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A. \(m^2\) सम है इसलिए (m) सम है/\(m^2\) is even so (m) is even
Explanation
Simple Explanation
दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(m^2\) सम है। वर्ग सम हो तो संख्या भी सम होती है। / The right side has factor (2) so \(m^2\) is even. If a square is even, the number is also even.
A. सरकार को कानून और प्रक्रिया से बांधकर/By binding government with law and procedure
Explanation
Simple Explanation
कानून का शासन सरकार की शक्ति पर वैधानिक सीमा लगाता है। परीक्षा में मनमानी के विरुद्ध कानून का शासन लिखें। / Rule of law places legal limits on government power. In exams write rule of law against arbitrariness.
B. ताकि (p) और (q) सहभाज्य हों/So that (p) and (q) are coprime
Explanation
Simple Explanation
सरलतम परिमेय रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों का (3) से विभाज्य होना इसी से विरोधाभास देता है। / In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. Later both becoming divisible by (3) gives the contradiction.
शांतिपूर्ण आलोचना अभिव्यक्ति की स्वतंत्रता का हिस्सा है। परीक्षा में आलोचना और हिंसा का अंतर याद रखें। / Peaceful criticism is part of freedom of expression. In exams remember the difference between criticism and violence.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले कथन के विपरीत मानते हैं। इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / In contradiction method, the opposite of the statement is assumed first. So \(\sqrt{2}\) is assumed rational to get a contradiction.
C. एक ही अपराध पर शक्तिशाली को छूट मिले/Powerful person gets exemption for same crime
Explanation
Simple Explanation
एक ही अपराध पर अलग व्यवहार कानून की समानता को तोड़ता है। परीक्षा में कोई भी कानून से ऊपर नहीं लिखें। / Different treatment for the same crime breaks equality of law. In exams write that no one is above law.
D. क्योंकि \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p) (3) से विभाज्य है/Because \(p^2\) is divisible by (3), so (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। इसलिए (p) को (3k) लिखा जाता है। / If prime (3) divides the square, it also divides the number. Therefore (p) is written as (3k).
गिरफ्तारी कानून और उचित प्रक्रिया के अनुसार होनी चाहिए। परीक्षा में गिरफ्तारी को अधिकार सुरक्षा से जोड़ें। / Arrest must follow law and due process. In exams connect arrest with protection of rights.
A. बहुमत की मनमानी पर सीमा लगाता है/It limits majority arbitrariness
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में बहुमत भी अधिकारों की सीमा में रहता है। परीक्षा में अधिकारों को बहुमत की सीमा समझें। / In democracy even majority remains within the limits of rights. In exams understand rights as limits on majority.
\(q^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। इससे (p) और (q) दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) आता है। / \(q^2\) is divisible by (3), so (q) is also divisible by (3). This gives common factor (3) in both (p) and (q).
कानून का पक्षपातपूर्ण लागूकरण कानून के शासन को कमजोर करता है। परीक्षा में समान लागूकरण याद रखें। / Biased enforcement of law weakens rule of law. In exams remember equal enforcement.
A. \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकता/\(\frac{m}{n}\) cannot be in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होता है। सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता। / If both are even, common factor (2) exists. This cannot happen in lowest form.
C. यह न्याय पाने की प्रक्रिया का भाग है/It is part of the process of getting justice
Explanation
Simple Explanation
सुनवाई का अवसर न्याय प्रक्रिया का महत्वपूर्ण हिस्सा है। परीक्षा में सुनवाई को न्याय के अधिकार से जोड़ें। / Opportunity of hearing is an important part of justice process. In exams connect hearing with right to justice.
A. अधिकारों की रक्षा कमजोर होगी/Protection of rights will weaken
Explanation
Simple Explanation
न्यायालय तक पहुंच अधिकारों की रक्षा का साधन है। परीक्षा में न्यायिक उपाय को अधिकार सुरक्षा से जोड़ें। / Access to courts is a tool for protecting rights. In exams connect judicial remedy with rights protection.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(q^2=3k^2\) से (q) भी (3) से विभाज्य है। (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / From \(q^2=3k^2\), (q) is also divisible by (3). Both (p) and (q) divisible by (3) contradicts the coprime condition.
A. सुनवाई और अधिकार सम्मान की कमी/Lack of hearing and respect for rights
Explanation
Simple Explanation
अधिकारों पर असर डालने से पहले सुनवाई का अवसर जरूरी है। परीक्षा में सुनवाई को वैधानिक प्रक्रिया से जोड़ें। / A hearing opportunity is necessary before affecting rights. In exams connect hearing with legal procedure.
