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\(\sin^{-1}x\) का परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है और \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)। परीक्षा में हमेशा मुख्य मान परिसर याद रखें। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) and \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Always remember the principal range in exams.
\(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है और इस परिसर में \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। ऋणात्मक उत्तर को मुख्य मान न मानें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\) and in this range \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Do not take a negative angle as principal value.
\(\tan^{-1}x\) का परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है और \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)। चतुर्थांश का ध्यान रखें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) and \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\). Keep the quadrant in mind.
\(\tan^{-1}x\) का मान प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) के बीच होता है। इसलिए इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। \(x\) के बहुत बड़ा धनात्मक या ऋणात्मक होने पर मान क्रमशः \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) के निकट जाता है, पर उन्हें प्राप्त नहीं करता; अतः विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के परिसर के अंत बिंदु हमेशा खुले होते हैं। / For every real \(x\), \(\tan^{-1}x\) lies strictly between \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\). Hence, its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). As \(x\) becomes very large positive or negative, the value approaches \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\), respectively, but never attains them; therefore, option B is incorrect. Exam tip: the endpoints of the range of \(\tan^{-1}x\) are always excluded.
A. \(x=\sin y,\; y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ है कि \(y\), \(x\) का वह मुख्य मान कोण है जिसके लिए \(\sin y=x\)। \(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(\sin\) और \(\sin^{-1}\) का संबंध उल्टा लिखा गया है। परीक्षा टिप: \(\sin^{-1}x\) को \(1/\sin x\) नहीं, बल्कि sine का inverse function समझें। / \(y=\sin^{-1}x\) means that \(y\) is the principal-value angle whose sine is \(x\); hence \(x=\sin y\). The principal range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), so option A is correct. Option D reverses the relation between \(\sin\) and \(\sin^{-1}\). Exam tip: read \(\sin^{-1}x\) as the inverse sine function, not as \(1/\sin x\).
\(y=\cos^{-1}x\) के लिए \(x\in[-1,1]\) होता है और इसका मुख्य मान परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। \(x=1\) पर \(y=0\) तथा \(x=-1\) पर \(y=\pi\) मिलता है, इसलिए दोनों अंत बिंदु शामिल हैं। \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) \(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान परिसर है। परीक्षा टिप: \(\cos^{-1}x\) का परिसर हमेशा \(0\) से \(\pi\) तक याद रखें। / For \(y=\cos^{-1}x\), the domain is \(x\in[-1,1]\), and its principal-value range is \(\left[0,\pi\right]\). At \(x=1\), \(y=0\), while at \(x=-1\), \(y=\pi\); hence both endpoints are included. The interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) is associated with the principal range of \(\sin^{-1}x\). Exam tip: remember that \(\cos^{-1}x\) takes values from \(0\) to \(\pi\).
\(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान-परास \([0,\pi]\) होता है, जहाँ \(-1\le x\le1\)। इसके विपरीत \(\sin^{-1}x\) का परास \([-\pi/2,\pi/2]\) है। परीक्षा में प्रतिलोम फलनों के domain और principal range को साथ याद रखें। / The principal value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), for \(-1\le x\le1\). In contrast, \(\sin^{-1}x\) has range \([-\pi/2,\pi/2]\). Exam tip: learn each inverse function’s domain together with its principal range.
A. \(\sin^{-1}x\) वह कोण है जिसका sine \(x\) है; यह \(\frac{1}{\sin x}\) नहीं है।/\(\sin^{-1}x\) is the angle whose sine is \(x\); it is not \(\frac{1}{\sin x}\).
Explanation
Simple Explanation
यदि \(y=\sin^{-1}x\), तो \(\sin y=x\) और \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) होता है। जैसे \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), न कि 2। परीक्षा में inverse function को reciprocal से न मिलाएँ। / If \(y=\sin^{-1}x\), then \(\sin y=x\) and \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\). For example, \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), not 2. In exams, do not confuse an inverse function with a reciprocal.
\(\tan\frac{3\pi}{4}=-1\) और \(\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\)। उत्तर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होना चाहिए। / Since \(\tan\frac{3\pi}{4}=-1), (\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\). The answer must lie in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
B. कथन गलत है; सही मान \(-\pi/4 है, क्योंकि \(\tan^{-1}\) का प्रमुख मान \((-\pi / 2,\pi / 2)\) में होता है। / The claim is incorrect; the correct value is \(-\pi / 4\), because the principal value of \(\tan^{-1}\) lies in \((-\pi / 2)\).
