Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि (aRb) है, तो (b-a) और (b+a) भी पूर्णांक होंगे, इसलिए सममितता है। / If (aRb), then (b-a) and (b+a) are also integers, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्तिता के लिए \(2a\in\mathbb{Z}\) हर वास्तविक (a) पर चाहिए, जो सही नहीं है। / Reflexivity would require \(2a\in\mathbb{Z}\) for every real (a), which is false.
Step 3
Exam Tip
\(0R\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}R1\) सही हैं, पर (0R1) गलत है क्योंकि (0-1) पूर्णांक है पर (0+1) पूर्णांक है; ध्यान से देखें, यह सही है; इसलिए बेहतर विरोधी \(\frac{1}{4}R\frac{3}{4}\) और \(\frac{3}{4}R\frac{5}{4}\) नहीं बनता। वास्तविक जांच में यह संबंध संक्रामी है, पर प्रतिवर्ती नहीं, इसलिए केवल सममित कहना उचित है। / The condition is not reflexive on all real numbers, so it cannot be an equivalence relation.
\(\sqrt{2}\) से संबंधित संख्या (x) के लिए \(x-\sqrt{2}\) परिमेय होना चाहिए। / A number (x) related to \(\sqrt{2}\) must satisfy \(x-\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\), जहां \(q\in\mathbb{Q}\)। / Hence \(x=\sqrt{2}+q\), where \(q\in\mathbb{Q}\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय शर्त को सीधे चल रूप में बदलें। / Convert the defining condition directly into set-builder form.
([0]) में सभी परिमेय संख्याएं आती हैं। / ([0]) contains all rational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3}{5}\) परिमेय है, इसलिए \(\frac{3}{5}-0\) परिमेय है और दोनों एक ही वर्ग में हैं। / \(\frac{3}{5}\) is rational, so \(\frac{3}{5}-0\) is rational and both are in the same class.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेय प्रतिनिधि सामान्यतः अलग वर्ग देता है, जब तक अंतर परिमेय न हो। / An irrational representative usually gives a different class unless the difference is rational.
A. प्रतिवर्ती और सममित पर संक्रामी नहीं/reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0<1), इसलिए प्रतिवर्तिता है।
Step 2
Why this answer is correct
दूरी दोनों दिशाओं में समान होती है, इसलिए सममितता है। / Distance is the same in both directions, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
(0R0.6) और (0.6R1.2) सही हैं, पर (0R1.2) गलत है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (0R0.6) and (0.6R1.2) hold, but (0R1.2) fails; hence it is not transitive.
B. सममित और संक्रामी पर प्रतिवर्ती नहीं/symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(ab>0) का अर्थ है दोनों संख्याएं समान चिह्न की और शून्य नहीं हैं। / (ab>0) means both numbers have the same non-zero sign.
Step 2
Why this answer is correct
शर्त पलटने पर नहीं बदलती, इसलिए सममित है। / The condition is unchanged when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान चिह्न वाली शृंखला संक्रामी है, पर (0R0) गलत है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं। / Same sign passes through a middle element, but (0R0) is false; hence it is not reflexive.
