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\(5120\times1953125=10000000000\), इसलिए \( \frac{191}{5120}=0.0373046875 \) है। बड़े हर को (10) की घात में बदलना सटीक तरीका है। / \(5120\times1953125=10000000000\), so \( \frac{191}{5120}=0.0373046875 \). Converting a large denominator into a power of (10) is an exact method.
\(0.00025390625=\frac{25390625}{100000000000}=\frac{13}{51200}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सरल रूप में लिखें। / \(0.00025390625=\frac{25390625}{100000000000}=\frac{13}{51200}\). Count decimal places and write the fraction in simplest form.
हर में (23) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (23), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{264}{440}=\frac{3}{5} \) और हर में केवल (5) है। इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{264}{440}=\frac{3}{5} \), and the denominator has only (5). Therefore, its decimal expansion is terminating.
दशमलव में 67 के बाद 08, 08, 08, \ldots दोहर रहा है। इसलिए अनावर्ती भाग 67 है और आवर्ती भाग 08 है; सही संकेतन \(0.67\overline{08}\) होगा। \(0.670\overline{8}\) में केवल 8 को आवर्ती माना गया है, जिससे 0 के बार-बार आने का संकेत नहीं मिलता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव अंकों को समूहों में लिखकर सबसे छोटा दोहरने वाला खंड पहचानें। / After 67, the digits 08, 08, 08, \ldots repeat. Thus, 67 is the non-repeating part and 08 is the repeating block, so the notation is \(0.67\overline{08}\). In \(0.670\overline{8}\), only 8 repeats, so it does not show the repeated zeros. Exam tip: Write the decimal digits in groups first and identify the shortest block that repeats.
बार केवल (36) पर है, इसलिए (209) के बाद (36) बार-बार आएगा। बार वाले भाग को लगातार दोहराते हैं। / The bar is only over (36), so after (209), (36) repeats. The barred part repeats continuously.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.999\ldots\), \(1\) से छोटा है क्योंकि इसके सभी सीमित दशमलव रूप, जैसे \(0.9\) और \(0.99\), \(1\) से छोटे हैं। इस कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
A. \(x=0.999\ldots\) मानने पर \(10x-x=9\), इसलिए \(x=1\)।/Letting \(x=0.999\ldots\), \(10x-x=9\), so \(x=1\).
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(x=0.999\ldots\)। तब \(10x=9.999\ldots\) और घटाने पर \(9x=9\), अतः \(x=1\)। सीमित सन्निकटन छोटे होते हैं, पर उनकी सीमा \(1\) है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव में \(10x-x\) विधि अपनाएँ। / Let \(x=0.999\ldots\). Then \(10x=9.999\ldots\); subtracting gives \(9x=9\), hence \(x=1\). Finite truncations are smaller, but their limit is \(1\). Exam tip: use the \(10x-x\) method for recurring decimals.
\( \frac{9}{11}=0.818181\ldots \), जो (0.8189) से छोटा है। तुलना में सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{9}{11}=0.818181\ldots \), which is less than (0.8189). View all numbers in decimal form for comparison.
दसवें और सौवें स्थान समान हैं, इसलिए हजारवें स्थान पर (a>6) होना चाहिए। सबसे छोटा मान (7) है। / The tenths and hundredths digits are equal, so the thousandths digit must satisfy (a>6). The smallest value is (7).
(2048) केवल (2) की घात है, इसलिए दशमलव सांत होगा और \( \frac{97}{2048}=0.04736328125 \) है। (2) की घात वाले हर को (10) की घात में बदलें। / (2048) is a power of (2), so the decimal terminates and \( \frac{97}{2048}=0.04736328125 \). Convert a power-of-(2) denominator into a power of (10).
\(0.000546875=\frac{546875}{1000000000}=\frac{7}{12800}\) है। अंतिम उत्तर को हमेशा सरल रूप में लिखें। / \(0.000546875=\frac{546875}{1000000000}=\frac{7}{12800}\). Always write the final answer in simplest form.