Explanation
Simple Explanation
\(\tan(3\pi/4)=-1\)। चूँकि \(\tan^{-1}\) का प्रमुख मान \((-\pi/2,\pi/2)\) में लिया जाता है, इसलिए \(\tan^{-1}(-1)=-\pi/4\), न कि \(3\pi/4\)। परीक्षा में पहले प्रमुख मान की सीमा अवश्य जाँचें। / \(\tan(3\pi/4)=-1\). Since the principal-value range of \(\tan^{-1}\) is \((-\pi/2,\pi/2)\), \(\tan^{-1}(-1)=-\pi/4\), not \(3\pi/4\). Exam tip: always check the principal-value range before cancelling inverse functions.
धनात्मक (x) के लिए \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। चिह्न बदलने पर सावधानी रखें। / For positive (x), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Be careful when the sign changes.
\(\csc y=-2\) से \(\sin y=-\frac{1}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(y=-\frac{\pi}{6}\) है। \(\csc^{-1}\) का परिसर याद रखें। / From \(\csc y=-2\), \(\sin y=-\frac{1}{2}\), so the principal value is \(y=-\frac{\pi}{6}\). Remember the range of \(\csc^{-1}\).
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है, इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। विषम और सम गुणों को अलग रखें। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). Keep odd and even properties separate.
मानक संबंध \(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\) है। इसे \(\sin^{-1}(-x)\) की तरह विषम न मानें। / The standard relation is \(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\). Do not treat it as odd like \(\sin^{-1}(-x)\).
\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\frac{\pi}{3}\) मुख्य परिसर में है। विशेष कोण याद रखना जरूरी है। / Since \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range. Remember special angles well.
यदि \(x\in\left[-1,1\right]\), तो \(\cos(\cos^{-1}x)=x\)। यहां \(x=-\frac{3}{4}\) प्रांत में है। / If \(x\in\left[-1,1\right]\), then \(\cos(\cos^{-1}x)=x\). Here \(x=-\frac{3}{4}\) lies in the domain.
\(\sec y\) के मान \(\left(-1,1\right)\) में नहीं आते, इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\left(-1,1\right)\) है। शून्य भी प्रांत में नहीं है। / Values of \(\sec y\) do not lie in \(\left(-1,1\right)\), so the domain of \(\sec^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\setminus\left(-1,1\right)\). Zero is also not in the domain.
\(\csc^{-1}x\) तब परिभाषित है जब \(|x|\ge 1\) अर्थात् डोमेन \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\)। इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) (जहाँ \(|x|<1\)) पर \(\csc^{-1}x\) परिभाषित नहीं है। अन्य विकल्पों में \(x=2\) और \(x=-3\) सीधे डोमेन में आते हैं और \(x=-1\) भी सीमा बिंदु होने के कारण परिभाषित है। परीक्षा टिप: उल्टी cosecant का डोमेन याद रखें — केवल उन मानों को चुनें जिनका मौलिक cosecant मान \(\le -1\) या \(\ge 1\) हो। / \(\csc^{-1}x\) is defined only for \(|x|\ge 1\), i.e. the domain is \(( -\infty,-1 ]\cup[1,\infty )\). Hence \(x=\tfrac{1}{2}\) is not allowed because \(|\tfrac{1}{2}|<1\). The other choices satisfy the domain: \(x=2\) and \(x=-3\) are valid, and \(x=-1\) is valid as an endpoint. Exam tip: memorize domains of inverse trig functions (especially arccsc/arccot) to avoid common mistakes on boundaries.
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। बाकी विकल्पों में प्रांत की शर्त टूटती है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real (x). In the other options the domain condition fails.
\(\theta\in\left[0,\pi\right]\) और \(\cos\theta=\frac{8}{17}\), इसलिए \(\theta\) प्रथम चतुर्थांश में है और \(\sin\theta=\frac{15}{17}\)। त्रिभुज विधि तेज है। / Here \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) and \(\cos\theta=\frac{8}{17}\), so \(\theta\) is in the first quadrant and \(\sin\theta=\frac{15}{17}\). The triangle method is fast.
\(\tan\theta=\frac{7}{24}\) से कर्ण \(\sqrt{7^2+24^2}=25\), इसलिए \(\sin\theta=\frac{7}{25}\)। अनुपात से त्रिभुज बनाएं। / From \(\tan\theta=\frac{7}{24}\), the hypotenuse is \(\sqrt{7^2+24^2}=25\), so \(\sin\theta=\frac{7}{25}\). Build a triangle from the ratio.
