Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है इसलिए \(a^2\) सम है। प्रमाण में पहले वर्ग की समता पहचानें। / The right side has factor (2) so \(a^2\) is even. First identify evenness of the square in the proof.
A. कानून का समान और निष्पक्ष प्रयोग/Equal and fair application of law
Explanation
Simple Explanation
कानून का चयनात्मक प्रयोग कानून के शासन को कमजोर करता है। परीक्षा में समान परिस्थिति में समान कानून याद रखें। / Selective use of law weakens rule of law. Exam tip: remember same law in similar situations.
यदि \(p^2\) (3) से विभाज्य है तो (p) भी (3) से विभाज्य होगा। अभाज्य गुणनखंड का यह नियम याद रखें। / If \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3). Remember this prime factor rule.
B. न्यायपूर्ण प्रक्रिया की कमी/Lack of fair process
Explanation
Simple Explanation
सुनवाई का अवसर न्यायपूर्ण प्रक्रिया का आवश्यक भाग है। परीक्षा में निर्णय से पहले सुनवाई याद रखें। / Opportunity of hearing is an essential part of fair process. Exam tip: remember hearing before decision.
अधिकारी भी कानून और नियमों के अधीन होता है। परीक्षा में पद आधारित छूट को गलत पहचानें। / An official is also under law and rules. Exam tip: identify office-based exemption as wrong.
D. अल्पसंख्यक अधिकारों और स्वतंत्रता का सम्मान कमजोर होगा/Respect for minority rights and freedom will weaken
Explanation
Simple Explanation
बहुमत भी नागरिक अधिकारों से ऊपर नहीं होता। परीक्षा में बहुमत की सीमा और अधिकार साथ याद रखें। / Majority is not above citizens' rights. Exam tip: remember limits of majority and rights together.
A. क्योंकि वे सहभाज्य नहीं रह सकते/Because they cannot remain coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड होगा। यह सरलतम रूप की सहभाज्य शर्त के विरुद्ध है। / If both are even, (2) is a common factor. This contradicts the coprime condition of lowest form.
A. अभिव्यक्ति और जवाबदेही/Expression and accountability
Explanation
Simple Explanation
प्रश्न पूछना नागरिक अभिव्यक्ति और सरकार की जवाबदेही से जुड़ा है। परीक्षा में सवाल पूछने को लोकतांत्रिक अधिकार मानें। / Questioning is linked with citizen expression and government accountability. Exam tip: treat questioning as a democratic right.
B. व्यक्ति की स्वतंत्रता और न्यायपूर्ण प्रक्रिया/Personal liberty and fair process
Explanation
Simple Explanation
गिरफ्तारी में कारण बताना मनमानी रोकने में मदद करता है। परीक्षा में गिरफ्तारी को प्रक्रिया से जोड़ें। / Giving reason in arrest helps prevent arbitrariness. Exam tip: connect arrest with procedure.
C. परिमेय मानना फिर वर्ग करना फिर विरोधाभास/Assume rational then square then contradiction
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास विधि में पहले परिमेय मानते हैं। फिर वर्ग करके दोनों सम होने का विरोधाभास मिलता है। / In contradiction method we first assume rationality. Then squaring gives the contradiction that both are even.
C. कानून का शासन और अधिकार संरक्षण/Rule of law and rights protection
Explanation
Simple Explanation
न्यायालय सत्ता पर कानूनी नियंत्रण रख सकता है। परीक्षा में अदालत को अधिकारों की रक्षा से जोड़ें। / Court can keep legal check on power. Exam tip: connect court with protection of rights.
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। यही आगे विभाज्यता का आधार है। / Squaring \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\). This is the basis for divisibility.
आर्थिक स्थिति के आधार पर कानून का अलग प्रयोग असमानता है। परीक्षा में गरीब और अमीर पर समान कानून याद रखें। / Different application of law based on economic status is inequality. Exam tip: remember equal law for poor and rich.
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(a^2\) सम होने से (a) सम निकाला जाता है। यही मुख्य तर्क है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (a) is concluded even from \(a^2\) being even. This is the main argument.
A. अधिकार और कानून का संतुलित सम्मान/Balanced respect for rights and law
Explanation
Simple Explanation
शांतिपूर्ण विरोध अधिकार हो सकता है और नियम सार्वजनिक व्यवस्था रखते हैं। परीक्षा में अधिकार और उचित सीमा दोनों देखें। / Peaceful protest can be a right and rules maintain public order. Exam tip: check both rights and reasonable limits.
B. \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता/Irrationality of \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(p^2\) से (p) का (3) से विभाज्य होना निकाला जाता है। यही आगे विरोधाभास देता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), divisibility of (p) by (3) is derived from \(p^2\). This leads to contradiction.
