Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sin^{-1}x\) का परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है और \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)। परीक्षा में हमेशा मुख्य मान परिसर याद रखें। / The range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) and \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\). Always remember the principal range in exams.
\(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है और इस परिसर में \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। ऋणात्मक उत्तर को मुख्य मान न मानें। / The range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\) and in this range \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Do not take a negative angle as principal value.
\(\tan^{-1}x\) का परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है और \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)। चतुर्थांश का ध्यान रखें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) and \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\). Keep the quadrant in mind.
\(\tan^{-1}x\) का मान प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) के बीच होता है। इसलिए इसका परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। \(x\) के बहुत बड़ा धनात्मक या ऋणात्मक होने पर मान क्रमशः \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) के निकट जाता है, पर उन्हें प्राप्त नहीं करता; अतः विकल्प B गलत है। परीक्षा टिप: \(\tan^{-1}x\) के परिसर के अंत बिंदु हमेशा खुले होते हैं। / For every real \(x\), \(\tan^{-1}x\) lies strictly between \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\). Hence, its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). As \(x\) becomes very large positive or negative, the value approaches \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\), respectively, but never attains them; therefore, option B is incorrect. Exam tip: the endpoints of the range of \(\tan^{-1}x\) are always excluded.
A. \(x=\sin y,\; y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
Explanation
Simple Explanation
\(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ है कि \(y\), \(x\) का वह मुख्य मान कोण है जिसके लिए \(\sin y=x\)। \(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान परिसर \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में \(\sin\) और \(\sin^{-1}\) का संबंध उल्टा लिखा गया है। परीक्षा टिप: \(\sin^{-1}x\) को \(1/\sin x\) नहीं, बल्कि sine का inverse function समझें। / \(y=\sin^{-1}x\) means that \(y\) is the principal-value angle whose sine is \(x\); hence \(x=\sin y\). The principal range of \(\sin^{-1}x\) is \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\), so option A is correct. Option D reverses the relation between \(\sin\) and \(\sin^{-1}\). Exam tip: read \(\sin^{-1}x\) as the inverse sine function, not as \(1/\sin x\).
\(y=\cos^{-1}x\) के लिए \(x\in[-1,1]\) होता है और इसका मुख्य मान परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। \(x=1\) पर \(y=0\) तथा \(x=-1\) पर \(y=\pi\) मिलता है, इसलिए दोनों अंत बिंदु शामिल हैं। \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) \(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान परिसर है। परीक्षा टिप: \(\cos^{-1}x\) का परिसर हमेशा \(0\) से \(\pi\) तक याद रखें। / For \(y=\cos^{-1}x\), the domain is \(x\in[-1,1]\), and its principal-value range is \(\left[0,\pi\right]\). At \(x=1\), \(y=0\), while at \(x=-1\), \(y=\pi\); hence both endpoints are included. The interval \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) is associated with the principal range of \(\sin^{-1}x\). Exam tip: remember that \(\cos^{-1}x\) takes values from \(0\) to \(\pi\).
\(\cos^{-1}x\) का प्रमुख मान-परास \([0,\pi]\) होता है, जहाँ \(-1\le x\le1\)। इसके विपरीत \(\sin^{-1}x\) का परास \([-\pi/2,\pi/2]\) है। परीक्षा में प्रतिलोम फलनों के domain और principal range को साथ याद रखें। / The principal value range of \(\cos^{-1}x\) is \([0,\pi]\), for \(-1\le x\le1\). In contrast, \(\sin^{-1}x\) has range \([-\pi/2,\pi/2]\). Exam tip: learn each inverse function’s domain together with its principal range.
A. \(\sin^{-1}x\) वह कोण है जिसका sine \(x\) है; यह \(\frac{1}{\sin x}\) नहीं है।/\(\sin^{-1}x\) is the angle whose sine is \(x\); it is not \(\frac{1}{\sin x}\).
Explanation
Simple Explanation
यदि \(y=\sin^{-1}x\), तो \(\sin y=x\) और \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\) होता है। जैसे \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), न कि 2। परीक्षा में inverse function को reciprocal से न मिलाएँ। / If \(y=\sin^{-1}x\), then \(\sin y=x\) and \(y\in[-\pi/2,\pi/2]\). For example, \(\sin^{-1}(1/2)=\pi/6\), not 2. In exams, do not confuse an inverse function with a reciprocal.
B. कथन गलत है; सही मान \(-\pi/4 है, क्योंकि \(\tan^{-1}\) का प्रमुख मान \((-\pi / 2,\pi / 2)\) में होता है। / The claim is incorrect; the correct value is \(-\pi / 4\), because the principal value of \(\tan^{-1}\) lies in \((-\pi / 2)\).
Explanation
Simple Explanation
\(\tan(3\pi/4)=-1\)। चूँकि \(\tan^{-1}\) का प्रमुख मान \((-\pi/2,\pi/2)\) में लिया जाता है, इसलिए \(\tan^{-1}(-1)=-\pi/4\), न कि \(3\pi/4\)। परीक्षा में पहले प्रमुख मान की सीमा अवश्य जाँचें। / \(\tan(3\pi/4)=-1\). Since the principal-value range of \(\tan^{-1}\) is \((-\pi/2,\pi/2)\), \(\tan^{-1}(-1)=-\pi/4\), not \(3\pi/4\). Exam tip: always check the principal-value range before cancelling inverse functions.
धनात्मक (x) के लिए \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। चिह्न बदलने पर सावधानी रखें। / For positive (x), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Be careful when the sign changes.
\(\csc y=-2\) से \(\sin y=-\frac{1}{2}\), इसलिए मुख्य मान \(y=-\frac{\pi}{6}\) है। \(\csc^{-1}\) का परिसर याद रखें। / From \(\csc y=-2\), \(\sin y=-\frac{1}{2}\), so the principal value is \(y=-\frac{\pi}{6}\). Remember the range of \(\csc^{-1}\).
