\(4\times9=36\), so the HCF is (36). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(4\times9=36\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (36) है।
The common prime factor is (7), and the smaller power is \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
\(7^2=49\), so the HCF is (49). चरण 1: \(98=2\times7^2\) और \(147=3\times7^2\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (7) है और छोटी घात \(7^2\) है। चरण 3: \(7^2=49\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (49) है।
The common prime factor is (5), and the smaller power is \(5^2\).
Step 3
Exam Tip
\(5^2=25\), so the HCF is (25). चरण 1: \(75=3\times5^2\) और \(100=2^2\times5^2\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (5) है और छोटी घात \(5^2\) है। चरण 3: \(5^2=25\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (25) है।
For maximum equal length, find the HCF of (54) and (90).
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\) and \(90=2\times3^2\times5\), so HCF \(=2\times3^2=18\).
Step 3
Exam Tip
When lengths are cut equally, use HCF. चरण 1: अधिकतम बराबर लंबाई के लिए (54) और (90) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(54=2\times3^3\) और \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3^2=18\)। चरण 3: लंबाई को बराबर काटना हो तो महत्तम समापवर्तक से हल करें।
\(60=2^2\times3\times5\) and \(84=2^2\times3\times7\), so HCF \(=2^2\times3=12\).
Step 3
Exam Tip
In cutting questions, maximum equal length is found by HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(60=2^2\times3\times5\) और \(84=2^2\times3\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3=12\)। चरण 3: काटने के ऐसे प्रश्नों में अधिकतम बराबर लंबाई महत्तम समापवर्तक से मिलती है।
For the maximum number of equal bags, find the HCF of (42) and (56).
Step 2
Why this answer is correct
\(42=2\times3\times7\) and \(56=2^3\times7\), so HCF \(=2\times7=14\).
Step 3
Exam Tip
In packing questions with equal and maximum, use HCF. चरण 1: समान थैलियों की अधिकतम संख्या के लिए (42) और (56) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(42=2\times3\times7\) और \(56=2^3\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times7=14\)। चरण 3: पैकिंग में बराबर और अधिकतम पूछा जाए तो महत्तम समापवर्तक लें।
\(32=2^5\) and \(48=2^4\times3\), so HCF \(=2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
In equal distribution questions, the word maximum usually points to HCF. चरण 1: अधिकतम समान समूहों के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(32=2^5\) और \(48=2^4\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4=16\) है। चरण 3: समान बांटने के प्रश्न में अधिकतम शब्द दिखे तो महत्तम समापवर्तक लगाएं।
So the HCF is (1), and these numbers are co-prime. चरण 1: \(16=2^4\) और \(27=3^3\)। चरण 2: दोनों में कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है और ये संख्याएँ सह-अभाज्य हैं।
It is important to place the given values correctly. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: महत्तम समापवर्तक \(=\frac{1680}{280}=6\)। चरण 3: दिए गए मान को सही स्थान पर रखना बहुत जरूरी है।
\(2^2\times3=12\), so the HCF is (12). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: \(2^2\times3=12\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (12) है।
\(2^2\times3=12\), so the HCF is (12). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। चरण 3: \(2^2\times3=12\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (12) है।
\(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), and \(45=3^2\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
The common prime factor is (3), and the smallest power is \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(3^2=9\), so the answer is (9). चरण 1: \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\) और \(45=3^2\times5\)। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य गुणनखंड (3) है और छोटी घात \(3^2\) है। चरण 3: \(3^2=9\), इसलिए उत्तर (9) है।
The common prime factor in all three numbers is (5).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the HCF is (5). चरण 1: \(15=3\times5\), \(25=5^2\) और \(35=5\times7\)। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य गुणनखंड (5) है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (5) है।
The common prime factor is (2), and the smaller power is \(2^4\).
Step 3
Exam Tip
\(2^4=16\), so the HCF is (16). चरण 1: \(64=2^6\) और \(80=2^4\times5\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (2) है और छोटी घात \(2^4\) है। चरण 3: \(2^4=16\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (16) है।
Therefore, the HCF is (7). चरण 1: \(49=7^2\) और \(70=2\times5\times7\)। चरण 2: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड केवल (7) है। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक (7) है।
\(2\times11=22\), so the HCF is (22). चरण 1: \(44=2^2\times11\) और \(66=2\times3\times11\)। चरण 2: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (11) हैं। चरण 3: \(2\times11=22\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (22) है।
The smaller powers of common factors are (2) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
\(2\times9=18\), so the HCF is (18). चरण 1: \(36=2^2\times3^2\) और \(54=2\times3^3\)। चरण 2: समान गुणनखंडों की छोटी घातें (2) और \(3^2\) हैं। चरण 3: \(2\times9=18\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (18) है।
\(2\times7=14\), so the HCF is (14). चरण 1: \(28=2^2\times7\) और \(42=2\times3\times7\)। चरण 2: समान गुणनखंड (2) और (7) हैं। चरण 3: \(2\times7=14\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (14) है।
The common prime factors are (2) and (5) with smaller powers (2) and (5).