C. ताकि सहभाज्य शर्त से विरोधाभास दिख सके/So that contradiction with coprime condition can be shown
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (a) और (b) सहभाज्य होते हैं। बाद में दोनों सम निकलना इसी से विरोधाभास बनाता है। / In lowest form (a) and (b) are coprime. Later both becoming even creates the contradiction.
किसी को दोषी मानने से पहले सुनवाई और प्रमाण जरूरी हैं। परीक्षा में आरोप और सिद्ध दोष अलग रखें। / Hearing and evidence are necessary before treating someone guilty. Exam tip: keep accusation and proven guilt separate.
D. पारदर्शिता और जवाबदेही/Transparency and accountability
Explanation
Simple Explanation
कारण बताने से नागरिक निर्णय की जांच कर सकते हैं। परीक्षा में कारण और जवाबदेही को साथ याद रखें। / Giving reasons lets citizens examine decisions. Exam tip: remember reasons and accountability together.
A. (a) और (b) दोनों सम हैं जबकि वे सहभाज्य माने गए थे/Both (a) and (b) are even although they were assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने से सामान्य गुणनखंड (2) मिलता है। यह सहभाज्य मान्यता से सीधा विरोधाभास है। / Both even gives common factor (2). This directly contradicts the coprime assumption.
A. गलत निर्णय को कानून के आधार पर चुनौती देने में/Challenging a wrong decision on the basis of law
Explanation
Simple Explanation
अपील गलत या मनमाने निर्णय के सुधार का रास्ता देती है। परीक्षा में अपील को अधिकार संरक्षण से जोड़ें। / Appeal gives a way to correct wrong or arbitrary decisions. Exam tip: connect appeal with rights protection.
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं जबकि वे सहभाज्य माने गए थे/Both (p) and (q) are divisible by (3) although they were assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों का (3) से विभाज्य होना सामान्य गुणनखंड (3) देता है। यह सहभाज्य शर्त को तोड़ता है। / Both being divisible by (3) gives common factor (3). This breaks the coprime condition.
B. अधिकारों के सम्मान और संवैधानिक सीमा का प्रश्न/Question of respect for rights and constitutional limits
Explanation
Simple Explanation
कानून भी अधिकारों और संविधान की सीमा में रहना चाहिए। परीक्षा में कानून और अधिकार का संतुलन देखें। / Law should also remain within rights and constitutional limits. Exam tip: see balance between law and rights.
न्याय तक पहुंच व्यवहार में संभव होनी चाहिए। परीक्षा में भाषा और अधिकार संरक्षण का संबंध समझें। / Access to justice should be possible in practice. Exam tip: understand relation between language and rights protection.
A. क्योंकि \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है/Because \(q^2=3k^2\) makes \(q^2\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(q^2=3k^2\) मिलने पर \(q^2\) (3) से विभाज्य है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / After getting \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3). Therefore (q) is also divisible by (3).
D. समान अधिकार प्रयोग का उल्लंघन/Violation of equal use of rights
Explanation
Simple Explanation
समान परिस्थिति में अलग व्यवहार अधिकारों के पक्षपाती प्रयोग को दिखाता है। परीक्षा में चयनात्मक रोक पहचानें। / Different treatment in similar situations shows biased use of rights. Exam tip: identify selective restrictions.
A. नेता का आदेश भी कानून और संविधान से सीमित है/Leader's order is also limited by law and constitution
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में व्यक्ति की इच्छा कानून से ऊपर नहीं होती। परीक्षा में आदेश और कानून का अंतर याद रखें। / In democracy a person's will is not above law. Exam tip: remember difference between order and law.
A. \(\sqrt{2}\) में (2) से समता और \(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता उपयोग होती है/\(\sqrt{2}\) uses evenness by (2) and \(\sqrt{3}\) uses divisibility by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) में (2) मुख्य गुणनखंड है और \(\sqrt{3}\) में (3) मुख्य गुणनखंड है। अंतर को गुणनखंड से पहचानें। / In \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor, and in \(\sqrt{3}\), (3) is the key factor. Identify the difference by the factor.
B. धार्मिक स्वतंत्रता और व्यक्तिगत अधिकार/Religious freedom and personal rights
Explanation
Simple Explanation
धार्मिक चुनाव व्यक्ति की स्वतंत्रता और अधिकार से जुड़ा है। परीक्षा में धर्म की स्वतंत्रता को अधिकार सम्मान से जोड़ें। / Religious choice is linked with personal freedom and rights. Exam tip: connect religious freedom with respect for rights.
