B. दूसरी असमानता सीमा रेखा (x+2y=6) को शामिल करती है/The second inequality includes the boundary line (x+2y=6)
Step 1
Concept
Both have the same side, but \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: The solid versus dashed line difference earns marks in graph questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दूसरी असमानता सीमा रेखा (x+2y=6) को शामिल करती है / The second inequality includes the boundary line (x+2y=6). Both have the same side, but \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: The solid versus dashed line difference earns marks in graph questions.
Step 3
Exam Tip
दोनों का पक्ष समान है लेकिन \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ में ठोस और टूटी रेखा का अंतर अंक दिलाता है।
The vertices are ((-1,-2)), ((-1,6)), and ((7,-2)), with perpendicular sides (8) and (8). Exam tip: Find intercepts carefully when bounds are negative.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (32). The vertices are ((-1,-2)), ((-1,6)), and ((7,-2)), with perpendicular sides (8) and (8). Exam tip: Find intercepts carefully when bounds are negative.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष ((-1,-2)), ((-1,6)), ((7,-2)) हैं और लंबवत भुजाएँ (8), (8) हैं। परीक्षा सुझाव: ऋणात्मक सीमाओं में कटान सावधानी से निकालें।
C. \(y\leq x-2\), सीमा सहित और मूल बिंदु से दूर/\(y\leq x-2\), with boundary and away from origin
Step 1
Concept
The inequality \(x-y\geq 2\) gives \(y\leq x-2\), and ((0,0)) makes it false. Exam tip: Pay close attention to the sign of (y).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(y\leq x-2\), सीमा सहित और मूल बिंदु से दूर / \(y\leq x-2\), with boundary and away from origin. The inequality \(x-y\geq 2\) gives \(y\leq x-2\), and ((0,0)) makes it false. Exam tip: Pay close attention to the sign of (y).
Step 3
Exam Tip
\(x-y\geq 2\) से \(y\leq x-2\) मिलता है और ((0,0)) इसे असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: (y) के चिन्ह पर विशेष ध्यान दें।
The two boundary lines meet at ((2,2)), which is the nearest corner of the outer unbounded region. Exam tip: In two \(\geq\) regions, the intersection point is often crucial.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((2,2)). The two boundary lines meet at ((2,2)), which is the nearest corner of the outer unbounded region. Exam tip: In two \(\geq\) regions, the intersection point is often crucial.
Step 3
Exam Tip
दोनों सीमा रेखाएँ ((2,2)) पर मिलती हैं और वही बाहरी असीमित क्षेत्र का निकटतम कोना है। परीक्षा सुझाव: दो \(\geq\) क्षेत्रों में प्रतिच्छेद बिंदु अक्सर महत्वपूर्ण होता है।
The intercepts are ((16,0)) and ((0,4)), whose distances from the origin are (16) and (4). Exam tip: You can also compare squared distances.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((16,0)). The intercepts are ((16,0)) and ((0,4)), whose distances from the origin are (16) and (4). Exam tip: You can also compare squared distances.
Step 3
Exam Tip
अक्षीय कटान ((16,0)) और ((0,4)) हैं, जिनमें मूल बिंदु से दूरी (16) और (4) है। परीक्षा सुझाव: दूरी तुलना में वर्गों का उपयोग भी कर सकते हैं।
From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सीमित और बंद / Bounded and closed. From \(x-1\leq 3\), we get \(x\leq 4\), and all boundaries are included. Exam tip: A hidden upper bound may come from comparing inequalities.
Step 3
Exam Tip
\(x-1\leq 3\) से \(x\leq 4\) मिलता है और सभी सीमाएँ शामिल हैं। परीक्षा सुझाव: छिपी हुई ऊपरी सीमा तुलना से मिलती है।
The second inequality is (x+y>4), which cannot overlap with \(x+y\leq 3\). Exam tip: Simplify proportional boundary lines first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कोई सामान्य क्षेत्र नहीं / No common region. The second inequality is (x+y>4), which cannot overlap with \(x+y\leq 3\). Exam tip: Simplify proportional boundary lines first.
Step 3
Exam Tip
दूसरी असमानता (x+y>4) है जो \(x+y\leq 3\) से मेल नहीं खाती। परीक्षा सुझाव: समान गुणज वाली रेखाओं को पहले सरल करें।
At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,4)). At ((2,4)), \(4\cdot2+4=12\), so it lies on the boundary. Exam tip: For boundary checking, replace the inequality by its equation.
Step 3
Exam Tip
((2,4)) पर \(4\cdot2+4=12\) इसलिए यह सीमा पर है। परीक्षा सुझाव: सीमा के लिए असमानता की जगह समीकरण लगाएँ।
C. \(y>\frac{2}{3}x-2\), टूटी सीमा/\(y>\frac{2}{3}x-2\), dashed boundary
Step 1
Concept
Dividing (-3y<6-2x) by a negative number gives \(y>\frac{2}{3}x-2\). Exam tip: Keep a dashed boundary for strict inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(y>\frac{2}{3}x-2\), टूटी सीमा / \(y>\frac{2}{3}x-2\), dashed boundary. Dividing (-3y<6-2x) by a negative number gives \(y>\frac{2}{3}x-2\). Exam tip: Keep a dashed boundary for strict inequalities.
