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ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या संख्या रेखा पर दाईं ओर होती है, वह बड़ी होती है। \(-20.5\), \(-21\) से दाईं ओर है क्योंकि \(-20.5\) शून्य के अधिक निकट है। इसलिए \(-20.5\) बड़ा है। \(-20.75\) भी \(-21\) से बड़ा है, लेकिन वह दिए गए दोनों संख्याओं में से कोई संख्या नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में अधिक ऋणात्मक संख्या छोटी होती है। / For negative numbers, the number farther to the right on the number line is greater. \(-20.5\) lies to the right of \(-21\) because it is closer to zero. Therefore, \(-20.5\) is greater. Although \(-20.75\) is also greater than \(-21\), it is not one of the two numbers being compared. Exam tip: among negative numbers, the number with the greater negative value is smaller.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है।
", / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Since \(-0.0003\) is closer to zero than \(-0.003\), it is greater. The numbers are not equal because their decimal values differ. Exam tip: compare negative decimals by first locating which one lies closer to zero on the number line.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वही बड़ी होती है। \(-0.007\), \(-0.07\) की अपेक्षा शून्य के अधिक निकट है; इसलिए \(-0.007 > -0.07\)। \(-0.07\) को बड़ा मानना सामान्य भूल है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। परीक्षा टिप: दशमलव स्थानों को बराबर करने के लिए \(-0.07\) को \(-0.070\) लिखकर तुलना करें। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. \(-0.007\) is closer to zero than \(-0.07\), so \(-0.007 > -0.07\). Choosing \(-0.07\) is a common error because, among negative numbers, the one with the larger magnitude is smaller. Exam tip: write \(-0.07\) as \(-0.070\) before comparing decimal places.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-27+13}{2}=\frac{-14}{2}=-7\)। इसलिए सही उत्तर \((-7)\) है। \(6\) गलत है, क्योंकि वह दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-27+13}{2}=\frac{-14}{2}=-7\). Therefore, the correct answer is \((-7)\). \(6\) is incorrect because it is not equally distant from both numbers. Exam tip: add the two numbers first, then divide by 2 to find the midpoint.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए संख्या रेखा के किसी भी गैर-शून्य अंतराल में दोनों प्रकार की संख्याएँ होती हैं। परीक्षा टिप: ‘दो भिन्न वास्तविक संख्याएँ’ दिखे तो घनत्व का गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers. Hence every non-zero interval on the number line contains both types. Exam tip: when you see “two distinct real numbers,” recall the density property.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\lvert -18-(-9)\rvert=\lvert -9\rvert=9\)। इसलिए सही उत्तर 9 है। 8 निकट का मान लग सकता है, लेकिन दूरी निकालते समय ऋण चिह्न सहित अंतर का निरपेक्ष मान लेना आवश्यक है। परीक्षा टिप: दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference: \(\lvert -18-(-9)\rvert=\lvert -9\rvert=9\). Therefore, the correct answer is 9. Although 8 may seem close, distance must be found using the absolute value of the difference. Exam tip: distance is never negative.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-10+6}{2}=\frac{-4}{2}=-2\)। इसलिए सही उत्तर \(-2\) है। \(2\) धनात्मक चिह्न लेने की गलती से मिल सकता है, लेकिन \(-10\) और \(6\) का योग \(-4\) है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय पहले दोनों संख्याओं का योग लिखें, फिर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-10+6}{2}=\frac{-4}{2}=-2\). Therefore, \(-2\) is correct. \(2\) may result from ignoring the negative sign, but the sum of \(-10\) and \(6\) is \(-4\). Exam tip: first add both numbers carefully, then divide the result by 2.
A. उनके बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational and infinitely many irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
हर दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं; दोनों समुच्चय सघन हैं। पूर्णांक का होना जरूरी नहीं है। परीक्षा टिप: ‘सदैव’ वाले प्रश्न में सघनता का गुण याद रखें। / Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational and irrational numbers because both sets are dense. An integer need not lie between them. Exam tip: for “always” questions, recall density.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है। अतः \(|4-(-17)|=|21|=21\)। इसलिए सही उत्तर 21 है। 20 लेने पर ऋणात्मक संख्या को घटाते समय उसका चिह्न बदलने का नियम छूट जाता है। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करने के लिए हमेशा अंतर पर निरपेक्ष मान लगाएँ। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference. Thus, \(|4-(-17)|=|21|=21\). Therefore, 21 is correct. Choosing 20 would result from missing the sign change when subtracting a negative number. Exam tip: always take the absolute value of the difference when finding distance.
