (\cos^{-1}\(\cos x\)=x) इसी सीमा में सीधे लागू होता है। / The principal range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\). Therefore (\cos^{-1}\(\cos x\)=x) applies directly only in this range.
A. जब \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)/When \(x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sin^{-1}x\) की प्रधान सीमा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) है इसलिए इसी में (\sin^{-1}\(\sin x\)=x) सीधे सही है। सीमा के बिना यह गलती बन सकती है। / The principal range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) so (\sin^{-1}\(\sin x\)=x) is directly true there. Without range it can be a mistake.
\(\tan^{-1}x\) का डोमेन \(\mathbb{R}\) है और (\tan\(\tan^{-1}x\)=x)। यह सबसे अधिक पूछी जाने वाली पहचान है। / The domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\) and (\tan\(\tan^{-1}x\)=x). This is a very common identity.
\(\cos^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका कोसाइन (x) है। इसलिए (\cos\(\cos^{-1}x\)=x)। / The expression \(\cos^{-1}x\) gives the angle whose cosine is (x). Hence (\cos\(\cos^{-1}x\)=x).
यदि \(x\in[-1,1]\) हो तो (\sin\(\sin^{-1}x\)=x) होता है। पहले अंदर वाले फलन का डोमेन देखें। / If \(x\in[-1,1]\) then (\sin\(\sin^{-1}x\)=x). First check the domain of the inner function.
क्योंकि \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) और \(\frac{\pi}{4}\) प्रधान सीमा में है। मान याद रखने से मूल प्रश्न जल्दी हल होता है। / Because \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) and \(\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range. Remembering basic values helps solve quickly.
क्योंकि \(\cos 0=1\) और \(0\in[0,\pi]\) है इसलिए \(\cos^{-1}1=0\)। \(\cos^{-1}x\) में उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Because \(\cos 0=1\) and \(0\in[0,\pi]\) so \(\cos^{-1}1=0\). For \(\cos^{-1}x\) the answer is not negative.
A. अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))/Interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रधान मान (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में होता है। सिरों \(\pm\frac{\pi}{2}\) को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints \(\pm\frac{\pi}{2}\) are not included.
\(\cos x\) का मान भी ([-1,1]) में रहता है इसलिए \(\cos^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। मान रखने से पहले (x) की सीमा देखें। / The value of \(\cos x\) also lies in ([-1,1]) so the domain of \(\cos^{-1}x\) is ([-1,1]). Check the range of (x) before substitution.
\(\sin x\) का मान केवल ([-1,1]) में आता है इसलिए \(\sin^{-1}x\) का डोमेन ([-1,1]) है। परीक्षा में पहले डोमेन जरूर जांचें। / The value of \(\sin x\) lies only in ([-1,1]) so the domain of \(\sin^{-1}x\) is ([-1,1]). In exams check the domain first.
A. क्योंकि इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है/Because its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का मान केवल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में आता है। / Values of \(\tan^{-1}x\) lie only in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ छूट जाती हैं। / The codomain is \(\mathbb{R}\), so many real values are missed.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मानों की सीमा याद रखें। / Remember the principal range of inverse trigonometric functions.
फलन (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), सर्वाच्छादकता सिद्ध करने के लिए \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
A. क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते/Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास खुला अंतराल (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is the open interval (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में दोनों अंतिम मान शामिल हैं, लेकिन फलन उन्हें कभी प्राप्त नहीं करता। / The codomain includes both endpoint values, but the function never attains them.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का अंतर आच्छादीपन में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed endpoints is very important in onto questions.
\(\arccos x\) का प्रांत ([-1,1]) है। / The domain of \(\arccos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(\arccos x\) घटता है, इसलिए दो अलग इनपुटों का मान समान नहीं होता। / On this domain, as (x) increases, \(\arccos x\) decreases, so two different inputs do not have the same value.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन भी एकैकी होता है। / A decreasing inverse trigonometric function is also one-one.
\(\arctan x\) पूरे वास्तविक प्रांत पर परिभाषित है। / \(\arctan x\) is defined on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\arctan x\) भी बढ़ता है, इसलिए कोई मान दो अलग (x) पर नहीं दोहरता। / As (x) increases, \(\arctan x\) also increases, so no value repeats at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक एकैकी व्यवहार को याद रखें। / Remember the standard one-one behaviour of inverse trigonometric functions.
\(\arcsin x\) अपने क्षेत्र ([-1,1]) पर बढ़ता है। / \(\arcsin x\) is increasing on its domain ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
समान \(\arcsin\) मान होने पर आगत समान होगा। / Equal \(\arcsin\) values imply equal inputs.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम फलन बनने के लिए मूल फलन को एकैकी क्षेत्र पर सीमित किया जाता है। / To make an inverse function, the original function is restricted to a one-one domain.
