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संख्या रेखा पर बिंदु A, \(-\sqrt{7}\) को और बिंदु B, \(-2.6\) को दर्शाता है। एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{7}>2.6\) होने के कारण A, B के दाईं ओर होगा। सही सुधार कौन-सा है?
A. बिंदु A, B के बाईं ओर है/Point A lies to the left of B.
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{7}\approx2.646\), इसलिए \(-\sqrt{7}\approx-2.646\) है। चूँकि \(-2.646<-2.6\), A, B के बाईं ओर है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाला मान बाईं ओर होता है। / Since \(\sqrt{7}\approx2.646\), we get \(-\sqrt{7}\approx-2.646\). As \(-2.646<-2.6\), A is to the left of B. Exam tip: among negative numbers, the value with greater magnitude lies further left.
दूरी दोनों निर्देशांकों के अंतर के परिमाण के बराबर होती है। परीक्षा में ऋण चिह्न को दिशा मानें, दूरी नहीं। / Distance equals the absolute difference of the two coordinates. In exams, treat the negative sign as direction, not distance.
क्योंकि \(7^2=49\) और \(8^2=64\), इसलिए \(\sqrt{52}\) इनके बीच है। परीक्षा में वर्गों की तुलना करके स्थान पहचानें। / Since \(7^2=49\) and \(8^2=64\), \(\sqrt{52}\) lies between them. In exams, locate square roots by comparing squares.
क्योंकि \(\sqrt{10}\) (3) और (4) के बीच है, इसलिए \(-\sqrt{10}\) (-4) और (-3) के बीच होगा। परीक्षा में ऋणात्मक सुरद की दिशा बाईं ओर मानें। / Since \(\sqrt{10}\) lies between (3) and (4), \(-\sqrt{10}\) lies between (-4) and (-3). In exams, place negative surds to the left.
यह दशमलव अनावर्ती और अनंत है, इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। परीक्षा में अनावर्ती अनंत दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / This decimal is non-recurring and non-terminating, so it is irrational. In exams, identify non-recurring infinite decimals as irrational.
A. यह (2) और (3) के बीच (2.75) पर है/It is between (2) and (3) at (2.75)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{11}{4}=2.75\), इसलिए यह (2) और (3) के बीच आता है। परीक्षा में भिन्न को दशमलव या मिश्र भिन्न में बदलकर रखें। / \(\frac{11}{4}=2.75\), so it lies between (2) and (3). In exams, convert fractions to decimals or mixed numbers for placement.
\(-\frac{5}{2}=-2.5\), और (-2.45) (-2.5) से बड़ा तथा (-2.4) से छोटा है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं की तुलना सावधानी से करें। / \(-\frac{5}{2}=-2.5\), and (-2.45) is greater than (-2.5) but less than (-2.4). In exams, compare negative numbers carefully.
ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। \(-0.09\), \(-0.9\) की तुलना में शून्य के अधिक निकट है; इसलिए \(-0.09 > -0.9\)। \(0.09\) और \(0.9\) धनात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए वे दिए गए दोनों विकल्पों की तुलना नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में अधिक दशमलव परिमाण वाली संख्या छोटी होती है। / For negative numbers, the number closer to zero is greater. Since \(-0.09\) is closer to zero than \(-0.9\), we have \(-0.09 > -0.9\). The options \(0.09\) and \(0.9\) are positive numbers, so they are not the numbers being compared. Exam tip: among negative decimals, the one with the smaller absolute value is greater.
-2.4 को -2.40 लिखा जा सकता है। तुलना करने पर -2.40, -2.04 से छोटा है क्योंकि संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है। विकल्प -2.04 ऋणात्मक तो है, पर वह -2.4 से बड़ा है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना से पहले आवश्यकतानुसार शून्य लगाकर दशमलव स्थान समान कर लें। / -2.4 can be written as -2.40. Since -2.40 is more negative than -2.04, it lies farther to the left on the number line and is therefore smaller. Option -2.04 is negative, but it is greater than -2.4. Exam tip: Add trailing zeros when needed to compare decimal places easily.
\(-\frac{4}{5}=-0.8\), जो दिए गए मानों में सबसे छोटा है। परीक्षा में सबसे बाईं संख्या सबसे छोटी होती है। / \(-\frac{4}{5}=-0.8\), which is the smallest among the given values. In exams, the farthest-left number is the least number.
दाईं ओर जाने पर दूरी जोड़ी जाती है, इसलिए \(P=-1+\sqrt{13}\)। \(3.6<\sqrt{13}<3.7\) से \(2.6<P<2.7\) मिलता है। अतः \(P\), \(2\) और \(3\) के बीच है; प्रारंभिक निर्देशांक को शून्य न मानें। / Moving to the right means adding the distance, so \(P=-1+\sqrt{13}\). As \(3.6<\sqrt{13}<3.7\), we get \(2.6<P<2.7\). Therefore, \(P\) lies between 2 and 3; do not treat the starting coordinate as zero.