Step 3
Exam Tip
(-3y<6-2x) में ऋण से भाग देने पर \(y>\frac{2}{3}x-2\) होता है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में टूटी सीमा रखें।
The vertices are ((1,2)), ((1,9)), and ((8,2)), giving perpendicular lengths (7) and (7). Exam tip: For shifted axis bounds, read base and height carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\frac{49}{2}\). The vertices are ((1,2)), ((1,9)), and ((8,2)), giving perpendicular lengths (7) and (7). Exam tip: For shifted axis bounds, read base and height carefully.
Step 3
Exam Tip
शीर्ष ((1,2)), ((1,9)), ((8,2)) हैं और लंबाई (7), (7) है। परीक्षा सुझाव: स्थानांतरित अक्षीय सीमाओं में आधार और ऊँचाई ध्यान से लें।
Together, the two inequalities force (x+2y=4). Exam tip: Opposite inequalities with the same boundary may reduce to a line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पूरी रेखा (x+2y=4) / The whole line (x+2y=4). Together, the two inequalities force (x+2y=4). Exam tip: Opposite inequalities with the same boundary may reduce to a line.
Step 3
Exam Tip
दोनों असमानताएँ साथ में (x+2y=4) को ही संभव बनाती हैं। परीक्षा सुझाव: विपरीत दिशाओं वाली समान सीमा कभी-कभी रेखा बनाती है।
Substituting ((1,1)) gives (1+2=3<8), and the dashed boundary requires (<). Exam tip: Check both the test point and boundary type.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x+2y<8). Substituting ((1,1)) gives (1+2=3<8), and the dashed boundary requires (<). Exam tip: Check both the test point and boundary type.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) रखने पर (1+2=3<8) और टूटी सीमा के कारण (<) लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: परीक्षण बिंदु और सीमा का प्रकार दोनों देखें।
C. ((0,0)), ((2,0)), (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\))
Step 1
Concept
The condition \(x-y\geq 0\) gives \(y\leq x\), and its intersection with (3x+y=6) is (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ((0,0)), ((2,0)), (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). The condition \(x-y\geq 0\) gives \(y\leq x\), and its intersection with (3x+y=6) is (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.
Step 3
Exam Tip
\(x-y\geq 0\) से \(y\leq x\) और (3x+y=6) से प्रतिच्छेद (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: बदले हुए रूप में क्षेत्र पढ़ना आसान होता है।
The origin satisfies \(2x-5y\leq 10\), so the opposite side is \(2x-5y\geq 10\). Exam tip: Keep equality for a solid boundary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(2x-5y\geq 10\). The origin satisfies \(2x-5y\leq 10\), so the opposite side is \(2x-5y\geq 10\). Exam tip: Keep equality for a solid boundary.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु \(2x-5y\leq 10\) को सत्य करता है इसलिए विपरीत पक्ष \(2x-5y\geq 10\) होगा। परीक्षा सुझाव: ठोस सीमा के लिए बराबरी शामिल रखें।
B. दोनों रेखाओं के बीच का असीमित क्षेत्र और \(x\leq 2\)/Unbounded region between the two lines with \(x\leq 2\)
Step 1
Concept
Both conditions require \(x+1\leq -x+5\), which gives \(x\leq 2\). Exam tip: Compare the lower and upper boundary lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों रेखाओं के बीच का असीमित क्षेत्र और \(x\leq 2\) / Unbounded region between the two lines with \(x\leq 2\). Both conditions require \(x+1\leq -x+5\), which gives \(x\leq 2\). Exam tip: Compare the lower and upper boundary lines.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तों के लिए \(x+1\leq -x+5\) होना चाहिए जिससे \(x\leq 2\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर और नीचे की रेखाओं की तुलना करें।
The two boundary lines meet at (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{16}{3}\). The two boundary lines meet at (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.
Step 3
Exam Tip
दोनों सीमा रेखाएँ (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)) पर मिलती हैं और वहाँ \(x+y=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा सुझाव: रैखिक मान का चरम प्रायः शीर्ष पर मिलता है।
The line is (x+2y=4), and the origin makes \(0\geq 4\) false. Exam tip: If the line is included, use only \(\leq\) or \(\geq\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(x+2y\geq 4\). The line is (x+2y=4), and the origin makes \(0\geq 4\) false. Exam tip: If the line is included, use only \(\leq\) or \(\geq\).