किसी पूर्णांक का अगला पूर्णांक प्राप्त करने के लिए उसमें 1 जोड़ा जाता है। अतः
\( -45+1=-44 \), इसलिए सही उत्तर -44 है। -46, -45 से एक कम है, इसलिए वह पूर्ववर्ती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में भी अगला पूर्णांक संख्या रेखा पर दाईं ओर होता है। / The successor of an integer is obtained by adding 1. Thus, \( -45+1=-44 \), so -44 is correct. -46 is one less than -45, so it is the predecessor. Exam tip: Even for negative numbers, the successor lies to the right on the number line.
किसी पूर्णांक का अगला पूर्णांक पाने के लिए उसमें 1 जोड़ते हैं। अतः
\(-31+1=-30\), इसलिए सही उत्तर -30 है। -32, -31 का पूर्ववर्ती है, क्योंकि वह संख्या रेखा पर -31 के बाईं ओर स्थित है। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर जाने पर संख्या 1 बढ़ती है। / The successor of an integer is obtained by adding 1. Thus, \(-31+1=-30\), so -30 is the correct answer. -32 is the predecessor of -31 because it lies one step to the left of -31 on the number line. Exam tip: moving one step right on a number line increases the number by 1.
किसी पूर्ण संख्या का पूर्ववर्ती उससे ठीक 1 कम होता है। इसलिए 20 का पूर्ववर्ती \(20-1=19\) है। 18, 20 से 2 कम है, इसलिए वह पूर्ववर्ती नहीं है। परीक्षा टिप: पूर्ववर्ती ज्ञात करने के लिए दी गई संख्या में से 1 घटाएँ। / The predecessor of a whole number is exactly 1 less than that number. Therefore, the predecessor of 20 is \(20-1=19\). Since 18 is 2 less than 20, it is not the predecessor. Exam tip: subtract 1 from the given number to find its predecessor.
किसी संख्या का परिमाण संख्या रेखा पर उसकी 0 से दूरी होता है। \(-19\), 0 से 19 इकाई दूर है, इसलिए \(|-19|=19\)। \(-19\) संख्या स्वयं है, उसका परिमाण नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का परिमाण सदैव धनात्मक होता है। / The absolute value of a number is its distance from 0 on the number line. Since \(-19\) is 19 units away from 0, \(|-19|=19\). \(-19\) is the number itself, not its absolute value. Exam tip: the absolute value of a negative number is always positive.
A. किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational as well as infinitely many irrational numbers.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। जैसे 1 और 2 के बीच \(3/2\) परिमेय तथा \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है; ऐसे अनंत उदाहरण मिलते हैं। परीक्षा में याद रखें कि वास्तविक संख्याओं में कोई क्रमागत संख्या नहीं होती। / Real numbers are dense on the number line. For example, between 1 and 2, \(3/2\) is rational while \(\sqrt{2}\) is irrational, and infinitely many more exist. Exam tip: unlike integers, real numbers have no consecutive pair.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-7+(-1)}{2}=\frac{-8}{2}=-4\)। इसलिए सही उत्तर \((-4)\) है। \((-5)\) एक संख्या के निकट है, लेकिन दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए दोनों संख्याओं का योग करके 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-7+(-1)}{2}=\frac{-8}{2}=-4\). Therefore, \((-4)\) is the correct answer. \((-5)\) is closer to one of the numbers and is not equally distant from both. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
\(-2.5=-2.50\) लिखने पर तुलना स्पष्ट होती है। चूँकि \(-2.05\), \(-2.50\) से शून्य के अधिक निकट है और संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित है, इसलिए \(-2.05\) बड़ा है। \(-2.5\) को बड़ा मानना गलत है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करने से पहले आवश्यक हो तो शून्य जोड़कर समान दशमलव स्थान बना लें। / Write \(-2.5\) as \(-2.50\) to compare the decimals. Since \(-2.05\) is closer to zero and lies to the right of \(-2.50\) on the number line, \(-2.05\) is greater. Choosing \(-2.5\) is incorrect because, among negative numbers, the number with the larger magnitude is smaller. Exam tip: Add trailing zeros when needed before comparing decimals.
संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर स्थित संख्या बड़ी होती है।
( -0.0009 ) एक ऋणात्मक संख्या है और 0 के बाईं ओर स्थित है, इसलिए 0 बड़ा है। ‘दोनों बराबर हैं’ गलत है क्योंकि एक संख्या 0 है और दूसरी ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: किसी भी ऋणात्मक संख्या की तुलना में 0 हमेशा बड़ा होता है। / On the number line, the number to the right is greater.
( -0.0009 ) is a negative number and lies to the left of 0, so 0 is greater. “Both are equal” is incorrect because one number is zero and the other is negative. Exam tip: Zero is always greater than any negative number.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है। यहाँ \(\lvert -5-(-12)\rvert=\lvert 7\rvert=7\) है, इसलिए सही उत्तर 7 है। 8 तब मिलता यदि अंतर की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: दूरी निकालते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference. Here, \(\lvert -5-(-12)\rvert=\lvert 7\rvert=7\), so 7 is correct. Getting 8 would result from an incorrect subtraction. Exam tip: a distance is always non-negative.
C. उनके बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
Explanation
Simple Explanation
किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। इसलिए C सही है; B गलत है क्योंकि अपरिमेय भी बीच में होते हैं। परीक्षा टिप: वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं। / Between any two distinct rational numbers, there are infinitely many rational as well as irrational numbers. Hence C is correct; B is false because irrationals also occur between them. Exam tip: real numbers are dense on the number line.
\(0\), \(-6\) से बड़ा और \(1\) से छोटा है, इसलिए यह दोनों संख्याओं के बीच स्थित पूर्णांक है। \(-7\) और \(-8\), \(-6\) से छोटे हैं, जबकि \(2\), \(1\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के बीच होने के लिए जाँचें कि वह बाएँ सिरे से बड़ी और दाएँ सिरे से छोटी हो। / \(0\) is greater than \(-6\) and less than \(1\), so it lies between the two numbers. \(-7\) and \(-8\) are less than \(-6\), while \(2\) is greater than \(1\). Exam tip: To check whether a number lies between two values, verify that it is greater than the left value and less than the right value.
संख्या रेखा पर 3 और 11 का मध्य बिंदु दोनों संख्याओं का औसत होता है: \(\frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7\)। इसलिए सही उत्तर 7 है। 6, 3 और 11 से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: दो संख्याओं के मध्य बिंदु के लिए उनका योग लेकर 2 से भाग दें। / On a number line, the midpoint of 3 and 11 is their average: \(\frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7\). Therefore, 7 is correct. The number 6 is not at an equal distance from 3 and 11. Exam tip: To find the midpoint of two numbers, add them and divide by 2.
(1.1) को 1.10 लिखा जा सकता है। अब 1.10 और 1.01 की तुलना करने पर दशमलव के बाद दहाई के स्थान पर 1.10 में 1 है, जबकि 1.01 में 0 है। इसलिए (1.1) बड़ा है। (1.01) छोटा है, और दोनों संख्याएँ बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना के लिए आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर अंकों को समान स्थानों तक लिखें। / (1.1) can be written as 1.10. Comparing 1.10 and 1.01, the tenths digit is 1 in 1.10 but 0 in 1.01. Therefore, (1.1) is greater. (1.01) is smaller, and the two numbers are not equal. Exam tip: When comparing decimals, add zeros at the end if needed so that corresponding place values can be compared.
\(1^2=1\) और \(2^2=4\) है, इसलिए \(\sqrt{2}\) 1 और 2 के बीच स्थित है। 2 पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा में वर्गों की तुलना करके उसका स्थान पहचानें। / Since \(1^2=1\) and \(2^2=4\), \(\sqrt{2}\) lies between 1 and 2. As 2 is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) is irrational, not a midpoint or an integer. Exam tip: compare neighbouring squares to locate roots.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(\left|-8-(-2)\right|=\left|-6\right|=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 8 केवल \(-8\) का परिमाण है, दोनों संख्याओं के बीच की दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय उत्तर हमेशा धनात्मक या शून्य होता है। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(\left|-8-(-2)\right|=\left|-6\right|=6\). Therefore, the correct answer is 6. The value 8 is only the magnitude of \(-8\), not the distance between the two numbers. Exam tip: a distance is always non-negative.
