Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. परावर्ती और संक्रामक पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या अपने आप को विभाजित करती है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करे तो (a) (c) को विभाजित करता है, इसलिए यह संक्रामक है। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सममितता के लिए उल्टा युग्म जरूर जांचें, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं। / For symmetry, always check the reverse pair; (1) divides (2) but (2) does not divide (1).
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) and ((2,1)) both exist, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
जरूरी संयोजन जांचने पर संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Checking all needed chains shows transitivity is not broken, so it is an equivalence relation.
A. संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। / ((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलना चाहिए, जो संबंध में है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and it is present.
Step 3
Exam Tip
कठिन प्रश्नों में पहले गायब स्वयुग्म देखकर परावर्तन जल्दी खारिज करें। / In hard questions, first look for missing self-pairs to reject reflexivity quickly.
A. यह सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/It is symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई भी ((a,a)) मौजूद नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / No ((a,a)) pair is present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे युग्म या संक्रामकता को तोड़ने वाला कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममित और संक्रामक शर्त खाली रूप से पूरी होती है। / There is no pair that can violate symmetry or transitivity, so those conditions hold vacuously.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध में परावर्तन जरूर जांचें, वही मुख्य फर्क बनाता है। / For an empty relation, reflexivity is the main condition to check.
(a-a=0) सम है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है, इसलिए संबंध सममित है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समता का जोड़ फिर सम देता है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है और संबंध तुल्यता है। / The sum of even differences is even, so transitivity holds and the relation is an equivalence relation.
हर पूर्णांक के लिए \(a \equiv a \pmod{3}\), इसलिए परावर्ती है। / For every integer, \(a \equiv a \pmod{3}\), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a \equiv b \pmod{3}\) तो \(b \equiv a \pmod{3}\), इसलिए सममित है। / If \(a \equiv b \pmod{3}\), then \(b \equiv a \pmod{3}\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल का संबंध संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same remainder is transitive, so it is an equivalence relation.
