Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वर्ग करने पर \(2=\frac{a^2}{b^2}\) मिलता है। इसलिए \(a^2=2b^2\) सही संबंध है। / Squaring gives \(2=\frac{a^2}{b^2}\). Therefore \(a^2=2b^2\) is the correct relation.
A. कानून का निष्पक्ष और समान प्रयोग/Fair and equal application of law
Explanation
Simple Explanation
कानून का शासन पक्षपातपूर्ण प्रयोग को स्वीकार नहीं करता। परीक्षा में समर्थक और विरोधी दोनों पर समान कानून देखें। / Rule of law does not accept biased application. Exam tip: check equal law for supporters and critics.
अधिकार तभी उपयोगी हैं जब उल्लंघन पर उपाय मिले। परीक्षा में अधिकार और उपचार को साथ याद रखें। / Rights are useful only when remedy exists for violation. Exam tip: remember rights and remedy together.
B. (a) सम है क्योंकि \(a^2\) सम है/(a) is even because \(a^2\) is even
Explanation
Simple Explanation
दाएँ पक्ष में (2) है इसलिए \(a^2\) सम है। वर्ग सम हो तो संख्या भी सम होती है। / The right side has (2), so \(a^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
दोष सिद्ध करने के लिए प्रमाण और निष्पक्ष प्रक्रिया जरूरी हैं। परीक्षा में अफवाह को न्याय का आधार न मानें। / Evidence and fair procedure are needed to prove guilt. Exam tip: do not treat rumour as a basis of justice.
\(p^2\) में (3) का गुणनखंड है इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। अभाज्य गुणनखंड का नियम लगाएं। / \(p^2\) has factor (3), so (p) is also divisible by (3). Use the prime factor rule.
D. नेता भी कानून के अधीन है/Leader is also subject to law
Explanation
Simple Explanation
चुनाव जीतना कानून से ऊपर होने का अधिकार नहीं देता। परीक्षा में चुनावी जीत और कानून की सीमा अलग रखें। / Winning election does not give the right to be above law. Exam tip: separate electoral victory and legal limits.
शांतिपूर्ण आलोचना लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति का हिस्सा है। परीक्षा में आलोचना और अधिकार का संबंध याद रखें। / Peaceful criticism is part of democratic expression. Exam tip: remember the relation between criticism and rights.
गिरफ्तारी कानूनी कारण और प्रक्रिया पर आधारित होनी चाहिए। परीक्षा में कारण बताने को अधिकार सुरक्षा से जोड़ें। / Arrest should be based on legal reason and procedure. Exam tip: connect stating reasons with rights protection.
\(b^2\) सम है इसलिए (b) भी सम होगा। यही दोनों को सम बनाकर विरोधाभास देता है। / \(b^2\) is even, so (b) is also even. This makes both numbers even and gives contradiction.
न्यायिक जांच सरकार को कानून की सीमा में रखती है। परीक्षा में अदालत की समीक्षा को कानून के शासन से जोड़ें। / Judicial examination keeps government within legal limits. Exam tip: connect court review with rule of law.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। यह अंतिम विरोधाभास की ओर ले जाता है। / \(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This leads to the final contradiction.
D. सांस्कृतिक और भाषाई अधिकार/Cultural and linguistic rights
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में अल्पसंख्यक की भाषा और संस्कृति का सम्मान जरूरी है। परीक्षा में बहुमत की सीमा अधिकारों से समझें। / In democracy minority language and culture must be respected. Exam tip: understand limits of majority through rights.
A. कानून की स्पष्टता की कमी/Lack of clarity of law
Explanation
Simple Explanation
कानून स्पष्ट और जनता को ज्ञात होना चाहिए। परीक्षा में समानता के साथ स्पष्टता भी याद रखें। / Law should be clear and known to the public. Exam tip: remember clarity along with equality.
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं जबकि वे सहभाज्य माने गए थे/Both (p) and (q) are divisible by (3) though assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) देता है। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Both being divisible by (3) gives common factor (3). This contradicts the lowest form.