मान लें \(\theta=\sin^{-1}\frac{4}{5}\), तब \(\sin\theta=\frac{4}{5}\) और \(\cos\theta=\frac{3}{5}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{4}{3}\)। / Let \(\theta=\sin^{-1}\frac{4}{5}\), then \(\sin\theta=\frac{4}{5}\) and \(\cos\theta=\frac{3}{5}\). Therefore \(\tan\theta=\frac{4}{3}\).
यदि \(\theta=\tan^{-1}\frac{12}{5}\), तो \(\tan\theta=\frac{12}{5}\) और कर्ण (13) है। इसलिए \(\sin\theta=\frac{12}{13}\)। / If \(\theta=\tan^{-1}\frac{12}{5}\), then \(\tan\theta=\frac{12}{5}\) and the hypotenuse is (13). Hence \(\sin\theta=\frac{12}{13}\).
यदि \(\tan\theta=\frac{15}{8}\), तो कर्ण (17) है। मुख्य परिसर में \(\theta\) प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए \(\cos\theta=\frac{8}{17}\)। / If \(\tan\theta=\frac{15}{8}\), then the hypotenuse is (17). In the principal range \(\theta\) is in the first quadrant, so \(\cos\theta=\frac{8}{17}\).
A. \(\mathbb{R},\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) और परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। खुले अंतराल के अंत बिंदु शामिल नहीं हैं। / The domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\) and its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). The endpoints of the open interval are not included.
\(\cos x\) को \(\left[0,\pi\right]\) पर एक-एक बनाने से \(\cos^{-1}x\) \(\left[-1,1\right]\) पर घटता है। ग्राफ की दिशा से भी पुष्टि करें। / By making \(\cos x\) one-one on \(\left[0,\pi\right]\), \(\cos^{-1}x\) becomes decreasing on \(\left[-1,1\right]\). The graph direction also confirms this.
\(\sin^{-1}x\) अपने पूरे प्रांत \(\left[-1,1\right]\) पर बढ़ता है। यह \(\sin x\) की चुनी गई शाखा से मिलता है। / The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its whole domain \(\left[-1,1\right]\). This matches the chosen branch of \(\sin x\).
\(\sin x\) को \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) पर प्रतिबंधित करने से यह एक-एक बनता है और मान \(\left[-1,1\right]\) मिलते हैं। इसी से \(\sin^{-1}x\) परिभाषित होता है। / Restricting \(\sin x\) to \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) makes it one-one and gives values \(\left[-1,1\right]\). This defines \(\sin^{-1}x\).
\(\cos x\) को \(\left[0,\pi\right]\) पर एक-एक बनाया जाता है। इसलिए \(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) होता है। / The function \(\cos x\) is made one-one on \(\left[0,\pi\right]\). Therefore the range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\).
\(\sin^{-1}1=\frac{\pi}{2}\) और \(\cos^{-1}1=0\), इसलिए योग \(\frac{\pi}{2}\) है। अंत बिंदुओं के मान याद रखें। / Here \(\sin^{-1}1=\frac{\pi}{2}\) and \(\cos^{-1}1=0\), so the sum is \(\frac{\pi}{2}\). Remember endpoint values.
\(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\) और \(\sin^{-1}0=0\), इसलिए अंतर \(\frac{\pi}{2}\) है। शून्य के उल्टे त्रिकोणमितीय मान बहुत उपयोगी हैं। / Since \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\) and \(\sin^{-1}0=0\), the difference is \(\frac{\pi}{2}\). Inverse trigonometric values at zero are very useful.
\(\tan^{-1}0=0\) और \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\), इसलिए योग \(\frac{\pi}{2}\) है। \(\cot^{-1}0\) को (0) न लिखें। / Here \(\tan^{-1}0=0\) and \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\), so the sum is \(\frac{\pi}{2}\). Do not write \(\cot^{-1}0\) as (0).
\(\sin^{-1}x=\frac{\pi}{4}\) से \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)। प्रतिलोम को सामान्य त्रिकोणमितीय रूप में बदलें। / From \(\sin^{-1}x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Convert the inverse form into the normal trigonometric form.
\(\cos^{-1}x=\frac{2\pi}{3}\) से \(x=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। कोण के चतुर्थांश से चिह्न तय करें। / From \(\cos^{-1}x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Decide the sign from the quadrant of the angle.
