एक कार्ड पर (1) से (9) तक के अंकों से (4)-अंकीय संख्या बनानी है। अंक दोहराए नहीं जा सकते और संख्या (5) से बड़ी शुरुआत वाली होनी चाहिए। कितनी संख्याएं बनेंगी?
The first digit has (4) choices: (6,7,8,9). The remaining places have \(8\times7\times6\) ways, so the total is (1344).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (1344). The first digit has (4) choices: (6,7,8,9). The remaining places have \(8\times7\times6\) ways, so the total is (1344).
Step 3
Exam Tip
पहले अंक के लिए (6,7,8,9) यानी (4) विकल्प हैं। शेष स्थानों के लिए \(8\times7\times6\) तरीके हैं, इसलिए कुल (1344) है।
One letter must repeat, so the repeated letter can be chosen in (4) ways and the positions arranged in (5!/2!) ways. The total is \(4\times60=240\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (240). One letter must repeat, so the repeated letter can be chosen in (4) ways and the positions arranged in (5!/2!) ways. The total is \(4\times60=240\).
Step 3
Exam Tip
किसी एक अक्षर की पुनरावृत्ति होगी, इसलिए दोहराए जाने वाला अक्षर (4) तरीकों से चुनेगा और स्थान (5!/2!) तरीकों से। कुल \(4\times60=240\) है।
एक (3)-स्तरीय सुरक्षा प्रणाली में पहली अवस्था में (4) विकल्प, दूसरी में (5) विकल्प और तीसरी में (6) विकल्प हैं। पर यदि पहली अवस्था का विकल्प (A) चुना जाता है, तो तीसरी अवस्था में केवल (2) विकल्प रहते हैं। कुल सुरक्षित मार्ग कितने हैं?
If the first option is (A), paths are \(1\times5\times2=10\); for the other (3) options, paths are \(3\times5\times6=90\). The total is (100).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (100). If the first option is (A), paths are \(1\times5\times2=10\); for the other (3) options, paths are \(3\times5\times6=90\). The total is (100).
Step 3
Exam Tip
पहला विकल्प (A) होने पर \(1\times5\times2=10\) और बाकी (3) विकल्पों पर \(3\times5\times6=90\) मार्ग हैं। कुल (100) मार्ग हैं।
For at least one (5) in the first two digits, there are \(10^2-9^2=19\) ways and (100) ways for the remaining two digits. With letters, the total is \(26\times25\times19\times100\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(26\cdot25\cdot1900\). For at least one (5) in the first two digits, there are \(10^2-9^2=19\) ways and (100) ways for the remaining two digits. With letters, the total is \(26\times25\times19\times100\).
Step 3
Exam Tip
पहले दो अंकों में कम से कम एक (5) के लिए \(10^2-9^2=19\) तरीके हैं और बाकी दो अंकों के लिए (100) तरीके हैं। अक्षरों के साथ कुल \(26\times25\times19\times100\) है।
एक छात्र को (4) अध्यायों में से हर अध्याय से (1) प्रश्न चुनना है। अध्यायों में प्रश्नों की संख्या क्रमशः (5,6,7,8) है। यदि दूसरे अध्याय का चुना प्रश्न कठिन नहीं होना चाहिए और उसमें (2) कठिन प्रश्न हैं, तो कुल चयन कितने हैं?
एक तिजोरी कोड में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और अंकों का योग सम होना चाहिए। अक्षरों के लिए (26) विकल्प हैं। ऐसे कोड कितने हैं?
For (3) digits, (500) ordered triples have even sum because half of all (1000) triples give even sum. Multiply by \(26\times25\) for letters.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(26\cdot25\cdot500\). For (3) digits, (500) ordered triples have even sum because half of all (1000) triples give even sum. Multiply by \(26\times25\) for letters.
Step 3
Exam Tip
(3) अंकों में सम योग के लिए (500) क्रमित त्रय होते हैं क्योंकि कुल (1000) में आधे सम योग देते हैं। अक्षरों के लिए \(26\times25\) से गुणा करें।
The first three digits can be chosen in \(9\times9\times8\) ways and the last three in \(10^3\) ways. The total is \(9\times9\times8\times1000=648000\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (648000). The first three digits can be chosen in \(9\times9\times8\) ways and the last three in \(10^3\) ways. The total is \(9\times9\times8\times1000=648000\).
