The axis directions give \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), and being below the line gives \(2x+y\leq 10\). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(2x+y\leq 10\). The axis directions give \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), and being below the line gives \(2x+y\leq 10\). Exam tip: Convert words into axis inequalities first.
Step 3
Exam Tip
अक्षों की दिशा से \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) और रेखा के नीचे से \(2x+y\leq 10\) मिलता है। परीक्षा सुझाव: शब्दों को पहले अक्षीय असमानताओं में बदलें।
A. \(y\geq 4x-8\), सीमा सहित/\(y\geq 4x-8\), with boundary
Step 1
Concept
When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\geq 4x-8\), सीमा सहित / \(y\geq 4x-8\), with boundary. When removing the negative coefficient of (y), the inequality sign reverses. Exam tip: Never forget to reverse the sign when dividing by a negative number.
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक (y) को हटाते समय असमानता की दिशा बदलती है। परीक्षा सुझाव: ऋण से भाग देने पर संकेत पलटना न भूलें।
C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है/It is in the solution region and on the first boundary
Step 1
Concept
Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. हल क्षेत्र में है और पहली सीमा पर है / It is in the solution region and on the first boundary. Since \(2+2\cdot3=8\) and \(3\cdot2-3=3>1\), the point is valid. Exam tip: A boundary point is excluded only for a strict inequality.
Step 3
Exam Tip
\(2+2\cdot3=8\) और \(3\cdot2-3=3>1\) इसलिए बिंदु मान्य है। परीक्षा सुझाव: सीमा पर बिंदु तभी हटता है जब असमानता कठोर हो।
B. पहली टूटी और दूसरी ठोस/First dashed and second solid
Step 1
Concept
The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पहली टूटी और दूसरी ठोस / First dashed and second solid. The inequality (x+2y<8) is strict, so its boundary is not included. Exam tip: Use a dashed line for (<) and (>).
Step 3
Exam Tip
(x+2y<8) कठोर असमानता है इसलिए उसकी सीमा शामिल नहीं है। परीक्षा सुझाव: (<) और (>) के लिए टूटी रेखा बनाइए।
The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,0)), ((5,0)), ((3,2)). The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
Step 3
Exam Tip
रेखाओं के प्रतिच्छेद और (y=0) पर कटान से ये तीन शीर्ष मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: हर सीमा रेखा को जोड़ी में हल करके शीर्ष जाँचिए।
D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित/Unbounded part above the line with boundary
Step 1
Concept
The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. रेखा के ऊपर वाला असीमित भाग सीमा सहित / Unbounded part above the line with boundary. The origin gives \(0\geq 12\), which is false, so the side away from the origin is chosen. Exam tip: Always combine the region with the axes in the first quadrant.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु से \(0\geq 12\) असत्य है इसलिए रेखा से दूर वाला भाग चुना जाता है। परीक्षा सुझाव: प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को हमेशा अक्षों से भी मिलाइए।
C. टूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग/Dashed line and side opposite origin
Step 1
Concept
Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. टूटी रेखा और मूल बिंदु से विपरीत भाग / Dashed line and side opposite origin. Substituting ( (0,0) ) gives (0>4), which is false, so the opposite side is taken. Exam tip: (>) does not include the boundary.
Step 3
Exam Tip
( (0,0) ) रखने पर (0>4) असत्य है इसलिए विपरीत पक्ष लिया जाएगा। परीक्षा सुझाव: (>) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती।
B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित/Toward origin with boundary
Step 1
Concept
Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मूल बिंदु की ओर और सीमा सहित / Toward origin with boundary. Putting the origin gives \(0\leq 6\), so the side containing it is taken. Exam tip: \(\leq\) includes the boundary line.
Step 3
Exam Tip
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq 6\) सत्य है इसलिए वही पक्ष लिया जाता है। परीक्षा सुझाव: \(\leq\) में सीमा रेखा शामिल होती है।
From (x+2=-x+4), (2x=2), so (x=1) and (y=3). The intersection of slant boundaries can mark the start or a corner of a region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( (1,3) ). From (x+2=-x+4), (2x=2), so (x=1) and (y=3). The intersection of slant boundaries can mark the start or a corner of a region.
Step 3
Exam Tip
(x+2=-x+4) से (2x=2), इसलिए (x=1) और (y=3) है। तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद क्षेत्र की शुरुआत या कोना बता सकता है।
Two vertical and two horizontal boundaries together form a closed rectangle. In a graph, pairs of parallel boundaries help identify the shape quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. आयत / Rectangle. Two vertical and two horizontal boundaries together form a closed rectangle. In a graph, pairs of parallel boundaries help identify the shape quickly.
Step 3
Exam Tip
दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज सीमाएं मिलकर बंद आयत बनाती हैं। ग्राफ में समानांतर सीमाओं की जोड़ी से आकार तुरंत पहचाना जा सकता है।
At ( (3,3) ), (6+9=15<18), so it is inside and not on the axes. For an interior point, look for a strict inequality value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ( (3,3) ). At ( (3,3) ), (6+9=15<18), so it is inside and not on the axes. For an interior point, look for a strict inequality value.