A. \(m^2=2n^2\), (m) सम, (m=2r), (n) सम/\(m^2=2n^2\), (m) even, (m=2r), (n) even
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) में (2) से समता की श्रृंखला चलती है। यही दोनों को सम बनाकर विरोधाभास देती है। / For \(\sqrt{2}\), the chain uses evenness by (2). This makes both even and gives contradiction.
B. विशेषाधिकार और कानून की असमानता/Privilege and inequality of law
Explanation
Simple Explanation
समर्थकों को छूट देना कानून की समानता के विरुद्ध है। परीक्षा में कानून सभी पर लागू लिखें। / Giving exemption to supporters is against equality of law. In exams write that law applies to everyone.
C. \(p^2=3q^2\), (p) (3) से विभाज्य, (p=3k), (q) (3) से विभाज्य/\(p^2=3q^2\), (p) divisible by (3), (p=3k), (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला चलती है। यह दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) दिखाती है। / For \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows common factor (3) in both.
C. कानूनी प्रक्रिया और न्याय पर भरोसा/Trust in legal process and justice
Explanation
Simple Explanation
कानून का शासन नागरिकों को प्रक्रिया और न्याय पर भरोसा देता है। परीक्षा में कानून को सुरक्षा से जोड़ें। / Rule of law gives citizens trust in process and justice. In exams connect law with protection.
B. यह सरलतम रूप की शर्त से विरोधाभास है/This contradicts the condition of lowest form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। दोनों सम होने पर (2) सामान्य है। / In lowest form, there should be no common factor. If both are even, (2) is common.
अधिकार तभी अर्थपूर्ण हैं जब उनकी रक्षा का उपाय हो। परीक्षा में लिखित और वास्तविक अधिकारों का अंतर समझें। / Rights are meaningful only when there is a remedy for protection. In exams understand written and real rights differently.
A. अधिकारों की रक्षा कमजोर होगी/Protection of rights will weaken
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र न्यायालय अधिकारों की रक्षा के लिए जरूरी हैं। परीक्षा में न्यायपालिका की स्वतंत्रता याद रखें। / Independent courts are necessary to protect rights. In exams remember independence of judiciary.
A. (m,n) सहभाज्य और \(n\neq0\)/(m,n) coprime and \(n\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। हर शून्य नहीं होता और अंश-हर सहभाज्य होते हैं। / A rational number is written in lowest fraction. The denominator is non-zero and numerator-denominator are coprime.
A. सुनवाई का अभाव और अधिकार हनन/Lack of hearing and rights violation
Explanation
Simple Explanation
कानून बनाना पर्याप्त नहीं है न्यायपूर्ण प्रक्रिया भी जरूरी है। परीक्षा में प्रक्रिया को अधिकारों से जोड़ें। / Making a law is not enough fair procedure is also necessary. In exams connect procedure with rights.
B. (p) और (q) सहभाज्य हैं और \(q\neq0\)/(p) and (q) are coprime and \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय रूप को सरलतम रूप में लिया जाता है। इसलिए (p) और (q) सहभाज्य तथा \(q\neq0\) होते हैं। / The rational form is taken in lowest form. So (p) and (q) are coprime and \(q\neq0\).
A. अधिकार और कानून व्यवस्था का संतुलन/Balance of rights and law and order
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र शांतिपूर्ण अधिकारों की रक्षा करता है और हिंसा रोकता है। परीक्षा में शांतिपूर्ण और हिंसक में अंतर करें। / Democracy protects peaceful rights and stops violence. In exams distinguish peaceful and violent actions.
A. यदि \(m^2\) सम है तो (m) सम है/If \(m^2\) is even then (m) is even
Explanation
Simple Explanation
विषम पूर्णांक का वर्ग विषम होता है। इसलिए वर्ग सम होने पर पूर्णांक सम होगा। / The square of an odd integer is odd. Therefore if the square is even, the integer is even.
A. क्योंकि चुनाव के बाद भी सरकार कानून से बंधी रहनी चाहिए/Because government must remain bound by law even after elections
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में चुनाव के साथ कानून और अधिकार भी जरूरी हैं। परीक्षा में चुनाव को अकेली शर्त न मानें। / In democracy law and rights are necessary along with elections. In exams do not treat elections as the only condition.
B. यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) (3) से विभाज्य है/If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य गुणनखंड (3) वर्ग में तभी आता है जब संख्या में (3) हो। इसलिए (p) (3) से विभाज्य है। / Prime factor (3) appears in the square only if it appears in the number. Therefore (p) is divisible by (3).