\(90=2\times3^2\times5\) में (3) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(90=2\times3^2\times5\) has (3), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
पहला (5) दसवें और अंतिम (5) दस लाखवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से लिखना आवश्यक नहीं है। / The first (5) is in tenths and the last (5) is in millionths. Zero-value places need not be written separately.
दोनों संख्याओं को (10000) से गुणा करने पर \(8640\div18=480\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both numbers by (10000) gives \(8640\div18=480\). Removing decimals makes division easier.
(15.009=15.00900), इसलिए (15.00900-8.34575=6.66325) है। घटाते समय दशमलव स्थान समान करें। / (15.009=15.00900), so (15.00900-8.34575=6.66325). Make decimal places equal while subtracting.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.5625000000+0.0019531250+0.0000390625=0.5644921875) मिलता है। जोड़ में दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.5625000000+0.0019531250+0.0000390625=0.5644921875). Align decimal points while adding.
यहाँ 19.874999\ldots में दशमलव के बाद 4 के बाद अनंत 9 हैं। क्योंकि \(0.004999\ldots=0.005\), इसलिए \(19.874999\ldots=19.875\) होता है। विकल्प 19.874 केवल दशमलव को काटकर लिखा गया है, इसलिए वह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उस अंक सहित भाग को अगले स्थान तक बढ़ाकर सांत दशमलव में बदला जा सकता है। / In 19.874999\ldots, infinitely many 9s occur after 4. Since \(0.004999\ldots=0.005\), we get \(19.874999\ldots=19.875\). Option 19.874 is only a truncation of the decimal, so it is not equal to the given number. Exam tip: when infinitely many 9s follow a digit, rewrite the decimal by increasing the preceding finite part appropriately.
\( \frac{41}{80}=0.5125 \) और \( \frac{19}{37}=0.513513\ldots \), इसलिए (0.5130) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{41}{80}=0.5125 \) and \( \frac{19}{37}=0.513513\ldots \), so (0.5130) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
A. सरलतम रूप में हर 480 में 3 गुणनखंड है, इसलिए प्रसार असांत आवर्ती होगा/The denominator 480 in lowest terms contains factor 3, so the expansion is non-terminating recurring.
Explanation
Simple Explanation
\(77\) और \(480\) परस्पर अभाज्य हैं तथा \(480=2^5\times3\times5\)। सरलतम हर में 3 होने पर प्रसार असांत आवर्ती होता है; केवल सम हर होना पर्याप्त नहीं। परीक्षा में हर का अभाज्य गुणनखंडन करें। / \(77\) and \(480\) are coprime, and \(480=2^5\times3\times5\). Factor 3 makes the decimal non-terminating recurring; an even denominator alone is insufficient. Exam tip: factorise the lowest denominator.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=7.8125\div100000=0.000078125\) है। (100000) से भाग देने पर दशमलव पांच स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=7.8125\div100000=0.000078125\). On dividing by (100000), the decimal moves five places left.
दशमलव बिंदु के बाद अंकों को क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ, दस-हजारवाँ, लाखवाँ और दस-लाखवाँ स्थान कहते हैं। संख्या 43.009008 में 8 दशमलव के बाद छठे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(\frac{8}{1000000}\) है। विकल्प C पाँचवें स्थान का मान दर्शाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-टिप: दशमलव के बाद आने वाले शून्यों को भी गिनते हुए स्थान निर्धारित करें। / The places after the decimal point are tenths, hundredths, thousandths, ten-thousandths, hundred-thousandths and millionths. In 43.009008, 8 is in the sixth place after the decimal point, so its place value is \(\frac{8}{1000000}\). Option C represents the fifth place and is therefore incorrect. Exam tip: Count zeros after the decimal point while determining the digit's position.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को समान दशमलव स्थानों तक लिख सकते हैं: \(5.0050,\ 5.0055,\ 5.0505,\ 5.5000\)। हजारवें स्थान पर \(5.0050\) और \(5.0055\) दोनों में 5 है, लेकिन अगले स्थान पर 0, 5 से छोटा है; इसलिए \(5.005<5.0055\)। फिर \(5.0505\), \(5.0055\) से बड़ा है और \(5.500\) सबसे बड़ा है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना करते समय दाईं ओर शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या समान कर लें। / Write the numbers with equal decimal places: \(5.0050,\ 5.0055,\ 5.0505,\ 5.5000\). In \(5.0050\) and \(5.0055\), the thousandths digit is 5, but the next digit is 0 and 5 respectively; hence \(5.005<5.0055\). Also, \(5.0505\) is greater than \(5.0055\), while \(5.500\) is the greatest. Therefore, option A is correct. Exam tip: Add zeros to the right of decimals to make the number of decimal places equal before comparing.