Step 3
Exam Tip
( (3,3) ) पर (6+9=15<18), इसलिए यह अंदर है और अक्षों पर नहीं है। अंदरूनी बिंदु के लिए सख्त कम मान देखें।
At (y=1), \(x\le8\) and \(x\le4\), so the tighter limit is (x=4). For the right endpoint, choose the smaller upper bound from all constraints.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ( (4,1) ). At (y=1), \(x\le8\) and \(x\le4\), so the tighter limit is (x=4). For the right endpoint, choose the smaller upper bound from all constraints.
Step 3
Exam Tip
(y=1) पर \(x\le8\) और \(x\le4\), इसलिए कड़ी सीमा (x=4) है। दाएं अंतिम बिंदु के लिए सभी ऊपरी सीमाओं में छोटी सीमा चुनें।
At ( (1,1) ), (x+y=2), which is less than (3). In multi-inequality questions, one false condition is enough to reject a point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ( (1,1) ). At ( (1,1) ), (x+y=2), which is less than (3). In multi-inequality questions, one false condition is enough to reject a point.
Step 3
Exam Tip
( (1,1) ) पर (x+y=2), जो (3) से कम है। बहु-असमानता प्रश्नों में अस्वीकृति के लिए एक असत्य शर्त काफी है।
Left of (x=4) is \(x\le4\), and above (y=-1) is \(y\ge-1\). For vertical and horizontal boundaries, identify direction separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x\le4\), \(y\ge-1\). Left of (x=4) is \(x\le4\), and above (y=-1) is \(y\ge-1\). For vertical and horizontal boundaries, identify direction separately.
Step 3
Exam Tip
रेखा (x=4) के बाईं ओर \(x\le4\) और (y=-1) के ऊपर \(y\ge-1\) होता है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज सीमाओं के लिए दिशा अलग-अलग पहचानें।
Both inequalities select regions above the boundary lines, and the common region extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) can often create an unbounded region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. असीमित क्षेत्र / Unbounded region. Both inequalities select regions above the boundary lines, and the common region extends indefinitely. Conditions with \(\ge\) can often create an unbounded region.
Step 3
Exam Tip
दोनों असमानताएं रेखाओं के ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं और क्षेत्र दूर तक फैलता है। \(\ge\) वाली सीमाएं अक्सर असीमित क्षेत्र बना सकती हैं।
B. रेखा के नीचे या रेखा सहित/Below the line including the line
Step 1
Concept
An inequality in the form \(y\le\) represents the region below the line. The equality part means the boundary line is included.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. रेखा के नीचे या रेखा सहित / Below the line including the line. An inequality in the form \(y\le\) represents the region below the line. The equality part means the boundary line is included.
Step 3
Exam Tip
\(y\le\) रूप में असमानता रेखा के नीचे वाले भाग को दर्शाती है। बराबरी होने से सीमा रेखा भी शामिल होती है।
The two equations give (x=y) and (3x=14), so the vertex is ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ). Symmetric boundaries can quickly give (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ). The two equations give (x=y) and (3x=14), so the vertex is ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ). Symmetric boundaries can quickly give (x=y).
Step 3
Exam Tip
दोनों समीकरणों से (x=y) और (3x=14), इसलिए शीर्ष ( \left\(\frac{14}{3},\frac{14}{3}\right\) ) है। सममित सीमाओं में (x=y) जल्दी मिल सकता है।
At ( (1,4) ), \(1\le3\) and \(4\ge3\) are true. Check both the vertical boundary and the oblique boundary for each option.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ( (1,4) ). At ( (1,4) ), \(1\le3\) and \(4\ge3\) are true. Check both the vertical boundary and the oblique boundary for each option.
Step 3
Exam Tip
( (1,4) ) पर \(1\le3\) और \(4\ge3\) सत्य हैं। हर विकल्प में ऊर्ध्वाधर सीमा और तिरछी सीमा दोनों जांचें।
B. हल क्षेत्र रिक्त है/The solution region is empty
Step 1
Concept
The value (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Parallel bounds in opposite positions can give an empty region.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. हल क्षेत्र रिक्त है / The solution region is empty. The value (x+y) cannot be at most (4) and at least (7) simultaneously. Parallel bounds in opposite positions can give an empty region.
Step 3
Exam Tip
(x+y) एक साथ (4) से कम या बराबर और (7) से अधिक या बराबर नहीं हो सकता। समान दिशा की समानांतर सीमाएं खाली क्षेत्र दे सकती हैं।
Adding the equations gives (4x+4y=30), and by symmetry \(x=y=\frac{15}{4}\). Use symmetry when boundary lines have a similar structure.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( \left\(\frac{15}{4},\frac{15}{4}\right\) ). Adding the equations gives (4x+4y=30), and by symmetry \(x=y=\frac{15}{4}\). Use symmetry when boundary lines have a similar structure.