Step 3
Exam Tip
पहले तीन अंकों के लिए \(9\times9\times8\) तरीके हैं और अंतिम तीन के लिए \(10^3\) तरीके हैं। कुल \(9\times9\times8\times1000=648000\) है।
एक ऑनलाइन फॉर्म में उपयोगकर्ता (2) वैकल्पिक भाषाओं में से कोई (1), (4) थीमों में से कोई (1) और (3) सुरक्षा प्रश्नों में से कोई (2) प्रश्न क्रम सहित चुनता है। कुल चयन कितने हैं?
Languages and themes give \(2\times4\), and ordered security questions give \(3\times2\) ways. The total is \(2\times4\times3\times2=48\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (48). Languages and themes give \(2\times4\), and ordered security questions give \(3\times2\) ways. The total is \(2\times4\times3\times2=48\).
Step 3
Exam Tip
भाषा और थीम के लिए \(2\times4\), और क्रम सहित सुरक्षा प्रश्नों के लिए \(3\times2\) तरीके हैं। कुल \(2\times4\times3\times2=48\) है।
कक्षा प्रतिनिधि चुनते समय (4) लड़के और (5) लड़कियां उपलब्ध हैं। एक अध्यक्ष और एक सचिव चुना जाना है, और दोनों पद अलग व्यक्तियों को मिलने चाहिए। यदि अध्यक्ष लड़की होनी चाहिए, तो कितने तरीके हैं?
एक पुस्तक कोड में (3) अलग-अलग व्यंजन और (2) अलग-अलग अंक हैं। कोड का पहला चिन्ह व्यंजन और अंतिम चिन्ह अंक है। अंग्रेजी में (21) व्यंजन माने जाएं। कुल कोड कितने बनेंगे?
The order is fixed, so the choices are (21,20,19,10,9) respectively. With distinctness, choices decrease after each selection.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(21\cdot20\cdot19\cdot10\cdot9\). The order is fixed, so the choices are (21,20,19,10,9) respectively. With distinctness, choices decrease after each selection.
Step 3
Exam Tip
क्रम पहले से तय है, इसलिए (21,20,19,10,9) विकल्प क्रमशः मिलते हैं। अलग-अलग की शर्त में हर चयन के बाद विकल्प घटते हैं।
किसी प्रतियोगिता में प्रतिभागी को (5) प्रश्नों में से प्रत्येक पर सही या गलत लिखना है। कम से कम (1) उत्तर सही होना चाहिए। संभावित उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
Total patterns are \(2^5\), and the one pattern with all false is removed. For at least conditions, the complement method is often faster.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (31). Total patterns are \(2^5\), and the one pattern with all false is removed. For at least conditions, the complement method is often faster.
Step 3
Exam Tip
कुल पैटर्न \(2^5\) हैं और सभी गलत वाला (1) पैटर्न हटेगा। कम से कम के लिए अक्सर पूरक विधि तेज होती है।
If the last digit is (0), there are \(9\times8\times7\) ways; if it is (2,4,6,8), there are \(4\times8\times8\times7\) ways. The total is (504+1792=2296).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2296). If the last digit is (0), there are \(9\times8\times7\) ways; if it is (2,4,6,8), there are \(4\times8\times8\times7\) ways. The total is (504+1792=2296).
Step 3
Exam Tip
अंतिम अंक (0) हो तो \(9\times8\times7\) तरीके और अंतिम अंक (2,4,6,8) हो तो \(4\times8\times8\times7\) तरीके हैं। कुल (504+1792=2296) है।
एक छात्र (6) दिनों की पढ़ाई योजना बनाता है। हर दिन गणित, भौतिकी या रसायन में से एक विषय पढ़ता है, पर लगातार दो दिन वही विषय नहीं पढ़ता। योजनाओं की संख्या कितनी है?
The first day has (3) choices and each later day has (2) choices different from the previous day. With consecutive restrictions, choices reduce after the first position.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3\cdot2^5\). The first day has (3) choices and each later day has (2) choices different from the previous day. With consecutive restrictions, choices reduce after the first position.
Step 3
Exam Tip
पहले दिन (3) विकल्प हैं और अगले प्रत्येक दिन पिछले से अलग (2) विकल्प हैं। लगातार शर्त में पहले स्थान के बाद विकल्प घट जाते हैं।
एक परीक्षा कोड में (2) बड़े अक्षर, (1) छोटा अक्षर और (2) अंक इसी क्रम में हैं। बड़े अक्षर अलग होने चाहिए, छोटे अक्षर पर कोई रोक नहीं है और अंक दोहराए जा सकते हैं। कुल कोड कितने होंगे?
