यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -4x+5), तो न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -4x+5), what is the minimum value?
#minimum value
#quadratic function
#range
#medium
A (1)
B (5)
C (0)
D (4)
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Step 1
Concept
(x-2 -4x+5=(x-2)2 +1) लिखें। / Write (x-2 -4x+5=(x-2)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge1)। / Since ((x-2)2 \ge0), (f(x)\ge1).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान (1) होगा, जो (x=2) पर मिलता है। / The minimum value is (1), attained at (x=2).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -4x+5), तो परास कौन-सा है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x-2 -4x+5), what is the range?
#range
#quadratic function
#complete square
#medium
A \([1,\infty\))
B \([5,\infty\))
C (R)
D (\(-\infty,1]\)
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Correct Answer
A. \([1,\infty\))
Step 1
Concept
फलन को ((x-2)2 +1) के रूप में लिखें। / Write the function as ((x-2)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग का मान शून्य या धनात्मक होता है। / A square is zero or positive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सबसे छोटा मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। / Therefore the least value is (1), and the range is \([1,\infty\)).
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यदि (f(x)=\frac{x}{x+1}), तो (f(x)=1) का कोई वास्तविक हल है या नहीं?
If (f(x)=\frac{x}{x+1}), does (f(x)=1) have a real solution?
#range
#rational function
#no solution
#medium
A नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं है / No, it has no real solution
B हाँ, (x=0) / Yes, (x=0)
C हाँ, (x=1) / Yes, (x=1)
D हाँ, (x=-1) / Yes, (x=-1)
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Correct Answer
A. नहीं, कोई वास्तविक हल नहीं है / No, it has no real solution
Step 1
Concept
\(\frac{x}{x+1}=1\) मानें। / Assume \(\frac{x}{x+1}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (x=x+1) मिलता है, जो असंभव है। / This gives (x=x+1), which is impossible.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (1) इस फलन के परास में नहीं आता। / Therefore (1) is not in the range of this function.
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यदि (f(x)=\frac{x}{x+1}), तो इस फलन का परास कौन-सा है?
If (f(x)=\frac{x}{x+1}), what is the range of this function?
#range
#rational function
#algebra
#medium
A (R-{1})
B (R-{-1})
C (R)
D ((0,1))
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Correct Answer
A. (R-{1})
Step 1
Concept
\(y=\frac{x}{x+1}\) लिखें। / Write \(y=\frac{x}{x+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x+1)=x) से \(x=\frac{y}{1-y}\) मिलता है, यदि \(y\ne1\)। / From (y(x+1)=x), we get \(x=\frac{y}{1-y}\), if \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक (y) संभव है, केवल (1) नहीं। / Hence every real (y) is possible except (1).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों आच्छादक हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both onto, what can be said about \(g\circ f\)?
#composition
#onto functions
#surjective
#medium
A आच्छादक / Onto
B एक-एकी नहीं हो सकता / Cannot be one-one
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. आच्छादक / Onto
Step 1
Concept
(g) आच्छादक है, इसलिए (C) का हर अवयव (B) के किसी अवयव की छवि है। / Since (g) is onto, every element of (C) is the image of some element of (B).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादक है, इसलिए वह (B) के हर जरूरी अवयव तक पहुँच सकता है। / Since (f) is onto, it can reach every needed element of (B).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) भी (A) से (C) पर आच्छादक होगा। / Therefore \(g\circ f\) is onto from (A) to (C).
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यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एक-एकी हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?
If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one, what can be said about \(g\circ f\)?
#composition
#one one functions
#injective
#medium
A एक-एकी / One-one
B आच्छादक ही होगा / Must be onto
C स्थिर / Constant
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. एक-एकी / One-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g) एक-एकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)).
Step 3
Exam Tip
(f) एक-एकी है, इसलिए \(a_1=a_2\), अतः संयुक्त फलन एक-एकी है। / Since (f) is one-one, \(a_1=a_2\), so the composite is one-one.
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यदि (f) और (g) एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं, तो (\(f\circ g\)(x)) क्या होगा?
If (f) and (g) are inverses of each other, what is (\(f\circ g\)(x))?
#inverse functions
#composition
#identity function
A (x)
B (f(x))
C (g(x))
D (0)
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Step 1
Concept
प्रतिलोम फलनों का संयुक्त फलन पहचान फलन देता है। / The composition of inverse functions gives the identity function.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि पहले (g) और फिर (f) लगाने पर मूल मान वापस आता है। / This means applying (g) first and then (f) returns the original value.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(f\circ g\)(x)=x)। / Therefore (\(f\circ g\)(x)=x).
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यदि (f(x)=x-2 -1) और (f(a)=8), जहाँ (a>0), तो (a) क्या होगा?
If (f(x)=x-2 -1) and (f(a)=8), where (a>0), what is (a)?
#function equation
#quadratic function
#positive input
A (3)
B (9)
C (-3)
D (4)
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Step 1
Concept
(f(a)=a-2 -1) है। / (f(a)=a-2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2-1=8\) से \(a^2=9\) मिलता है। / From \(a^2-1=8\), we get \(a^2=9\).
Step 3
Exam Tip
(a>0) दिया है, इसलिए (a=3) होगा। / Since (a>0), (a=3).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+1) एक-एकी है, तो (k) के लिए कौन-सी शर्त चाहिए?
If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+1), is one-one, what condition is needed on (k)?
#one one function
#parameter
#linear function
A \(k\ne0\)
B (k=0)
C (k=1) ही / only (k=1)
D (k<0) ही / only (k<0)
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Correct Answer
A. \(k\ne0\)
Step 1
Concept
यदि (k=0), तो (f(x)=1) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (k=0), then (f(x)=1) becomes a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
स्थिर फलन एक-एकी नहीं होता। / A constant function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(k\ne0\) होने पर रैखिक फलन एक-एकी रहेगा। / Therefore, for the linear function to be one-one, \(k\ne0\).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=kx+3) आच्छादक है, तो (k) के लिए सही शर्त कौन-सी है?
If \(f:R\to R\), (f(x)=kx+3), is onto, what is the correct condition on (k)?
#onto function
#parameter
#linear function
A \(k\ne0\)
B (k=0)
C (k=3) ही / only (k=3)
D (k>0) ही / only (k>0)
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Correct Answer
A. \(k\ne0\)
Step 1
Concept
यदि (k=0), तो फलन का मान हमेशा (3) रहेगा। / If (k=0), the function always has value (3).
Step 2
Why this answer is correct
तब परास केवल ({3}) होगा, पूरा (R) नहीं। / Then the range is only ({3}), not all of (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादकता के लिए \(k\ne0\) चाहिए। / Therefore, onto requires \(k\ne0\).
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