Step 3
Exam Tip
दोनों समीकरण जोड़ने पर (4x+4y=30) और सममिति से \(x=y=\frac{15}{4}\) है। समान संरचना वाली रेखाओं में सममिति का उपयोग करें।
At (x=2), (y=4); at (y=1), (x=8). Intersect the boundary line with the given lower limits.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( (2,4) ) और ( (8,1) ) / ( (2,4) ) and ( (8,1) ). At (x=2), (y=4); at (y=1), (x=8). Intersect the boundary line with the given lower limits.
Step 3
Exam Tip
(x=2) पर (y=4) और (y=1) पर (x=8) मिलता है। सीमा रेखा को दी गई निचली सीमाओं के साथ काटें।
At ( (2,2) ), both left sides equal (10), which is less than (12). Therefore this option cannot be correct and true solutions must make both values at least (12).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( (2,2) ). At ( (2,2) ), both left sides equal (10), which is less than (12). Therefore this option cannot be correct and true solutions must make both values at least (12).
Step 3
Exam Tip
( (2,2) ) पर दोनों असमानताओं में मान (10) आता है, जो (12) से कम है। इसलिए यह विकल्प सही नहीं हो सकता और सही हलों के लिए दोनों मान कम से कम (12) होने चाहिए।
From \(x-3y\le9\), we get \(-3y\le9-x\), hence \(y\ge\frac{x-9}{3}\). Dividing by a negative reverses the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\ge\frac{x-9}{3}\). From \(x-3y\le9\), we get \(-3y\le9-x\), hence \(y\ge\frac{x-9}{3}\). Dividing by a negative reverses the sign.
Step 3
Exam Tip
\(x-3y\le9\) से \(-3y\le9-x\), इसलिए \(y\ge\frac{x-9}{3}\) है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिन्ह उलटता है।
The vertices are ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), and ( (0,3) ), so every listed point is a vertex. The correct choice should have been none of these.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. ( (0,3) ). The vertices are ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), and ( (0,3) ), so every listed point is a vertex. The correct choice should have been none of these.
Step 3
Exam Tip
इस क्षेत्र के शीर्ष ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (2,2) ), ( (0,3) ) हैं, इसलिए दिया गया हर बिंदु शीर्ष है। प्रश्न में सही उत्तर कोई नहीं होना चाहिए।
It is impossible for (x+y) to be both less than and greater than (5) at the same time. Opposite inequalities can make the solution empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. रिक्त समुच्चय / Empty set. It is impossible for (x+y) to be both less than and greater than (5) at the same time. Opposite inequalities can make the solution empty.
Step 3
Exam Tip
एक ही समय में (x+y) का (5) से कम और अधिक होना असंभव है। विरोधी असमानताएं मिलने पर हल रिक्त हो सकता है।
The boundaries (x=1), (y=2), and (x+y=8) give ( (1,2) ), ( (6,2) ), and ( (1,7) ). Do not treat shifted restrictions as simple \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( (1,2) ), ( (6,2) ), ( (1,7) ). The boundaries (x=1), (y=2), and (x+y=8) give ( (1,2) ), ( (6,2) ), and ( (1,7) ). Do not treat shifted restrictions as simple \(x\ge0\), \(y\ge0\).
Step 3
Exam Tip
सीमाएं (x=1), (y=2) और (x+y=8) से ( (1,2) ), ( (6,2) ), ( (1,7) ) मिलते हैं। बदले हुए अक्षीय प्रतिबंधों को साधारण \(x\ge0\), \(y\ge0\) न मानें।
The intercepts are ( (6,0) ) and ( (0,4) ), so the area is \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\). For a triangular region, identify base and height.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (12) वर्ग इकाई / (12) square units. The intercepts are ( (6,0) ) and ( (0,4) ), so the area is \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\). For a triangular region, identify base and height.
Step 3
Exam Tip
अक्षों पर प्रतिच्छेद ( (6,0) ) और ( (0,4) ) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times6\times4=12\) है। त्रिभुज क्षेत्र के लिए आधार और ऊंचाई पहचानें।
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच का पट्टी क्षेत्र/A strip between two parallel lines
Step 1
Concept
Both lines have slope (3), so they are parallel. The inequalities give a strip-like region between them.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दो समानांतर रेखाओं के बीच का पट्टी क्षेत्र / A strip between two parallel lines. Both lines have slope (3), so they are parallel. The inequalities give a strip-like region between them.
Step 3
Exam Tip
दोनों रेखाओं की ढाल (3) है, इसलिए वे समानांतर हैं। असमानताएं उनके बीच का पट्टी क्षेत्र देती हैं।
Solving (x+2y=9) and (3x+y=11) gives \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\). Fractional vertices are common in graphical solutions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ( \left\(\frac{13}{5},\frac{16}{5}\right\) ). Solving (x+2y=9) and (3x+y=11) gives \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\). Fractional vertices are common in graphical solutions.
Step 3
Exam Tip
(x+2y=9) और (3x+y=11) हल करने पर \(x=\frac{13}{5}\), \(y=\frac{16}{5}\) मिलता है। भिन्नात्मक शीर्ष भी ग्राफीय हल में सामान्य हैं।