There are \(26\times25\) ways for uppercase letters, (26) for the lowercase letter, and \(10^2\) for digits. When positions are fixed, multiply independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(26\times25\times26\times100\). There are \(26\times25\) ways for uppercase letters, (26) for the lowercase letter, and \(10^2\) for digits. When positions are fixed, multiply independent choices.
Step 3
Exam Tip
बड़े अक्षरों के लिए \(26\times25\), छोटे अक्षर के लिए (26), और अंकों के लिए \(10^2\) तरीके हैं। क्रम तय हो तो प्रत्येक स्थान की स्वतंत्र पसंद गुणा होती है।
एक रेस्टोरेंट में (3) प्रकार की रोटी, (5) सब्जियां और (4) मिठाइयां हैं। ग्राहक या तो एक पूरी थाली चुनता है या केवल एक मिठाई चुनता है। कुल विकल्प कितने हैं?
A full plate can be chosen in \(3\times5\times4=60\) ways and only dessert in (4) ways. When choices are connected by either-or, use the addition rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (64). A full plate can be chosen in \(3\times5\times4=60\) ways and only dessert in (4) ways. When choices are connected by either-or, use the addition rule.
Step 3
Exam Tip
पूरी थाली के लिए \(3\times5\times4=60\) तरीके हैं और केवल मिठाई के लिए (4) तरीके हैं। जब विकल्प या से जुड़े हों, तो जोड़ नियम लगाएं।
Split cases according to whether the first position is even or odd: \(4\binom{4}{1}5\cdot5^3+5\binom{4}{2}5^2\cdot5^2=34000\). Case division is safest for such restrictions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (34000). Split cases according to whether the first position is even or odd: \(4\binom{4}{1}5\cdot5^3+5\binom{4}{2}5^2\cdot5^2=34000\). Case division is safest for such restrictions.
Step 3
Exam Tip
पहला स्थान सम या विषम होने के अनुसार मामले बनते हैं: \(4\binom{4}{1}5\cdot5^3+5\binom{4}{2}5^2\cdot5^2=34000\)। ऐसी शर्तों में केस बनाना सबसे सुरक्षित है।
There are \(26^4\) ways for the letters and \(9\times9\) ways for the digits. Count the restricted first digit separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(26^4\times90\). There are \(26^4\) ways for the letters and \(9\times9\) ways for the digits. Count the restricted first digit separately.
Step 3
Exam Tip
अक्षरों के लिए \(26^4\) तरीके हैं और अंकों के लिए \(9\times9\) तरीके हैं। प्रतिबंध पहले अंक पर है, इसलिए उसे अलग से गिनें।
Vowels can be chosen in \(5\times4\) ways and digits in \(10\times9\times8\) ways. In exams, multiply the choices of independent stages.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (18000). Vowels can be chosen in \(5\times4\) ways and digits in \(10\times9\times8\) ways. In exams, multiply the choices of independent stages.
Step 3
Exam Tip
स्वरों के लिए \(5\times4\) और अंकों के लिए \(10\times9\times8\) तरीके हैं। परीक्षा में हर स्वतंत्र चरण को गुणा करें।
Both inequalities are strict, so both boundary lines are excluded. Exam tip: Decide boundary type separately for each inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x+y<4), (x-y>1). Both inequalities are strict, so both boundary lines are excluded. Exam tip: Decide boundary type separately for each inequality.
Step 3
Exam Tip
दोनों असमानताएँ कठोर हैं इसलिए दोनों सीमा रेखाएँ हटाई जाती हैं। परीक्षा सुझाव: हर असमानता का सीमा-प्रकार अलग-अलग तय करें।
The given triangle lies in the first quadrant below the line (x+y=5). Exam tip: Identify axis conditions from vertices first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(x+y\leq 5\). The given triangle lies in the first quadrant below the line (x+y=5). Exam tip: Identify axis conditions from vertices first.