\( -14.9 \), \( -15 \) से बड़ा है क्योंकि संख्या रेखा पर \( -14.9 \), \( -15 \) के दाईं ओर तथा शून्य के अधिक निकट स्थित है। ऋणात्मक संख्याओं में शून्य के अधिक निकट वाली संख्या बड़ी होती है। \( -15 \) छोटी संख्या है, और दोनों बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय दाईं ओर स्थित संख्या को बड़ा मानें। / \( -14.9 \) is greater than \( -15 \) because it lies to the right of \( -15 \) on the number line and is closer to zero. Among negative numbers, the number closer to zero is greater. Thus, \( -15 \) is smaller, and the two numbers are not equal. Exam tip: when comparing negative numbers, the number farther right on the number line is greater.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-9+3}{2}=\frac{-6}{2}=-3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। \(-6\) दोनों संख्याओं का योग है, मध्य बिंदु नहीं। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-9+3}{2}=\frac{-6}{2}=-3\). Therefore, \(-3\) is correct. \(-6\) is the sum of the two numbers, not their midpoint. Exam tip: add the two numbers and divide by 2 to find their midpoint.
किसी पूर्णांक का अगला पूर्णांक (successor) पाने के लिए उसमें 1 जोड़ते हैं। अतः 99 + 1 = 100, इसलिए सही उत्तर 100 है। 101, 99 के बाद का दूसरा पूर्णांक है, अगला पूर्णांक नहीं। परीक्षा टिप: successor के लिए हमेशा संख्या में 1 जोड़ें। / The successor of an integer is found by adding 1 to it. Thus, 99 + 1 = 100, so 100 is the correct answer. 101 is the second integer after 99, not its immediate successor. Exam tip: always add 1 to find a successor.
किसी संख्या का पूर्ववर्ती उससे 1 कम होता है। इसलिए
\(-50-1=-51\)।
\(-49\) उत्तरवर्ती है, क्योंकि वह \(-50\) से 1 अधिक है। परीक्षा टिप: पूर्ववर्ती के लिए हमेशा संख्या में 1 घटाएँ। / The predecessor of a number is 1 less than the number. Hence, \(-50-1=-51\). \(-49\) is the successor because it is 1 greater than \(-50\). Exam tip: subtract 1 to find a predecessor.
किसी संख्या का परिमाण संख्या रेखा पर उसकी 0 से दूरी होता है, इसलिए वह सदैव ऋणात्मक नहीं होता।
default / The absolute value of a number is its distance from 0 on the number line, so it cannot be negative. Hence,
default
बढ़ते क्रम में संख्याएँ सबसे छोटी से सबसे बड़ी लिखी जाती हैं। ऋणात्मक संख्याओं में जिस संख्या का मान शून्य से अधिक दूर होता है, वह छोटी होती है। इसलिए -4 < -2 < -1 < 3, अतः सही क्रम ( -4, -2, -1, 3 ) है। विकल्प B में -1 को -2 से पहले रखा गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: संख्या रेखा पर बाईं ओर की संख्या हमेशा छोटी होती है। / In increasing order, numbers are written from smallest to largest. Among negative numbers, the number farther to the left of zero is smaller. Thus, -4 < -2 < -1 < 3, so the correct order is ( -4, -2, -1, 3 ). In option B, -1 is placed before -2, which is incorrect. Exam tip: On a number line, the number to the left is always smaller.
A. उनके बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय तथा अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।/There are infinitely many rational as well as irrational numbers between them.
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सघन होती हैं; किसी भी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अपरिमित परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलती हैं। परीक्षा संकेत:
\(\sqrt{2}\) भी संख्या रेखा पर एक निश्चित बिंदु है। / Real numbers are dense on the number line: between any two distinct real numbers, infinitely many rational and irrational numbers exist. Exam tip:
\(\sqrt{2}\) also corresponds to one definite point on the number line.