\(\sin^{-1}x\) विषम फलन है, इसलिए (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x)। विषम और सम गुणों को अलग रखें। / The function \(\sin^{-1}x\) is odd, so (\sin^{-1}(-x)=-\sin^{-1}x). Keep odd and even properties separate.
मानक संबंध \(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\) है। इसे \(\sin^{-1}(-x)\) की तरह विषम न मानें। / The standard relation is \(\cos^{-1}(-x)=\pi-\cos^{-1}x\). Do not treat it as odd like \(\sin^{-1}(-x)\).
\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\frac{\pi}{3}\) मुख्य परिसर में है। विशेष कोण याद रखना जरूरी है। / Since \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range. Remember special angles well.
\(\sec y\) के मान \(\left(-1,1\right)\) में नहीं आते, इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\left(-1,1\right)\) है। शून्य भी प्रांत में नहीं है। / Values of \(\sec y\) do not lie in \(\left(-1,1\right)\), so the domain of \(\sec^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\setminus\left(-1,1\right)\). Zero is also not in the domain.
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। बाकी विकल्पों में प्रांत की शर्त टूटती है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real (x). In the other options the domain condition fails.
A. \(\mathbb{R},\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) और परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) है। खुले अंतराल के अंत बिंदु शामिल नहीं हैं। / The domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\) and its range is \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). The endpoints of the open interval are not included.
\(\cos x\) को \(\left[0,\pi\right]\) पर एक-एक बनाने से \(\cos^{-1}x\) \(\left[-1,1\right]\) पर घटता है। ग्राफ की दिशा से भी पुष्टि करें। / By making \(\cos x\) one-one on \(\left[0,\pi\right]\), \(\cos^{-1}x\) becomes decreasing on \(\left[-1,1\right]\). The graph direction also confirms this.
\(\sin^{-1}x\) अपने पूरे प्रांत \(\left[-1,1\right]\) पर बढ़ता है। यह \(\sin x\) की चुनी गई शाखा से मिलता है। / The function \(\sin^{-1}x\) is increasing on its whole domain \(\left[-1,1\right]\). This matches the chosen branch of \(\sin x\).
\(\sin x\) को \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) पर प्रतिबंधित करने से यह एक-एक बनता है और मान \(\left[-1,1\right]\) मिलते हैं। इसी से \(\sin^{-1}x\) परिभाषित होता है। / Restricting \(\sin x\) to \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\) makes it one-one and gives values \(\left[-1,1\right]\). This defines \(\sin^{-1}x\).
\(\cos x\) को \(\left[0,\pi\right]\) पर एक-एक बनाया जाता है। इसलिए \(\cos^{-1}x\) का परिसर \(\left[0,\pi\right]\) होता है। / The function \(\cos x\) is made one-one on \(\left[0,\pi\right]\). Therefore the range of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[0,\pi\right]\).
\(\sin^{-1}1=\frac{\pi}{2}\) और \(\cos^{-1}1=0\), इसलिए योग \(\frac{\pi}{2}\) है। अंत बिंदुओं के मान याद रखें। / Here \(\sin^{-1}1=\frac{\pi}{2}\) and \(\cos^{-1}1=0\), so the sum is \(\frac{\pi}{2}\). Remember endpoint values.
\(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\) और \(\sin^{-1}0=0\), इसलिए अंतर \(\frac{\pi}{2}\) है। शून्य के उल्टे त्रिकोणमितीय मान बहुत उपयोगी हैं। / Since \(\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}\) and \(\sin^{-1}0=0\), the difference is \(\frac{\pi}{2}\). Inverse trigonometric values at zero are very useful.
\(\tan^{-1}0=0\) और \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\), इसलिए योग \(\frac{\pi}{2}\) है। \(\cot^{-1}0\) को (0) न लिखें। / Here \(\tan^{-1}0=0\) and \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\), so the sum is \(\frac{\pi}{2}\). Do not write \(\cot^{-1}0\) as (0).
\(\sin^{-1}x=\frac{\pi}{4}\) से \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)। प्रतिलोम को सामान्य त्रिकोणमितीय रूप में बदलें। / From \(\sin^{-1}x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Convert the inverse form into the normal trigonometric form.
\(\cos^{-1}x=\frac{2\pi}{3}\) से \(x=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\)। कोण के चतुर्थांश से चिह्न तय करें। / From \(\cos^{-1}x=\frac{2\pi}{3}\), \(x=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\). Decide the sign from the quadrant of the angle.
\(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{6}\) से \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)। \(\tan^{-1}\) का परिसर ऋणात्मक कोण भी लेता है। / From \(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{6}\), \(x=\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). The range of \(\tan^{-1}\) also includes negative angles.
\(\sec y=-\sqrt{2}\) से \(\cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\), इसलिए मुख्य मान \(y=\frac{3\pi}{4}\) है। \(\sec^{-1}\) में चिह्न से चतुर्थांश तय करें। / From \(\sec y=-\sqrt{2}\), \(\cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\), so the principal value is \(y=\frac{3\pi}{4}\). For \(\sec^{-1}\), decide the quadrant from the sign.
\(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) और परिसर \(\left[0,\pi\right]\) है। प्रांत-परिसर वाले प्रश्नों में अंतराल तुरंत पहचानें। / The domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\) and its range is \(\left[0,\pi\right]\). In domain-range questions, identify intervals first.
क्योंकि \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\), दोनों बराबर होने पर हर एक \(\frac{\pi}{4}\) होगा। इसलिए \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)। / Since \(\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}{2}\), if both are equal then each is \(\frac{\pi}{4}\). Hence \(x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