A. हर वास्तविक संख्या का एक अद्वितीय बिंदु होता है/Every real number has a unique point
Explanation
Simple Explanation
संख्या रेखा वास्तविक संख्याओं का निरूपण करती है और हर वास्तविक संख्या का एक अद्वितीय स्थान होता है। परीक्षा में संख्या रेखा को वास्तविक संख्याओं से जोड़कर समझें। / The number line represents real numbers, and each real number has a unique position. In exams, connect the number line with real numbers.
\(\sqrt{\frac{1}{2}}\) (0) और (1) के बीच है और इसे परिमेय रूप में सरल नहीं किया जा सकता। परीक्षा में वर्गमूल वाले अपूर्ण वर्गों को अपरिमेय पहचानें। / \(\sqrt{\frac{1}{2}}\) lies between (0) and (1) and cannot be simplified to a rational form. In exams, identify square roots of non-perfect squares as irrational.
B. (8) बराबर भागों में और (5)वां बिंदु लें/Into (8) equal parts and take the (5)th point
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{5}{8}\) में हर (8) है, इसलिए इकाई को (8) बराबर भागों में बांटकर (5)वां भाग लें। परीक्षा में हर भागों की संख्या बताता है। / In \(\frac{5}{8}\), the denominator is (8), so divide the unit into (8) equal parts and take the (5)th. In exams, the denominator gives the number of equal parts.
-3.5 = -3.50 होता है। संख्या रेखा पर अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है और वही छोटी होती है। इसलिए -3.50, -3.05 से छोटा है। 3.05 और 3.5 धनात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए वे दोनों ऋणात्मक संख्याओं से बड़ी हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय अंकों की संख्या बराबर करने के लिए शून्य जोड़ लें। / -3.5 can be written as -3.50. On the number line, the more negative number lies farther to the left and is smaller. Therefore, -3.50 is smaller than -3.05. The options 3.05 and 3.5 are positive, so both are greater than either negative number. Exam tip: When comparing negative decimals, add zeros if needed to make the decimal places equal.
\(\sqrt{80}\approx8.94\), इसलिए यह (9) के थोड़ा बाईं ओर होगा। परीक्षा में अनुमान को निकटतम पूर्णांक के साथ दिशा से जोड़ें। / \(\sqrt{80}\approx8.94\), so it lies slightly left of (9). In exams, connect approximation with direction near the nearest integer.
सही उत्तर -0.101 है। क्योंकि -0.11 को -0.110 लिखा जा सकता है। अब तुलना करने पर -0.101, -0.110 से बड़ा है, क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वही बड़ी होती है। दोनों संख्याएँ बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना के लिए दशमलव स्थानों को बराबर करने हेतु अंत में शून्य लगाएँ। / The correct answer is -0.101. We can write -0.11 as -0.110. On comparing them, -0.101 is greater than -0.110 because, among negative numbers, the number closer to zero is greater. The two numbers are not equal. Exam tip: While comparing negative decimals, add trailing zeros to make the number of decimal places equal.
\(-0.004\), \(-0.04\) से बड़ा है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। संख्या रेखा पर \(-0.004\), \(-0.04\) के दाईं ओर स्थित है। \(0.004\) और \(0.04\) धनात्मक संख्याएँ हैं, इसलिए वे दिए गए दो विकल्पों की तुलना का उत्तर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक दशमलवों की तुलना करते समय पहले देखें कि कौन-सी संख्या शून्य के अधिक पास है। / \(-0.004\) is greater than \(-0.04\) because, among negative numbers, the number closer to zero is greater. On the number line, \(-0.004\) lies to the right of \(-0.04\). \(0.004\) and \(0.04\) are positive numbers, so they do not answer the comparison between the two given numbers. Exam tip: When comparing negative decimals, identify which number is closer to zero.
समान दशमलव स्थानों तक लिखने पर
-0.62 = -0.620 होता है। अब तुलना करें: -0.602, -0.620 से बड़ा है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है। 0.602 और 0.620 धनात्मक हैं, इसलिए वे दिए गए ऋणात्मक संख्याओं की तुलना का सही उत्तर नहीं हैं। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना से पहले आवश्यकतानुसार अंत में शून्य लगाकर उनके दशमलव स्थान बराबर कर लें। / Write the numbers to the same number of decimal places: -0.62 = -0.620. Now compare them: -0.602 is greater than -0.620 because, among negative numbers, the number closer to zero is greater. The positive numbers 0.602 and 0.620 are not valid answers for comparing the given negative numbers. Exam tip: Add trailing zeros when needed to make the decimal places equal before comparing decimals.
