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Subjects
Class 12 Mathematics Inverse Trigonometric Functions Introduction to inverse trigonometric functions Medium Level 31

फलन \(\tan^{-1}x\) का परिसर क्या है?

What is the range of the function \(\tan^{-1}x\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)

Explanation

Simple Explanation

\(\tan^{-1}x\) का मान प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) के बीच होता है। इसलिए इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। \(x\) के बहुत बड़ा धनात्मक या ऋणात्मक होने पर मान क्रमशः \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) के निकट जाता है, पर उन्हें प्राप्त नहीं करता; अतः विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के परिसर के अंत बिंदु हमेशा खुले होते हैं। / For every real \(x\), \(\tan^{-1}x\) lies strictly between \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\). Hence, its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). As \(x\) becomes very large positive or negative, the value approaches \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\), respectively, but never attains them; therefore, option B is incorrect. Exam tip: the endpoints of the range of \(\tan^{-1}x\) are always excluded.

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  2. यदि \(A=\begin{bmatrix}3&0\\0&3\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?
  3. यदि \(A=[a_{ij}]*{3\times3}\) और (a*{ij}=1) जब (i=j), तथा \(a_{ij}=0\) जब \(i\ne j\), तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  4. यदि \(A=[a_{ij}]*{2\times2}\) और (a*{ij}=0) सभी (i,j) के लिए है, तो (A) कैसी मैट्रिक्स है?
  5. कौन-सा विकल्प \(2\times2\) इकाई मैट्रिक्स है?
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  8. यदि \(A=\begin{bmatrix}x&1\\2&y\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\) तथा \(A=B\), तो \((x,y)\) क्या है?
  9. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?
  10. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\), तो तीसरा स्तंभ कौन-सा है?

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फलन \(\tan^{-1}x\) का परिसर क्या है? / What is the range of the function \(\tan^{-1}x\)?

Correct Answer: C. \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). Explanation: \(\tan^{-1}x\) का मान प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) के बीच होता है। इसलिए इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। \(x\) के बहुत बड़ा धनात्मक या ऋणात्मक होने पर मान क्रमशः \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) के निकट जाता है, पर उन्हें प्राप्त नहीं करता; अतः विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के परिसर के अंत बिंदु हमेशा खुले होते हैं। / For every real \(x\), \(\tan^{-1}x\) lies strictly between \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\). Hence, its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). As \(x\) becomes very large positive or negative, the value approaches \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\), respectively, but never attains them; therefore, option B is incorrect. Exam tip: the endpoints of the range of \(\tan^{-1}x\) are always excluded.