Step 3
Exam Tip
\(2\times5=10\), so the HCF is (10). चरण 1: \(20=2^2\times5\) और \(30=2\times3\times5\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (5) हैं तथा छोटी घातें (2) और (5) हैं। चरण 3: \(2\times5=10\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (10) है।
A. समान गुणनखंडों की छोटी घात/Smaller power of common factors
Step 1
Concept
HCF is made only from common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Among common factors, the smaller power is chosen because it divides both numbers.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule: common factors with smaller powers for HCF. चरण 1: महत्तम समापवर्तक केवल समान अभाज्य गुणनखंडों से बनता है। चरण 2: समान गुणनखंडों में छोटी घात चुनी जाती है क्योंकि वही दोनों संख्याओं को पूरा भाग दे सकती है। चरण 3: नियम याद रखें, महत्तम समापवर्तक में समान और छोटी घात।
If the HCF of two numbers is (1), they have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
Such numbers are called co-prime.
Step 3
Exam Tip
Co-prime numbers need not both be prime numbers. चरण 1: जब दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है, तो उनमें (1) के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: ऐसी संख्याएँ सह-अभाज्य कहलाती हैं। चरण 3: सह-अभाज्य होने का मतलब यह नहीं कि दोनों संख्याएँ अभाज्य ही हों।
\(88=2^3\times11\) and \(132=2^2\times3\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
The smaller powers of common factors are \(2^2\) and (11).
Step 3
Exam Tip
\(4\times11=44\), so the HCF is (44). चरण 1: \(88=2^3\times11\) और \(132=2^2\times3\times11\)। चरण 2: समान गुणनखंडों की छोटी घातें \(2^2\) और (11) हैं। चरण 3: \(4\times11=44\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (44) है।
\(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), and \(50=2\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The common prime factor in all three numbers is (5).
Step 3
Exam Tip
The smallest power is (5), so the HCF is (5). चरण 1: \(25=5^2\), \(40=2^3\times5\) और \(50=2\times5^2\)। चरण 2: तीनों में समान अभाज्य गुणनखंड (5) है। चरण 3: छोटी घात (5) है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (5) है।
\(2^3\times3=24\), so the HCF is (24). चरण 1: दोनों में समान अभाज्य गुणनखंड (2) और (3) हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^3\) और (3) हैं। चरण 3: \(2^3\times3=24\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (24) है।
\(3\times7=21\), so the HCF is (21). चरण 1: \(63=3^2\times7\) और \(84=2^2\times3\times7\)। चरण 2: समान गुणनखंड (3) और (7) हैं। चरण 3: \(3\times7=21\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (21) है।
The common prime factor is (3), and the smaller power is \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
\(3^3=27\), so the HCF is (27). चरण 1: \(54=2\times3^3\) और \(81=3^4\)। चरण 2: समान अभाज्य गुणनखंड (3) है और छोटी घात \(3^3\) है। चरण 3: \(3^3=27\), इसलिए महत्तम समापवर्तक (27) है।
For maximum equal length, find the HCF of (20) and (28).
Step 2
Why this answer is correct
\(20=2^2\times5\) and \(28=2^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The common part is \(2^2=4\), so each piece will be (4) m long. चरण 1: अधिकतम बराबर लंबाई के लिए (20) और (28) का महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। चरण 2: \(20=2^2\times5\) और \(28=2^2\times7\)। चरण 3: समान भाग \(2^2=4\), इसलिए प्रत्येक टुकड़ा (4) मीटर का होगा।
\(48=2^4\times3\) and \(72=2^3\times3^2\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
For cutting or dividing into maximum equal parts, use HCF. चरण 1: बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(48=2^4\times3\) और \(72=2^3\times3^2\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\)। चरण 3: काटने या बांटने में अधिकतम बराबर भाग पूछे जाएं तो महत्तम समापवर्तक लें।
The common part is \(3\times5=15\), so (15) boxes can be made. चरण 1: अधिकतम समान डिब्बों के लिए (30), (45) और (60) का महत्तम समापवर्तक चाहिए। चरण 2: \(30=2\times3\times5\), \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\)। चरण 3: समान भाग \(3\times5=15\), इसलिए (15) डिब्बे बनेंगे।