Step 3
Exam Tip
दिया गया त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के नीचे है। परीक्षा सुझाव: शीर्षों से पहले अक्षीय शर्तें पहचानें।
D. \(y\leq 2x+3\), सीमा सहित/\(y\leq 2x+3\), with boundary
Step 1
Concept
Dividing by a negative gives \(y\leq 2x+3\), and the boundary is included because the inequality is non-strict. Exam tip: After reversing the sign, check boundary type separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(y\leq 2x+3\), सीमा सहित / \(y\leq 2x+3\), with boundary. Dividing by a negative gives \(y\leq 2x+3\), and the boundary is included because the inequality is non-strict. Exam tip: After reversing the sign, check boundary type separately.
Step 3
Exam Tip
ऋण से भाग देने पर \(y\leq 2x+3\) मिलता है और \(\geq\) के कारण सीमा शामिल है। परीक्षा सुझाव: असमानता पलटने के बाद सीमा का प्रकार अलग से जाँचें।
Between the two parallel lines and the axes, a bounded quadrilateral is formed in the first quadrant. Exam tip: View the strip between parallel lines after cutting it by the axes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. सीमित समलंब चतुर्भुज / Bounded trapezium. Between the two parallel lines and the axes, a bounded quadrilateral is formed in the first quadrant. Exam tip: View the strip between parallel lines after cutting it by the axes.
Step 3
Exam Tip
दो समानांतर रेखाओं और अक्षों के बीच प्रथम चतुर्थांश में सीमित चतुर्भुज बनता है। परीक्षा सुझाव: समानांतर रेखाओं के बीच के क्षेत्र को अक्षों से काटकर देखें।
From (y=0), we get ((0,0)) and ((6,0)), and (2x=-x+6) gives ((2,4)). Exam tip: Find axis and slant-line intersections separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ((0,0)), ((6,0)), ((2,4)). From (y=0), we get ((0,0)) and ((6,0)), and (2x=-x+6) gives ((2,4)). Exam tip: Find axis and slant-line intersections separately.
Step 3
Exam Tip
(y=0) से ((0,0)), ((6,0)) और (2x=-x+6) से ((2,4)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: अक्ष और तिरछी रेखाओं के प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें।
For every point, (x-2y) is either at most (4) or greater than (4). Exam tip: In or questions, think of the union of regions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. पूरी समतल सतह / Whole plane. For every point, (x-2y) is either at most (4) or greater than (4). Exam tip: In or questions, think of the union of regions.
Step 3
Exam Tip
हर बिंदु के लिए (x-2y) या तो (4) से कम-बराबर होगा या (4) से बड़ा होगा। परीक्षा सुझाव: या वाले प्रश्न में क्षेत्रों का संघ सोचें।
The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\). Exam tip: Wrong intercepts can make the whole graph wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (27). The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)), so the area is \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\). Exam tip: Wrong intercepts can make the whole graph wrong.
Step 3
Exam Tip
कटान ((9,0)) और ((0,6)) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\cdot9\cdot6=27\) है। परीक्षा सुझाव: कटान गलत होने पर पूरा ग्राफ गलत हो सकता है।
Inside the square \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\), the condition \(x+y\geq 6\) leaves the upper-right triangle. Exam tip: Draw the larger region first and then cut it.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((2,4)), ((4,2)), ((4,4)). Inside the square \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\), the condition \(x+y\geq 6\) leaves the upper-right triangle. Exam tip: Draw the larger region first and then cut it.
Step 3
Exam Tip
वर्ग \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\) में \(x+y\geq 6\) ऊपर-दाईं त्रिभुज छोड़ता है। परीक्षा सुझाव: पहले बड़ा क्षेत्र बनाकर फिर कटान करें।
Solving the two equations gives (x=2), (y=1). Exam tip: Find boundary intersections before drawing the common region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ((2,1)). Solving the two equations gives (x=2), (y=1). Exam tip: Find boundary intersections before drawing the common region.
Step 3
Exam Tip
दोनों समीकरण हल करने पर (x=2), (y=1) मिलता है। परीक्षा सुझाव: सामान्य क्षेत्र बनाने से पहले सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद निकालें।
Counting possible (y)-values for (x=0) to (8) gives a total of (33) points. Exam tip: For such questions, write the maximum (y) for each (x).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (33). Counting possible (y)-values for (x=0) to (8) gives a total of (33) points. Exam tip: For such questions, write the maximum (y) for each (x).
Step 3
Exam Tip
(x=0) से (8) तक (y) के संभव मान गिनने पर कुल (33) बिंदु मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक (x) के लिए अधिकतम (y) लिखें।