\(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{6}\) से \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)। \(\tan^{-1}\) का परिसर ऋणात्मक कोण भी लेता है। / From \(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{6}\), \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). The range of \(\tan^{-1}\) also includes negative angles.
हर \(x\in\left[-1,1\right]\) के लिए \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)। यहां \(x=\frac{2}{3}\) मान्य है। / For every \(x\in\left[-1,1\right]\), \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Here \(x=\frac{2}{3}\) is valid.
\(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और यह मुख्य परिसर में है। इसलिए \(-\frac{\pi}{3}\) सही है। / Since \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and it lies in the principal range. Therefore \(-\frac{\pi}{3}\) is correct.
\(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) और \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\)। विशेष मानों की तालिका याद रखें। / Since \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) and \(\frac{\pi}{4}\in\left[0,\pi\right]\). Remember the table of special values.
\(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर मुख्य परिसर में होना चाहिए। / Since \(\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). The answer must lie in the principal range.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान हमेशा \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में लिया जाता है। इस अंतराल में \(\tan \theta\) एक-एक फलन है और प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए एक ही कोण देता है। विकल्प C सही नहीं है, क्योंकि \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan\theta\) अपरिभाषित होता है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के लिए सिरों वाले कोण कभी शामिल नहीं होते। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) is always chosen from \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). In this interval, \(\tan\theta\) is one-to-one, so every real \(x\) corresponds to exactly one angle. Option C is incorrect because \(\tan\theta\) is undefined at \(\theta=\pm\frac{\pi}{2}\). Exam tip: the endpoint angles are never included in the principal-value range of \(\tan^{-1}x\).
\(\cot\theta=\frac{3}{4}\) से आधार (3), लम्ब (4) और कर्ण (5) होगा। इसलिए \(\cos\theta=\frac{3}{5}\)। / From \(\cot\theta=\frac{3}{4}\), the base is (3), perpendicular is (4), and hypotenuse is (5). Hence \(\cos\theta=\frac{3}{5}\).
सूत्र से योग \(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\right)=\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\) है। \(\tan^{-1}\) जोड़ते समय \(ab<1\) जांचें। / By the formula, the sum is \(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\right)=\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\). While adding \(\tan^{-1}\) terms, check \(ab<1\).
\(\sec y=-\sqrt{2}\) से \(\cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\), इसलिए मुख्य मान \(y=\frac{3\pi}{4}\) है। \(\sec^{-1}\) में चिह्न से चतुर्थांश तय करें। / From \(\sec y=-\sqrt{2}\), \(\cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\), so the principal value is \(y=\frac{3\pi}{4}\). For \(\sec^{-1}\), decide the quadrant from the sign.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) और परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। प्रांत-परिसर वाले प्रश्नों में अंतराल तुरंत पहचानें। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\) and its range is \(\left[0,\pi\right]\). In domain-range questions, identify intervals first.
\(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), इसलिए \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)। उत्तर हमेशा \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) में रखें। / Since \(\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}\), \(\sin^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\). Keep the answer in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).
\(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), इसलिए \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4})। (\cos^{-1}\) का उत्तर ऋणात्मक नहीं होता। / Since \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{\pi}{4}). The answer of (\cos^{-1}\) is not negative.
क्योंकि \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\), दोनों बराबर होने पर हर एक \(\frac{\pi}{4}\) होगा। इसलिए \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)। / Since \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\), if both are equal then each is \(\frac{\pi}{4}\). Hence \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
मान लें \(\theta=\cos^{-1}\frac{5}{13}\), तब \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) और \(\sin\theta=\frac{12}{13}\)। इसलिए \(\tan\theta=\frac{12}{5}\)। / Let \(\theta=\cos^{-1}\frac{5}{13}\), then \(\cos\theta=\frac{5}{13}\) and \(\sin\theta=\frac{12}{13}\). Therefore \(\tan\theta=\frac{12}{5}\).
\(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\) से \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), इसलिए \(y=\frac{\pi}{3}\) है। \(\csc^{-1}\) को \(\sin^{-1}\) से जोड़कर हल करें। / From \(\csc y=\frac{2}{\sqrt{3}}\), \(\sin y=\frac{\sqrt{3}}{2}\), so \(y=\frac{\pi}{3}\). Solve \(\csc^{-1}\) by relating it to \(\sin^{-1}\).
\(\sin^{-1}(2x)\) के लिए \(-1\le 2x\le 1\) चाहिए। अतः \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\) मिलेगा। / For \(\sin^{-1}(2x)\), we need \(-1\le 2x\le 1\). Hence \(-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}\).