\( -6.6 = -6.60 \) क्योंकि दशमलव के दाईं ओर अंत में लगाया गया शून्य संख्या का मान नहीं बदलता है। इसलिए दोनों संख्याएँ संख्या रेखा पर एक ही बिंदु दर्शाती हैं। \( -6.6 \) को बड़ा मानना गलत है; अतिरिक्त शून्य केवल दशमलव स्थानों की संख्या दिखाता है। परीक्षा टिप: दशमलव के अंत के शून्य हटाकर संख्याओं की तुलना करें। / \( -6.6 = -6.60 \) because a zero added at the end of a decimal does not change its value. Hence, both numbers represent the same point on the number line. Choosing \( -6.6 \) as greater is incorrect; the extra zero only shows an additional decimal place. Exam tip: Remove trailing zeros before comparing decimals.
दो संख्याओं \(a\) और \(b\) का मध्य बिंदु \(\frac{a+b}{2}\) होता है। अतः \(\frac{-20+(-4)}{2}=\frac{-24}{2}=-12\)। इसलिए \(-12\) सही उत्तर है। \(-10\), \(-20\) और \(0\) के बीच का मध्य बिंदु होता, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय उनके परिमाण जोड़कर परिणाम के आगे ऋण चिह्न लगाएँ। / The midpoint of two numbers \(a\) and \(b\) is \(\frac{a+b}{2}\). Therefore, \(\frac{-20+(-4)}{2}=\frac{-24}{2}=-12\). Hence, \(-12\) is the correct answer. \(-10\) would be the midpoint of \(-20\) and \(0\), so it is not correct here. Exam tip: When adding negative numbers, add their magnitudes and keep the negative sign.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(|9-(-3)|=|12|=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। -12 अंतर हो सकता है, पर दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती। परीक्षा टिप: दूरी के प्रश्न में हमेशा अंतर पर निरपेक्ष मान लगाएँ। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(|9-(-3)|=|12|=12\). Therefore, the correct answer is 12. Although -12 can be a difference depending on the order of subtraction, distance is never negative. Exam tip: always take the absolute value of the difference in distance questions.
( -8 ) और ( -1 ) के बीच के पूर्णांक हैं: ( -7 ), ( -6 ), ( -5 ), ( -4 ), ( -3 ) और ( -2 )। इसलिए ( -7 ) सही विकल्प है। ( -9 ) संख्या रेखा पर ( -8 ) के बाईं ओर है, जबकि ( 0 ) और ( -1 ) इस अंतराल में नहीं आते; ( -1 ) अंतिम बिंदु है। परीक्षा टिप: ‘के बीच’ का अर्थ है कि दोनों दिए गए सिरों को शामिल नहीं किया जाता। / The integers strictly between ( -8 ) and ( -1 ) are ( -7 ), ( -6 ), ( -5 ), ( -4 ), ( -3 ), and ( -2 ). Therefore, ( -7 ) is correct. ( -9 ) lies to the left of ( -8 ) on the number line, while ( 0 ) and ( -1 ) are not inside the interval; ( -1 ) is an endpoint. Exam tip: “Between” usually excludes the two given endpoints.
0.005 बड़ा है। क्योंकि 0.005 में दशमलव के बाद 5 तीसरे स्थान पर है, जबकि 0.0005 में 5 चौथे स्थान पर है। इसे 0.0050 और 0.0005 लिखकर तुलना करें: 50 दस-हजारवां, 5 दस-हजारवां से बड़ा है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय दाईं ओर शून्य लगाकर अंकों की संख्या समान कर लें। / 0.005 is greater. In 0.005, the digit 5 is in the thousandths place, whereas in 0.0005 it is in the ten-thousandths place. Writing them as 0.0050 and 0.0005 shows that 50 ten-thousandths is greater than 5 ten-thousandths. Exam tip: Add zeros to the right of decimals to make the number of decimal places equal before comparing.