B. कानून के सामने समानता टूटेगी/Equality before law will break
Explanation
Simple Explanation
पद कानून से छूट का आधार नहीं हो सकता। परीक्षा में पद और कानूनी समानता अलग रखें। / Position cannot be a basis for exemption from law. Exam tip: keep office and legal equality separate.
C. (a) और (b) दोनों सम हैं/Both (a) and (b) are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। दोनों सम हों तो (2) सामान्य होता है। / In lowest form, there should be no common factor except (1). If both are even, (2) is common.
प्रश्न पूछना सरकार को जवाबदेह बनाता है। परीक्षा में अधिकार और जवाबदेही का संबंध समझें। / Questioning makes government accountable. Exam tip: understand the link between rights and accountability.
D. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (p) and (q) are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो (3) सामान्य गुणनखंड बन जाता है। यह सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। / If both are divisible by (3), common factor (3) appears. This breaks the coprime condition.
D. शांतिपूर्ण सभा और अभिव्यक्ति/Peaceful assembly and expression
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण सभा लोकतांत्रिक भागीदारी और अभिव्यक्ति का तरीका है। परीक्षा में शांतिपूर्ण आलोचना को अधिकार से जोड़ें। / Peaceful assembly is a way of democratic participation and expression. Exam tip: connect peaceful criticism with rights.
A. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों सम का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / In contradiction method, rationality is assumed first. Then squaring gives the contradiction that both are even.
A. कानूनी प्रक्रिया और अधिकार/Legal process and rights
Explanation
Simple Explanation
राज्य कार्रवाई कानून और उचित प्रक्रिया से होनी चाहिए। परीक्षा में सुनवाई और आदेश को प्रक्रिया से जोड़ें। / State action should follow law and due process. Exam tip: connect hearing and order with procedure.
B. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर दोनों (3) से विभाज्य होने का विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction of both divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में पहले परिमेय मानकर वर्ग करते हैं। फिर (3) से विभाज्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। / For \(\sqrt{3}\), we first assume rationality and square. Then divisibility by (3) conflicts with coprime condition.
B. क्योंकि अदालत सरकार के दबाव में आ सकती है/Because courts may come under government pressure
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र न्यायालय निष्पक्ष अधिकार रक्षा कर सकता है। परीक्षा में न्यायपालिका की स्वतंत्रता को लोकतांत्रिक सुरक्षा मानें। / Independent courts can protect rights fairly. Exam tip: treat judicial independence as a democratic safeguard.
C. प्रभावी बचाव का अवसर/Opportunity for effective defence
Explanation
Simple Explanation
निष्पक्ष सुनवाई में प्रमाण जानने का अवसर भी जरूरी है। परीक्षा में सुनवाई को केवल बोलने तक सीमित न रखें। / Fair hearing also needs chance to know the evidence. Exam tip: do not limit hearing to speaking only.
निजी संबंध के आधार पर कानून में छूट पक्षपात है। परीक्षा में कानून लागू करने की निष्पक्षता देखें। / Exemption based on personal relation is bias. Exam tip: check fairness in law enforcement.
A. पहले (m) सम सिद्ध करके (m=2r) रखना पड़ता है/First (m) must be proved even and (m=2r) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=2n^2\) से पहले (m) सम मिलता है। (m=2r) रखने पर ही \(n^2=2r^2\) बनता है। / From \(m^2=2n^2\), (m) is proved even first. Only after putting (m=2r), \(n^2=2r^2\) is obtained.
A. अधिकारों की वास्तविक सुरक्षा कमजोर है/Real protection of rights is weak
Explanation
Simple Explanation
अधिकार तभी प्रभावी हैं जब वे बिना डर प्रयोग किए जा सकें। परीक्षा में कागजी और वास्तविक अधिकार अलग करें। / Rights are effective only when they can be used without fear. Exam tip: separate paper rights and real rights.
B. पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3k) रखना पड़ता है/First (p) must be proved divisible by (3) and (p=3k) must be used
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखने पर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
राज्य को सभी नागरिकों की सुरक्षा समान रूप से करनी चाहिए। परीक्षा में पहचान आधारित भेदभाव को अधिकार विरोधी मानें। / The state should protect all citizens equally. Exam tip: treat identity based discrimination as against rights.