B. प्रेस और अभिव्यक्ति की स्वतंत्रता/Freedom of press and expression
Explanation
Simple Explanation
प्रेस की स्वतंत्रता अभिव्यक्ति की स्वतंत्रता से जुड़ी है। परीक्षा में स्वतंत्र मीडिया को लोकतंत्र से जोड़ें। / Freedom of press is linked with freedom of expression. In exams connect free media with democracy.
A. परिमेय मान्यता से (m) और (n) दोनों सम निकलते हैं/Rational assumption makes both (m) and (n) even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम भिन्न की सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Both being even contradicts the coprime condition of lowest fraction. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
अपील गलत या मनमानी निर्णय के खिलाफ कानूनी उपाय है। परीक्षा में अपील को अधिकार रक्षा से जोड़ें। / Appeal is a legal remedy against wrong or arbitrary decisions. In exams connect appeal with rights protection.
B. परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/Rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता। / Both being divisible by (3) breaks the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
B. यह अधूरा है क्योंकि पहले (m) सम सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (m) must be proved even first
Explanation
Simple Explanation
\(m^2=2n^2\) से पहले \(m^2\) सम और फिर (m) सम मिलता है। (m=2r) रखने के बाद ही (n) सम सिद्ध होता है। / From \(m^2=2n^2\), first \(m^2\) and then (m) are even. Only after taking (m=2r), (n) is proved even.
A. नागरिक शांतिपूर्ण विरोध करे और हिंसा न करे/Citizen protests peacefully and does not use violence
Explanation
Simple Explanation
अधिकारों का प्रयोग कानून और दूसरों के अधिकारों के सम्मान के साथ होता है। परीक्षा में अधिकार और जिम्मेदारी साथ लिखें। / Rights are exercised with respect for law and others' rights. In exams write rights and responsibility together.
A. यह अधूरा है क्योंकि पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध करना होगा/It is incomplete because (p) must be proved divisible by (3) first
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। फिर (p=3k) रखकर (q) के लिए निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then after putting (p=3k), the conclusion for (q) follows.
न्यायालय तक समान पहुंच अधिकारों की रक्षा के लिए जरूरी है। परीक्षा में जाति आधारित रोक को भेदभाव लिखें। / Equal access to court is necessary for rights protection. In exams call caste-based restriction discrimination.
A. दोनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न ली जाती है/In both, a lowest fraction is taken after assuming rationality
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि से शुरू होते हैं। परिमेय मानकर सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास मिलता है। / Both proofs start with contradiction method. A coprime fraction is assumed rational and leads to contradiction.
A. क्योंकि निर्णय नियमों और कानून पर आधारित होने चाहिए/Because decisions should be based on rules and law
Explanation
Simple Explanation
नियम आधारित प्रशासन मनमानी को कम करता है। परीक्षा में प्रशासन को कानून आधारित लिखें। / Rule based administration reduces arbitrariness. In exams write administration as law based.
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता आती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) मुख्य है और \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) मुख्य है। यही मूल अंतर है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is central and in the proof of \(\sqrt{3}\), (3) is central. This is the key difference.
A. असंतुलित और मनमाना प्रतिबंध/Disproportionate and arbitrary restriction
Explanation
Simple Explanation
सुरक्षा के नाम पर भी प्रतिबंध कानूनसम्मत और सीमित होने चाहिए। परीक्षा में अधिकार और सुरक्षा का संतुलन याद रखें। / Even in the name of security restrictions should be lawful and limited. In exams remember balance between rights and security.
A. दोनों का (2) से विभाज्य होना/Both being divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड मिल जाता है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते। / A common factor (2) is found in both. Therefore they cannot remain coprime.
नोटिस और सुनवाई वैधानिक प्रक्रिया के भाग हैं। परीक्षा में संपत्ति पर कार्रवाई से पहले प्रक्रिया याद रखें। / Notice and hearing are parts of legal procedure. In exams remember procedure before action on property.
B. दोनों का (3) से विभाज्य होना/Both being divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड मिलता है। यह सहभाज्य होने की शर्त को तोड़ता है। / A common factor (3) is found in both. This breaks the coprime condition.
B. न्यायिक और कानूनी नियंत्रण/Judicial and legal control
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र न्यायालय सरकार को कानून की सीमा में रख सकते हैं। परीक्षा में न्यायपालिका को कानून के शासन से जोड़ें। / Independent courts can keep government within limits of law. In exams connect judiciary with rule of law.