\(32000\times3125=100000000\), इसलिए \( \frac{181}{32000}=0.00565625 \) है। हर को (10) की घात बनाकर सटीक दशमलव निकालें। / \(32000\times3125=100000000\), so \( \frac{181}{32000}=0.00565625 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
यह ज्ञात करने के लिए बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देते हैं: \(0.0078125 \div 0.000078125 = 100\)। इसलिए \(0.0078125\), \(0.000078125\) का 100 गुना है। ध्यान रखें कि तुलना में बड़े दशमलव को छोटे दशमलव से भाग देना चाहिए। / To find the multiplier, divide the larger decimal by the smaller one: \(0.0078125 \div 0.000078125 = 100\). Therefore, \(0.0078125\) is 100 times \(0.000078125\). Exam tip: for “how many times,” divide the compared larger quantity by the reference quantity.
यहाँ रेखा केवल अंकों 54 के ऊपर है, इसलिए 54 बार-बार दोहराया जाएगा। आरंभ के तीन शून्य अनावर्ती हैं, अतः विस्तार \(0.000545454\ldots\) है। विकल्प C में 540 का आवर्तन माना गया है, जो दिए गए संकेत के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव में पहले देखें कि रेखा किन अंकों के ऊपर लगी है। / The bar is placed only over 54, so the block 54 repeats indefinitely. The first three zeros are non-repeating; hence the expansion is \(0.000545454\ldots\). Option C incorrectly treats 540 as the repeating block. Exam tip: first identify exactly which digits are covered by the bar in a recurring decimal.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय संख्या है, क्योंकि इसके दशमलव प्रसार में केवल 0 और 1 अंक आते हैं। विद्यार्थी के कथन का सही सुधार क्या है?
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
1 के बीच शून्यों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्तन जाँचें, अंकों की संख्या नहीं। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, …, so no fixed repeating block exists. Hence the decimal is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Exam tip: check repetition, not just the digits used.
\( \frac{132}{484}=\frac{3}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{132}{484}=\frac{3}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
यहाँ 23.74999\ldots = 23.74 + 0.00999\ldots है। क्योंकि 0.00999\ldots = 0.01, इसलिए मान 23.74 + 0.01 = 23.75 होगा। 23.749 केवल सीमित अंकों तक लिखी संख्या है; उसमें अनंत 9 का प्रभाव शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी स्थान के बाद अनंत 9 हों, तो उन्हें अगले स्थान पर 1 बढ़ाकर सांत दशमलव में लिख सकते हैं। / Here, 23.74999\ldots = 23.74 + 0.00999\ldots. Since 0.00999\ldots = 0.01, the value is 23.74 + 0.01 = 23.75. The number 23.749 has only finitely many digits and does not include the effect of the infinitely repeating 9s. Exam tip: An infinite string of 9s after a decimal place can be written by increasing the preceding digit by 1.