संख्या रेखा पर दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-3+21}{2}=\frac{18}{2}=9\)। इसलिए सही उत्तर 9 है। 8 या 10 मध्य बिंदु के दोनों ओर बराबर दूरी नहीं देते। परीक्षा टिप: मध्य बिंदु निकालते समय दोनों संख्याओं का योग लेकर 2 से भाग दें। / The midpoint of two numbers on a number line is their average: \(\frac{-3+21}{2}=\frac{18}{2}=9\). Therefore, 9 is correct. Neither 8 nor 10 is at an equal distance from both numbers. Exam tip: Add the two numbers and divide the result by 2 to find their midpoint.
संख्या रेखा पर \(P=\sqrt{2}\) और \(Q=\sqrt{3}\) हैं। एक विद्यार्थी कहता है कि \(P\) और \(Q\) के बीच कोई परिमेय संख्या नहीं हो सकती, क्योंकि दोनों अपरिमेय हैं। इस कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
C. कथन गलत है, क्योंकि \(P\) और \(Q\) के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।/The statement is incorrect because infinitely many rational numbers lie between \(P\) and \(Q\).
Explanation
Simple Explanation
\(2<\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac94<3\) होने से \(\sqrt2<\frac32<\sqrt3\) है। \(\frac32\) परिमेय है और हर दो अलग वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। परीक्षा टिप: धनात्मक वर्गमूलों की तुलना के लिए वर्ग करें। / Since \(2<\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac94<3\), we get \(\sqrt2<\frac32<\sqrt3\). Thus \(\frac32\) is a rational number between them; in fact, infinitely many rationals lie between distinct real numbers. Exam tip: compare positive roots by squaring.
एक विद्यार्थी कहता है कि संख्या रेखा पर 1.4 और 1.5 के बीच स्थित प्रत्येक संख्या परिमेय होती है। निम्नलिखित में से कौन-सा बिंदु उसके कथन को गलत सिद्ध करता है?
\(\sqrt{2}\) अपरिमेय है और \(1.4^2=1.96<2<2.25=1.5^2\), इसलिए \(1.4<\sqrt{2}<1.5\)। अतः इस अंतराल में अपरिमेय संख्या भी है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का स्थान जानने के लिए सिरों के वर्गों की तुलना करें। / \(\sqrt{2}\) is irrational, and \(1.4^2=1.96<2<2.25=1.5^2\), so \(1.4<\sqrt{2}<1.5\). Thus, the interval contains an irrational number. Exam tip: compare squares of the endpoints to locate a square root.
दो संख्याओं का मध्य बिंदु उनका औसत होता है: \(\frac{-9+(-21)}{2}=\frac{-30}{2}=-15\)। इसलिए सही उत्तर \(-15\) है। \(-14\) जैसी संख्या दोनों संख्याओं से समान दूरी पर नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते समय उनके परिमाण जोड़कर उत्तर के साथ ऋण चिह्न लगाएँ। / The midpoint of two numbers is their average: \(\frac{-9+(-21)}{2}=\frac{-30}{2}=-15\). Therefore, \(-15\) is correct. A value such as \(-14\) is not at an equal distance from both numbers. Exam tip: when adding negative numbers, add their magnitudes and retain the negative sign.
\(-0.51=-0.510\) लिखने पर तुलना स्पष्ट होती है। चूँकि \(-0.509\), \(-0.510\) से बड़ा है, इसलिए \(-0.509\) सही उत्तर है। ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या शून्य के अधिक निकट होती है, वह बड़ी होती है; इसलिए \(-0.501\) यहाँ दिए गए प्रश्न का उत्तर नहीं है, यद्यपि वह दोनों से बड़ा है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करने से पहले उनके दशमलव स्थानों की संख्या बराबर कर लें। / Write \(-0.51\) as \(-0.510\) to compare the decimals. Since \(-0.509\) is greater than \(-0.510\), \(-0.509\) is the correct answer. Among negative numbers, the number closer to zero is greater. Although \(-0.501\) would be greater than both given numbers, it is not one of the two numbers being compared. Exam tip: first make the number of decimal places equal before comparing decimals.
C. उसमें अनंत परिमेय तथा अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं/It contains infinitely many rational and infinitely many irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्या रेखा पर किसी भी \(a<b\) के बीच अनंत परिमेय और अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, इसलिए C सही है। परीक्षा में ‘बीच’ दिखे तो कोई रिक्त स्थान न मानें। / Between any \(a<b\), there are infinitely many rational as well as irrational numbers, so C is correct. In exams, remember that the real number line has no gaps between two real numbers.