C. प्रेस और अभिव्यक्ति की स्वतंत्रता/Freedom of press and expression
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र प्रेस सरकार को जवाबदेह रखने में मदद करता है। परीक्षा में प्रेस स्वतंत्रता को लोकतंत्र से जोड़ें। / Free press helps keep government accountable. Exam tip: connect press freedom with democracy.
D. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है। / Prime factor (3) appears in the square only when the number has factor (3). This is the key rule of the proof.
कानून अधिकारों की सीमा में बनना चाहिए। परीक्षा में कानून और अधिकारों का संतुलन याद रखें। / Law should be made within the limits of rights. Exam tip: remember balance between law and rights.
A. क्योंकि शून्य से भाग परिभाषित नहीं है/Because division by zero is not defined
Explanation
Simple Explanation
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए परिमेय रूप में \(n\neq0\) आवश्यक है। / The denominator of a fraction cannot be zero. Therefore \(n\neq0\) is necessary in rational form.
अस्पष्ट कानून मनमानी का साधन बन सकता है। परीक्षा में स्पष्ट कानून को कानून के शासन से जोड़ें। / Vague law can become a tool of arbitrariness. Exam tip: connect clear law with rule of law.
B. क्योंकि परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है/Because a rational number is written in lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। यही बाद में विरोधाभास दिखाने में काम आता है। / In lowest fraction, numerator and denominator are coprime. This helps show contradiction later.
B. कानूनी आधार और उचित प्रक्रिया/Legal basis and due process
Explanation
Simple Explanation
व्यक्तिगत स्वतंत्रता पर सीमा कानून और उचित कारण से ही लग सकती है। परीक्षा में स्वतंत्रता और प्रक्रिया साथ याद रखें। / Personal liberty can be limited only by law and valid reason. Exam tip: remember liberty and process together.
सूचना नागरिकों को सरकार से जवाब मांगने में मदद करती है। परीक्षा में सूचना और जवाबदेही को साथ लिखें। / Information helps citizens demand answers from government. Exam tip: write information and accountability together.
D. दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है/Both have common factor (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। (3) सामान्य होना विरोधाभास है। / Coprime numbers have no common factor except (1). Having common factor (3) is a contradiction.
D. कानूनी निश्चितता और न्याय/Legal certainty and justice
Explanation
Simple Explanation
दंड के लिए कानून पहले से ज्ञात होना चाहिए। परीक्षा में पिछली तारीख से दंड को संदिग्ध मानें। / For punishment the law should be known beforehand. Exam tip: treat retrospective punishment as doubtful.
A. \(m^2\) विषम होना चाहिए पर समीकरण से सम मिलता है/\(m^2\) should be odd but the equation gives even
Explanation
Simple Explanation
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(m^2=2n^2\) \(m^2\) को सम दिखाता है। / The square of an odd number is odd. But \(m^2=2n^2\) shows \(m^2\) is even.
न्याय भीड़ से नहीं कानून और अदालत की प्रक्रिया से होना चाहिए। परीक्षा में भीड़ न्याय को गलत मानें। / Justice should happen through law and court process not mob action. Exam tip: treat mob justice as wrong.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण से विभाज्य मिलता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation gives divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
B. अधिकारों की वास्तविक सुरक्षा कमजोर है/Real protection of rights is weak
Explanation
Simple Explanation
अधिकारों का प्रयोग बदले के डर के बिना होना चाहिए। परीक्षा में वास्तविक अधिकार सुरक्षा देखें। / Rights should be used without fear of retaliation. Exam tip: check real rights protection.
C. क्योंकि प्रमाण समता और सहभाज्य विरोधाभास पर आधारित है/Because the proof is based on evenness and coprime contradiction
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में दशमलव की आवश्यकता नहीं होती। समता और सरलतम भिन्न की शर्त पर्याप्त हैं। / The proof does not require decimals. Evenness and the lowest fraction condition are enough.
अदालत में चुनौती अधिकारों की रक्षा का महत्वपूर्ण साधन है। परीक्षा में न्यायिक उपचार याद रखें। / Court challenge is an important tool to protect rights. Exam tip: remember judicial remedy.
