किस विकल्प में दिया गया संबंध सममित है लेकिन स्वतुल्य नहीं है, जहाँ \(A=\{1,2,3\}\) है?
Which option gives a relation that is symmetric but not reflexive, where \(A=\{1,2,3\}\)?
#symmetric not reflexive
#property comparison
#mcq
A ({(1,2),(2,1)})
B ({(1,1),(2,2),(3,3)})
C ({(1,2)})
D ({(1,1),(1,2),(2,3)})
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Correct Answer
A. ({(1,2),(2,1)})
Step 1
Concept
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। / In option A, both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी नहीं हैं, इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है। / It does not contain all ((1,1),(2,2),(3,3)), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
दो गुणों वाले प्रश्नों में दोनों शर्तें अलग-अलग जाँचें। / In questions with two properties, check both conditions separately.
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किस विकल्प में संबंध सममित नहीं है, पर उसमें कुछ विकर्ण युग्म मौजूद हैं?
Which option gives a relation that is not symmetric but contains some diagonal pairs?
#not symmetric
#diagonal pairs
#common mistake
A ({(1,1),(2,2),(1,3)})
B ({(1,2),(2,1)})
C ({(3,3)})
D ({(1,1),(2,2)})
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Correct Answer
A. ({(1,1),(2,2),(1,3)})
Step 1
Concept
पहले विकल्प में ((1,1)) और ((2,2)) विकर्ण युग्म हैं। / Option A has diagonal pairs ((1,1)) and ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,3)) का उलटा ((3,1)) नहीं है, इसलिए यह सममित नहीं है। / But the reverse of ((1,3)), which is ((3,1)), is missing, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म मौजूद होने से सममितता अपने आप सिद्ध नहीं होती। / Having diagonal pairs does not automatically prove symmetry.
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यदि संबंध (R) का आव्यूह \(\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&1\end{pmatrix}\) है, तो (R) कैसा है?
If the matrix of relation (R) is \(\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&1\end{pmatrix}\), what type is (R)?
#relation matrix
#symmetric matrix
#main diagonal
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C रिक्त / Empty
D सार्वत्रिक नहीं पर असममित / Not universal but asymmetric
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
आव्यूह की मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / Match the entries on both sides of the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\) और \(m_{23}=m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{12}=m_{21}=0\), and \(m_{23}=m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
मुख्य विकर्ण के बारे में समान आव्यूह सममित संबंध दिखाता है। / A matrix identical about the main diagonal represents a symmetric relation.
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यदि संबंध (R) के आव्यूह में \(m_{23}=1\) और \(m_{32}=0\) है, तो (R) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
If the matrix of relation (R) has \(m_{23}=1\) and \(m_{32}=0\), what can be said about (R)?
#relation matrix
#not symmetric
#reverse entry
A (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
B (R) अवश्य सममित है / (R) is definitely symmetric
C (R) अवश्य रिक्त है / (R) is definitely empty
D (R) अवश्य पहचान संबंध है / (R) is definitely the identity relation
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Correct Answer
A. (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
Step 1
Concept
\(m_{23}=1\) का अर्थ है कि \((2,3)\in R\)। / \(m_{23}=1\) means \((2,3)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
\(m_{32}=0\) का अर्थ है कि \((3,2)\notin R\)। / \(m_{32}=0\) means \((3,2)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
एक युग्म का उलटा न मिले तो संबंध सममित नहीं होता। / If the reverse of one pair is missing, the relation is not symmetric.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=A\times A\) है, तो (R) सममित क्यों है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=A\times A\), why is (R) symmetric?
#universal relation
#symmetric relation
#cartesian product
A क्योंकि हर संभव ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी मौजूद है / Because with every possible ((a,b)), ((b,a)) is also present
B क्योंकि इसमें कोई युग्म नहीं है / Because it has no pair
C क्योंकि इसमें केवल ((1,1)) है / Because it has only ((1,1))
D क्योंकि इसमें केवल बढ़ते क्रम वाले युग्म हैं / Because it has only increasing order pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि हर संभव ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी मौजूद है / Because with every possible ((a,b)), ((b,a)) is also present
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी ((a,b)) का उलटा ((b,a)) भी उसी में होगा। / Therefore the reverse ((b,a)) of any ((a,b)) is also present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को सममित मानना एक महत्वपूर्ण तथ्य है। / Remember that the universal relation is an important example of a symmetric relation.