Step 3
Exam Tip
रेखा (x+2y=4) है और मूल बिंदु \(0\geq 4\) को असत्य करता है। परीक्षा सुझाव: रेखा शामिल हो तो \(\leq\) या \(\geq\) ही लें।
B. क्योंकि (x+2y<7) में समानता मिलती है/Because equality occurs in (x+2y<7)
Step 1
Concept
At ((3,2)), (x+2y=7), but (x+2y<7) excludes the boundary. Exam tip: Remove equality points in strict inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (x+2y<7) में समानता मिलती है / Because equality occurs in (x+2y<7). At ((3,2)), (x+2y=7), but (x+2y<7) excludes the boundary. Exam tip: Remove equality points in strict inequalities.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) पर (x+2y=7) है लेकिन (x+2y<7) में सीमा शामिल नहीं होती। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता में बराबरी वाले बिंदु हटा दें।
The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((0,0)), ((0,4)), ((2,2)). The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
Step 3
Exam Tip
\(x-y\leq 0\) से \(y\geq x\) और \(x+y\leq 4\) मिलकर ये त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा सुझाव: हर शीर्ष को सभी असमानताओं में रखकर जाँचें।
A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता/Unbounded region not containing the origin
Step 1
Concept
The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. असीमित क्षेत्र जो मूल बिंदु को शामिल नहीं करता / Unbounded region not containing the origin. The origin makes \(0\geq 10\) false, so the first-quadrant side away from the line is taken. Exam tip: With \(\geq\), the boundary line remains included.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु \(0\geq 10\) असत्य करता है इसलिए रेखा से दूर वाला प्रथम चतुर्थांश भाग लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\geq\) वाली रेखा के लिए सीमा शामिल रहती है।
Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (y<2x+1). Below means the value of (y) is less than the line value, and open boundary gives (<). Exam tip: In above-below questions, compare (y) directly.
Step 3
Exam Tip
नीचे का अर्थ (y) का मान रेखा से कम है और सीमा रहित होने से (<) आता है। परीक्षा सुझाव: ऊपर-नीचे वाले प्रश्नों में (y) की तुलना सीधे करें।
B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है/Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside
Step 1
Concept
Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कटान ((9,0)), ((0,3)) हैं और मूल बिंदु अंदर है / Intercepts are ((9,0)), ((0,3)) and origin is inside. Putting (y=0) gives (x=9), and putting (x=0) gives (y=3). Exam tip: Set one variable to zero to find intercepts.
Step 3
Exam Tip
(y=0) पर (x=9) और (x=0) पर (y=3) मिलता है। परीक्षा सुझाव: कटान निकालते समय एक चर को शून्य रखें।
The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((0,0)), ((3,0)), ((2,2)), ((0,3)). The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
Step 3
Exam Tip
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें।
The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x+y>5). The origin satisfies (x+y<5), so excluding it gives (x+y>5). Exam tip: If the boundary is excluded, choose only (<) or (>).
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु (x+y<5) को सत्य करता है इसलिए उसे हटाने के लिए (x+y>5) होगा। परीक्षा सुझाव: सीमा रहित होने पर केवल (<) या (>) चुनें।
C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित/Side containing origin with boundary
Step 1
Concept
Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. मूल बिंदु वाला पक्ष सीमा सहित / Side containing origin with boundary. Substituting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing the origin is taken. Exam tip: ((0,0)) is the fastest test point when allowed.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए मूल बिंदु वाला पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: जब संभव हो तो ((0,0)) सबसे तेज परीक्षण बिंदु है।
From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so \(x+y\geq 10\) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. रिक्त क्षेत्र / Empty region. From the first two conditions, the maximum possible (x+y) is (5), so \(x+y\geq 10\) is impossible. Exam tip: Think about extreme limits before graphing.
Step 3
Exam Tip
पहली दो शर्तों से \(x+y\leq 5\) अधिकतम हो सकता है इसलिए \(x+y\geq 10\) असंभव है। परीक्षा सुझाव: ग्राफ से पहले चरम सीमा सोचें।
The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सीमित लेकिन बंद नहीं / Bounded but not closed. The line (x+y=6) is not included, but the region remains within a triangle. Exam tip: A strict inequality changes closedness.
Step 3
Exam Tip
रेखा (x+y=6) शामिल नहीं है पर क्षेत्र त्रिभुज के भीतर सीमित है। परीक्षा सुझाव: कठोर असमानता बंदपन को बदल देती है।
The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (12). The intercepts are ((6,0)) and ((0,4)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\). Exam tip: Use axis intercepts for the first-quadrant triangle.
Step 3
Exam Tip
कटान ((6,0)) और ((0,4)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12\) है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश त्रिभुज में अक्षीय कटानों से क्षेत्रफल निकालें।
The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. कोई समान हल नहीं / No common solution. The same quantity (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Exam tip: Detect the empty gap between parallel boundary lines.
Step 3
Exam Tip
एक ही राशि (x+y) साथ-साथ (4) से कम और (7) से अधिक नहीं हो सकती। परीक्षा सुझाव: समानांतर सीमा रेखाओं में खाली पट्टी पहचानें।