संख्या 8.090600 में दशमलव के बाद के अंक क्रमशः दशमांश, शतांश, सहस्रांश और दस-हजारवाँ स्थान दर्शाते हैं। अंक 6 दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(6 \times \frac{1}{10000}=\frac{6}{10000}\) है। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि दशमलव के बाद प्रत्येक स्थान का मान पिछले स्थान से 10 गुना छोटा होता है। / In 8.090600, the digits after the decimal point represent tenths, hundredths, thousandths and ten-thousandths in order. The digit 6 is in the fourth place after the decimal point, so its place value is \(6 \times \frac{1}{10000}=\frac{6}{10000}\). Therefore, option C is correct. Exam tip: count decimal places from left to right; the fourth place always has denominator 10,000.
चार दशमलव स्थानों तक लिखने पर \(b=0.7800\), \(a=0.7080\) और \(c=0.7008\) मिलते हैं। अतः \(0.7800>0.7080>0.7008\), इसलिए सही क्रम \(b>a>c\) है। \(a\) और \(c\) में 0.7080 का हजारवाँ अंक 8 है, जबकि 0.7008 का हजारवाँ अंक 0 है; इसलिए \(a>c\)। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना से पहले आवश्यकतानुसार अंत में शून्य लगाकर स्थानों की संख्या समान कर लें। / Writing the numbers up to four decimal places gives \(b=0.7800\), \(a=0.7080\), and \(c=0.7008\). Thus, \(0.7800>0.7080>0.7008\), so the correct order is \(b>a>c\). Between \(a\) and \(c\), the thousandths digit of 0.7080 is 8, while that of 0.7008 is 0; hence \(a>c\). Exam tip: Append zeros to decimals when needed so that all numbers have the same number of decimal places before comparing them.
\( \frac{47}{500}=0.094 \) और \( \frac{23}{1280}=0.01796875 \), इसलिए योग (0.11196875) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{47}{500}=0.094 \) and \( \frac{23}{1280}=0.01796875 \), so the sum is (0.11196875). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{59}{256}=0.23046875 \), इसलिए (0.23046875-0.10546875=0.125) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{59}{256}=0.23046875 \), so (0.23046875-0.10546875=0.125). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(1134\div18=63\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान होता है। / Multiplying both by (1000) gives \(1134\div18=63\). Removing decimals makes division easier.
दिया गया दशमलव \(0.0747474\ldots\) में दशमलव के बाद पहले \(0\) आता है, फिर अंक-समूह \(74\) बार-बार दोहरता है: \(0,74,74,74,\ldots\)। इसलिए केवल \(74\) पर बार लगाया जाता है और सही रूप \(0.0\overline{74}\) है। \(0.\overline{074}\) में \(074\) दोहरता, जो अलग दशमलव देता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दोहरने वाले सबसे छोटे अंक-समूह को पहचानें। / In \(0.0747474\ldots\), the first digit after the decimal point is \(0\), and then the block \(74\) repeats: \(0,74,74,74,\ldots\). Hence, the bar is placed only over \(74\), giving \(0.0\overline{74}\). In \(0.\overline{074}\), the entire block \(074\) would repeat, producing a different decimal. Exam tip: identify the shortest repeating block before placing the bar.
एक विद्यार्थी ने दशमलव संख्या \(0.101001000100001\ldots\) लिखी है, जिसमें क्रमागत 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … है। इस संख्या के बारे में कौन-सा निष्कर्ष सही है?
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
हर आवर्ती दशमलव में \(p\) अंकों का एक निश्चित खंड बार-बार आता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, … बढ़ती रहती है, इसलिए कोई स्थिर आवर्त नहीं है और संख्या अपरिमेय है। टिप: केवल 0 और 1 होना परिमेयता सिद्ध नहीं करता। / In a recurring decimal, a fixed block of \(p\) digits repeats. Here, the gaps of zeros between 1s are 1, 2, 3, … and keep increasing, so no fixed period exists; hence the number is irrational. Exam tip: using only 0 and 1 does not make a number rational.
\(2^{11}\) को \(10^{11}\) बनाने के लिए \(5^{11}\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (11) दशमलव स्थान होंगे। / To make \(2^{11}\) into \(10^{11}\), we multiply by \(5^{11}\). So there will be at most (11) decimal places.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (9) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (9) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (9). So the terminating decimal will have at most (9) places.