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रिक्त संबंध \(\varnothing\) को सममित क्यों माना जाता है?
Why is the empty relation \(\varnothing\) considered symmetric?
#empty relation
#symmetric relation
#vacuous truth
A क्योंकि इसमें ऐसा कोई युग्म नहीं है जिसकी शर्त टूटे / Because there is no pair that can violate the condition
B क्योंकि इसमें सभी उलटे युग्म हैं / Because it contains all reverse pairs
C क्योंकि इसमें केवल विकर्ण युग्म हैं / Because it contains only diagonal pairs
D क्योंकि यह \(A\times A\) के बराबर है / Because it is equal to \(A\times A\)
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Correct Answer
A. क्योंकि इसमें ऐसा कोई युग्म नहीं है जिसकी शर्त टूटे / Because there is no pair that can violate the condition
Step 1
Concept
सममितता की शर्त केवल मौजूद युग्मों पर जाँची जाती है। / The condition of symmetry is checked only for pairs that are present.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म है ही नहीं, इसलिए कोई विरोधी उदाहरण नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so there is no counterexample.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध को स्वतः सममित माना जाता है। / The empty relation is treated as symmetric automatically.
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\(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what type is (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)})?
#congruence modulo
#symmetric relation
#parity
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल रिक्त / Only empty
D केवल एक युग्म वाला / Having only one pair
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है, तो (b) की प्रकृति भी (a) जैसी होगी। / If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).
Step 3
Exam Tip
समानता जैसे नियमों में दोनों दिशा स्वाभाविक रूप से जाँचें। / In similarity-type rules, check both directions naturally.
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\(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}) के लिए कौन-सा कथन सही है?
For (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}) on \(A=\{1,2,3,4,5\}\), which statement is correct?
#modulo relation
#symmetric relation
#congruence
A (R) सममित है / (R) is symmetric
B (R) सममित नहीं है / (R) is not symmetric
C (R) केवल ((1,1)) रखता है / (R) contains only ((1,1))
D (R) में कोई उलटा युग्म नहीं होता / (R) has no reverse pair
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Correct Answer
A. (R) सममित है / (R) is symmetric
Step 1
Concept
यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो दोनों का (3) से भाग देने पर शेष समान है। / If \(a\equiv b \pmod{3}\), both leave the same remainder when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यही बात उलटकर \(b\equiv a \pmod{3}\) भी देती है। / The same fact also gives \(b\equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले नियम सममितता के अच्छे उदाहरण हैं। / Congruence rules are good examples of symmetry.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a=b+1\}\) सममित क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), why is \(R=\{(a,b):a=b+1\}\) not symmetric?
#not symmetric
#successor relation
#counterexample
A \((2,1)\in R\) है लेकिन \((1,2)\notin R\) / \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
B \((1,1)\in R\) है / \((1,1)\in R\)
C \((3,3)\in R\) है / \((3,3)\in R\)
D हर उलटा युग्म मौजूद है / Every reverse pair is present
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Correct Answer
A. \((2,1)\in R\) है लेकिन \((1,2)\notin R\) / \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
(2=1+1), इसलिए \((2,1)\in R\)। / (2=1+1), so \((2,1)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के लिए (1=2+1) गलत है। / For ((1,2)), (1=2+1) is false.
Step 3
Exam Tip
एक दिशा वाले नियमों में सममितता अक्सर असफल होती है। / One-direction rules often fail symmetry.
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यदि \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) पूर्णांकों के समुच्चय पर परिभाषित है, तो (R) कैसा है?
If \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) is defined on the set of integers, what type is (R)?
#square equality
#symmetric relation
#integers
A सममित / Symmetric
B सममित नहीं / Not symmetric
C केवल रिक्त / Only empty
D केवल एक तत्व वाला / Having only one element
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
यदि \(a^2=b^2\), तो बराबरी को उलटकर \(b^2=a^2\) भी सत्य है। / If \(a^2=b^2\), then by reversing equality, \(b^2=a^2\) is also true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence if ((a,b)) belongs to the relation, ((b,a)) also belongs.
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर आधारित नियमों में सममितता जाँचते समय दोनों ओर बदलकर देखें। / In equality-based rules, swap the two sides to test symmetry.
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