0, -11 से बड़ा है क्योंकि संख्या रेखा पर 0, -11 के दाईं ओर स्थित होता है। संख्या रेखा पर दाईं ओर स्थित संख्या हमेशा बड़ी होती है। “दोनों बराबर हैं” गलत है, क्योंकि -11 और 0 अलग-अलग संख्याएँ हैं। परीक्षा टिप: सभी ऋणात्मक संख्याएँ 0 से छोटी होती हैं। / 0 is greater than -11 because on the number line, 0 lies to the right of -11. A number to the right on a number line is always greater. “Both are equal” is incorrect because -11 and 0 are different numbers. Exam tip: Every negative number is less than 0.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{5+(-11)}{2}=\frac{-6}{2}=-3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। \(-2\) सही नहीं है, क्योंकि वह 5 और \(-11\) से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{5+(-11)}{2}=\frac{-6}{2}=-3\). Therefore, \(-3\) is correct. \(-2\) is not correct because it is not equally distant from 5 and \(-11\). Exam tip: add the two numbers and divide the sum by 2 to find the midpoint.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच दूरी उनके अंतर का धनात्मक मान होती है। अतः दूरी = \(|8-(-6)|=|14|=14\)। इसलिए सही विकल्प 14 है। 12 तब मिलता है जब ऋण चिह्न को गलत ढंग से संभाला जाए। परीक्षा टिप: दूरी ज्ञात करते समय हमेशा अंतर का मापांक लें, इसलिए उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / The distance between two numbers on a number line is the absolute value of their difference. Thus, the distance is \(|8-(-6)|=|14|=14\). Therefore, 14 is correct. A value such as 12 can result from handling the negative sign incorrectly. Exam tip: always use the absolute value for distance, so the answer cannot be negative.
\(-0.13=-0.130\) लिखने पर तुलना आसान हो जाती है। संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है और छोटी होती है। चूँकि \(-0.130 < -0.103\), इसलिए \(-0.13\) सही उत्तर है। \(-0.103\) शून्य के अधिक निकट है, इसलिए वह बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना से पहले आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर दशमलव स्थान बराबर करें। / Writing \(-0.13\) as \(-0.130\) makes the comparison clear. On a number line, the more negative number lies farther to the left and is smaller. Since \(-0.130 < -0.103\), \(-0.13\) is the correct answer. \(-0.103\) is closer to zero, so it is greater. Exam tip: When comparing negative decimals, add trailing zeros if needed to make the decimal places equal.
C. अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ/Infinitely many rational and infinitely many irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प C है। किन्हीं दो भिन्न वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। इसलिए \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) के बीच दोनों प्रकार मिलते हैं। परीक्षा-टिप: इसे वास्तविक संख्याओं का सघनता गुण याद रखें। / Option C is correct. Between any two distinct real numbers, there are infinitely many rational numbers and infinitely many irrational numbers. Hence both types lie between \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\). Exam tip: remember this as the density property of real numbers.
किसी संख्या का परिमाण संख्या रेखा पर उस संख्या की 0 से दूरी होता है। \(-25\), 0 से 25 इकाई दूर है, इसलिए उसका परिमाण \(25\) है। \(-25\) मूल संख्या है, उसका परिमाण नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का परिमाण सदैव धनात्मक होता है। / The absolute value of a number is its distance from 0 on the number line. Since \(-25\) is 25 units away from 0, its absolute value is \(25\). \(-25\) is the original number, not its absolute value. Exam tip: The absolute value of a negative number is always positive.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 7, -2 और 14 का मध्य नहीं है, क्योंकि वह दोनों से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-2+14}{2}=\frac{12}{2}=6\). Therefore, 6 is correct. For example, 7 is not the midpoint because it is not equally distant from -2 and 14. Exam tip: add the two numbers and divide the sum by 2.
संख्या रेखा पर बिंदु P मूलबिंदु के दाईं ओर 2.2 इकाई और बिंदु Q मूलबिंदु के दाईं ओर \(\sqrt{5}\) इकाई स्थित है। P और Q के बीच की दूरी का सही व्यंजक कौन-सा है?
\(2.2^2=4.84<5\) होने से \(2.2<\sqrt{5}\), अतः Q, P के दाईं ओर है। दूरी = बड़ा स्थानांक − छोटा स्थानांक = \(\sqrt{5}-2.2\)। परीक्षा में पहले दोनों स्थानांकों का क्रम जाँचें। / Since \(2.2^2=4.84<5\), we have \(2.2<\sqrt{5}\), so Q lies to the right of P. Distance is larger coordinate minus smaller coordinate: \(\sqrt{5}-2.2\). Exam tip: check the order before subtracting.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का निरपेक्ष मान होती है: \(|7-(-1)|=|8|=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। 7 केवल बड़ी संख्या है, दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी निकालते समय ऋणात्मक संख्या घटाने को जोड़ में बदलें और उत्तर को हमेशा धनात्मक लिखें। / On a number line, the distance between two numbers is the absolute value of their difference: \(|7-(-1)|=|8|=8\). Therefore, the correct answer is 8. The number 7 is only the larger coordinate, not the distance between the two points. Exam tip: while finding distance, subtracting a negative becomes addition, and the final distance is always non-negative.