इसमें (6) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (6)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
किसी दशमलव संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा किया जाता है। यहाँ \(0.0064 \times 100 = 0.64\), इसलिए प्राप्त प्रतिशत \(0.64\%\) है। विकल्प C में दशमलव को एक स्थान अधिक खिसका दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव को प्रतिशत में बदलते समय दशमलव बिंदु दो स्थान दाईं ओर खिसकाएँ। / To convert a decimal into a percentage, multiply it by 100. Here, \(0.0064 \times 100 = 0.64\), so the percentage is \(0.64\%\). Option C results from shifting the decimal point one place too far. Exam tip: when multiplying a decimal by 100, move the decimal point two places to the right.
(10000000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु सात स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए उत्तर (4882.8125) है। / On multiplying by (10000000), the decimal point moves seven places to the right. Therefore, the answer is (4882.8125).
\(0.374\overline{9}=0.375000\ldots\) और \( \frac{3}{8}=0.375 \) है। दोहरते (9) को सही पहचानें। / \(0.374\overline{9}=0.375000\ldots\) and \( \frac{3}{8}=0.375 \). Identify repeating (9)'s correctly.
\( \frac{47}{128}=0.3671875 \), इसलिए (0.3675), (0.3671875) से बड़ा और (0.368) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{47}{128}=0.3671875 \), so (0.3675) is greater than (0.3671875) and less than (0.368). Convert boundary values into decimals.
\( \frac{242}{605}=\frac{2}{5} \) और हर में केवल (5) है। इसलिए दशमलव सांत होगा। / \( \frac{242}{605}=\frac{2}{5} \), and the denominator has only (5). Therefore, the decimal will terminate.
\( \frac{313}{128000}=0.0024453125 \) है। हर को (10) की घात में बदलकर सटीक दशमलव निकालें। / \( \frac{313}{128000}=0.0024453125 \). Convert the denominator into a power of (10) to get the exact decimal.
\(0.00003125=\frac{3125}{100000000}=\frac{1}{32000}\) है। दशमलव स्थान गिनकर भिन्न को सरल करें। / \(0.00003125=\frac{3125}{100000000}=\frac{1}{32000}\). Count decimal places and simplify the fraction.
हर में (29) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (29), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
दशमलव के बाद पहले तीन अंक 000 अनावर्ती हैं। इसके बाद 91 का क्रम बार-बार आता है: 0.000 91 91 91...। इसलिए बार केवल 91 पर लगाया जाएगा, अर्थात \(0.000\overline{91}\)। \(0.00\overline{091}\) में 091 का समूह आवर्ती माना जाता है, जो दिए गए दशमलव से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दोहराए जाने वाले सबसे छोटे अंक-समूह को पहचानें। / The first three digits after the decimal point, 000, do not repeat. After them, the block 91 repeats: 0.000 91 91 91... Hence, the bar must be placed only over 91, giving \(0.000\overline{91}\). In \(0.00\overline{091}\), the block 091 is treated as repeating, which does not match the given decimal. Exam tip: identify the smallest repeating block before placing the bar.
\(\frac{21}{160}\) के हर का अभाज्य गुणनखंडन \(160=2^5\times5\) है। सरलतम रूप में हर केवल \(2\) और/या \(5\) के गुणनखंडों वाला हो तो दशमलव प्रसार सांत होता है। \(66,90,84\) में क्रमशः \(3\) या \(7\) भी है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें, फिर हर जाँचें। / For \(\frac{21}{160}\), the denominator is \(160=2^5\times5\). A rational number has a terminating decimal only when its simplified denominator contains only factors \(2\) and/or \(5\). The denominators \(66,90,84\) also contain \(3\) or \(7\). Exam tip: simplify first, then factorise the denominator.
(2) और (5) की घातों में बड़ी घात (12) है। इसलिए सांत दशमलव में अधिकतम (12) स्थान होंगे। / The larger exponent among (2) and (5) is (12). So the terminating decimal will have at most (12) places.