A. सरलतम रूप में उन्हें सहभाज्य मानना चाहिए/They should be assumed coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में भिन्न सरलतम रूप में होती है इसलिए (a) और (b) सहभाज्य माने जाते हैं। दोनों सम होना अंत का विरोधाभास है। / At the start the fraction is in lowest form so (a) and (b) are assumed coprime. Both even is the final contradiction.
C. बचाव का अधिकार और न्यायपूर्ण प्रक्रिया/Right to defence and fair process
Explanation
Simple Explanation
वकील से मिलना बचाव और निष्पक्ष सुनवाई में मदद करता है। परीक्षा में आरोपी के अधिकार याद रखें। / Meeting a lawyer helps defence and fair hearing. Exam tip: remember rights of accused persons.
B. शुरुआत में (p) और (q) सहभाज्य माने जाते हैं/At the start (p) and (q) are assumed coprime
Explanation
Simple Explanation
शुरुआत में \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में होता है। दोनों का (3) से विभाज्य होना बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। / At the start \(\frac{p}{q}\) is in lowest form. Both divisible by (3) is derived later as a contradiction.
D. जवाबदेही और पारदर्शिता/Accountability and transparency
Explanation
Simple Explanation
निर्णय की समीक्षा से मनमानी कम होती है। परीक्षा में समीक्षा और जवाबदेही को साथ याद रखें। / Review of decisions reduces arbitrariness. Exam tip: remember review and accountability together.
A. यदि \(a^2\) सम है तो (a) सम है/If \(a^2\) is even then (a) is even
Explanation
Simple Explanation
यह तथ्य \(a^2=2b^2\) के बाद उपयोग होता है। इससे (a) को (2r) रूप में लिखा जाता है। / This fact is used after \(a^2=2b^2\). Then (a) is written in the form (2r).
A. धार्मिक स्वतंत्रता और अधिकार सम्मान/Religious freedom and respect for rights
Explanation
Simple Explanation
पूजा की स्वतंत्रता नागरिक अधिकारों से जुड़ी हो सकती है। परीक्षा में वैध कारण की जांच करें। / Freedom of worship can be linked with citizens' rights. Exam tip: check for valid reason.
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने से परिमेय मान्यता में विरोधाभास आता है। इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Both being even contradicts the rational assumption. Therefore \(\sqrt{2}\) is irrational.
C. निजता और कानूनी प्रक्रिया/Privacy and legal process
Explanation
Simple Explanation
निजता पर हस्तक्षेप के लिए कानूनी आधार और नियंत्रण जरूरी हैं। परीक्षा में निगरानी और अधिकार का संबंध देखें। / Interference with privacy needs legal basis and control. Exam tip: see relation between surveillance and rights.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) मिलना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / A common factor (3) contradicts the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
D. आदेश कानूनी और उचित है या नहीं/Whether the order is legal and reasonable
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्रता पर रोक मनमानी नहीं होनी चाहिए। परीक्षा में वैधता और उचितता दोनों देखें। / Restriction on freedom should not be arbitrary. Exam tip: check both legality and reasonableness.
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (2) से समता की कड़ी बनती है। यह कड़ी (b) को भी सम दिखाती है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), the chain uses evenness by (2). This chain shows (b) is also even.
A. अधिकार संरक्षण और जवाबदेही/Rights protection and accountability
Explanation
Simple Explanation
शिकायत का रास्ता नागरिक को मनमाने निर्णय के विरुद्ध सहायता देता है। परीक्षा में उपचार को अधिकारों से जोड़ें। / A complaint route helps citizens against arbitrary decisions. Exam tip: connect remedy with rights.
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की कड़ी चलती है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य निकलता है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain uses divisibility by (3). It shows (q) is also divisible by (3).
B. अभिव्यक्ति और असहमति की स्वतंत्रता/Freedom of expression and dissent
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में शांतिपूर्ण असहमति अधिकार का हिस्सा हो सकती है। परीक्षा में असहमति और हिंसा अलग रखें। / In democracy peaceful dissent can be part of rights. Exam tip: keep dissent and violence separate.
A. (a) और (b) सहभाज्य और \(b\neq0\)/(a) and (b) coprime and \(b\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या सरलतम रूप में सहभाज्य पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। हर शून्य नहीं हो सकता। / A rational number is written in lowest form as a ratio of coprime integers. The denominator cannot be zero.
कानून तक पहुंच प्रभाव या हैसियत पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। परीक्षा में समान पहुंच को याद रखें। / Access to law should not depend on influence or status. Exam tip: remember equal access.
B. (p) और (q) सहभाज्य और \(q\neq0\)/(p) and (q) coprime and \(q\neq0\)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम परिमेय रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से बाद में विरोधाभास मिलता है। / In lowest rational form, numerator and denominator are coprime. This condition later gives the contradiction.