बढ़ते क्रम में संख्याएँ सबसे छोटी से सबसे बड़ी लिखी जाती हैं। ऋणात्मक संख्याओं में जिसका परिमाण अधिक होता है, वह छोटा होता है; इसलिए -0.2, -0.02 से छोटा है। फिर 0 आता है और उसके बाद 0.2। अतः सही क्रम ( -0.2, -0.02, 0, 0.2 ) है। विकल्प C में -0.02 और -0.2 का क्रम उलटा है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय उन्हें संख्या रेखा पर बाएँ से दाएँ क्रम में सोचें। / In increasing order, numbers are written from smallest to greatest. Among negative decimals, the number with the greater magnitude is smaller, so -0.2 is less than -0.02. This is followed by 0 and then 0.2. Hence, the correct order is ( -0.2, -0.02, 0, 0.2 ). In option C, -0.02 and -0.2 are placed in the wrong order. Exam tip: Visualise decimals from left to right on the number line when comparing them.
A. उनके बीच कम-से-कम एक परिमेय संख्या होती है/There is at least one rational number between them
Explanation
Simple Explanation
यदि \(x<y\), तो \(1/n<y-x\) वाला \(n\) लेने पर कोई \(m/n\) इनके बीच मिलता है। इसलिए A सही है। D गलत है, क्योंकि बीच में अपरिमेय भी होते हैं। टिप: परिमेय और अपरिमेय दोनों सघन हैं। / If \(x<y\), choose \(n\) such that \(1/n<y-x\); then some \(m/n\) lies between them. Hence A is correct. D is false because irrationals also lie between them. Exam tip: both sets are dense.
संख्या रेखा पर \( -12 \) के दाईं ओर और \( -6 \) के बाईं ओर आने वाले पूर्णांक \( -11, -10, -9, -8, -7 \) हैं। इसलिए \( -10 \), \( -12 \) और \( -6 \) के बीच है। \( -13 \) और \( -15 \), \( -12 \) से छोटे हैं, जबकि \( -5 \), \( -6 \) से बड़ा है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में दाईं ओर जाने पर संख्या का मान बढ़ता है। / On the number line, the integers to the right of \( -12 \) and to the left of \( -6 \) are \( -11, -10, -9, -8, -7 \). Therefore, \( -10 \) lies between \( -12 \) and \( -6 \). \( -13 \) and \( -15 \) are less than \( -12 \), while \( -5 \) is greater than \( -6 \). Exam tip: For negative numbers, values increase as you move to the right on the number line.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-4+8}{2}=\frac{4}{2}=2\)। इसलिए सही उत्तर \(2\) है। \(4\), दोनों संख्याओं के योग का आधा नहीं बल्कि योग है, इसलिए वह मध्य बिंदु नहीं है। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु ज्ञात करने के लिए हमेशा दोनों संख्याओं को जोड़कर \(2\) से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-4+8}{2}=\frac{4}{2}=2\). Therefore, \(2\) is correct. \(4\) is the sum of the two numbers before dividing by \(2\), so it is not the midpoint. Exam tip: add the two numbers and divide the result by \(2\) to find their midpoint.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर का धनात्मक मान होती है। अतः \(\lvert -15-0\rvert=\lvert-15\rvert=15\)। इसलिए सही उत्तर 15 है। 14 केवल एक कम संख्या है, दूरी नहीं। परीक्षा टिप: दूरी निकालते समय हमेशा अंतर का निरपेक्ष मान लें, इसलिए दूरी ऋणात्मक नहीं होती। / On a number line, the distance between two numbers is the positive value of their difference. Thus, \(\lvert -15-0\rvert=\lvert-15\rvert=15\). Therefore, 15 is correct. The value 14 is merely one less and is not the distance. Exam tip: always use the absolute value of the difference, since distance cannot be negative.
