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समुच्चय \(A\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होंगे जो 4 से विभाज्य हैं: \(A=\{4,8,12\}\)। इसलिए \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं: \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\)। विकल्प B स्वयं \(A\) है, जबकि विकल्प C में 4, 8 और 12 जैसे 4 के गुणज भी शामिल हैं। विकल्प D केवल विषम संख्याएँ देता है और 2, 6 तथा 10 जैसे सम संख्याओं को छोड़ देता है, जो 4 से विभाज्य नहीं हैं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय लिखें और उसमें से \(A\) के तत्व हटा दें। / The elements of \(A\) are the members of \(U\) divisible by 4: \(A=\{4,8,12\}\). Hence, the complement of \(A\) with respect to \(U\) contains every element of \(U\) that is not in \(A\): \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\). Option B is the set \(A\) itself, while option C incorrectly includes the multiples of 4. Option D contains only odd numbers and omits even numbers such as 2, 6, and 10, which are not divisible by 4. Exam tip: To find a complement, write the universal set first and remove all elements of the given set.
पहले संघ ज्ञात करें: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\)। इसका पूरक, सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व हैं जो इस संघ में शामिल नहीं हैं। इसलिए \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B केवल दोनों समुच्चयों के प्रतिच्छेद \(A\cap B\) को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष शेष तत्व चुनें। / First find the union: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\). The complement consists of the elements of the universal set \(U\) that are not in this union. Hence, \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\), so option A is correct. Option B, \(\{c\}\), represents the intersection \(A\cap B\), not the complement of the union. Exam tip: take the complement only with respect to the stated universal set.
समुच्चय \(A\) का \(U\) के सापेक्ष पूरक उन तत्वों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{5,6,7,8,9\}\)। अब \(A'\cap B\) में \(A'\) और \(B=\{4,5,6\}\) के समान तत्व लिए जाएँगे, अतः \(A'\cap B=\{5,6\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(4\), \(A\) में है और इसलिए \(A'\) में नहीं है; विकल्प C में ऐसे तत्व हैं जो \(B\) में नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: पूरक निकालते समय दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय को आधार अवश्य बनाएँ, फिर प्रतिच्छेद ज्ञात करें। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). The intersection \(A'\cap B\) consists of the elements common to \(A'\) and \(B=\{4,5,6\}\), giving \(\{5,6\}\). Option B is incorrect because \(4\) belongs to \(A\), so it cannot belong to \(A'\); option C contains elements that are not in \(B\). Exam tip: take a complement relative to the stated universal set before finding an intersection.
समुच्चय \(U\) में अंग्रेज़ी के सभी 26 छोटे अक्षर हैं, जबकि \(V\) में 5 स्वर हैं। इसलिए \(V'\) में वे अक्षर होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(V\) में नहीं हैं। अतः \(|V'|=|U|-|V|=26-5=21\)। विकल्प A (5) समुच्चय \(V\) का आकार है और विकल्प C (26) पूरे सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) का आकार है। परीक्षा-टिप: जब \(V\subseteq U\) हो, तो पूरक के तत्वों की संख्या \(|V'|=|U|-|V|\) से निकालें। / The universal set \(U\) contains all 26 lowercase English letters, while \(V\) contains 5 vowels. Therefore, \(V'\) contains the letters that belong to \(U\) but not to \(V\). Thus, \(|V'|=|U|-|V|=26-5=21\). Option A (5) is the cardinality of \(V\), and option C (26) is the cardinality of the entire universal set \(U\). Exam tip: when \(V\subseteq U\), find the cardinality of the complement using \(|V'|=|U|-|V|\).
पहले दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेद निकालते हैं: \(A\cap B=\{2,4\}\), क्योंकि 2 और 4 ही दोनों समुच्चयों में समान हैं। अब सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष इसका पूरक होगा: \((A\cap B)'=U\setminus\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8\}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B प्रतिच्छेद स्वयं है, जबकि विकल्प C केवल \(A'\) और विकल्प D केवल \(B'\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में से संबंधित समुच्चय के अवयव हटाएँ; जाँच के लिए \((A\cap B)'=A'\cup B'\) भी लगा सकते हैं। / First find the intersection: \(A\cap B=\{2,4\}\), since 2 and 4 are the only elements common to both sets. The complement is taken with respect to the universal set \(U\): \((A\cap B)'=U\setminus\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8\}\). Hence, option A is correct. Option B is the intersection itself, while option C is only \(A'\) and option D is only \(B'\). Exam tip: for a complement, remove the relevant set's elements from the given universal set; you can also verify the result using De Morgan's law, \((A\cap B)'=A'\cup B'\).
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(U=\{x:x\in\mathbb{N},\ x\le 20\}\) और \(A=\{x\in U:x\text{ पूर्ण वर्ग है}\}\), तो \(|A'|\) का मान क्या है?
यहाँ \(U=\{1,2,\ldots,20\}\) है, इसलिए \(|U|=20\)। इस सीमा में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16\) हैं, अतः \(|A|=4\)। चूँकि \(A'\), समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है, इसलिए \(|A'|=|U|-|A|=20-4=16\)। विकल्प B (14) गलत है, क्योंकि पूर्ण वर्गों की संख्या 4 है, 6 नहीं। परीक्षा सुझाव: पूरक समुच्चय की cardinality निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality में से मूल समुच्चय की cardinality घटाएँ। / Here, \(U=\{1,2,\ldots,20\}\), so \(|U|=20\). The perfect squares in this range are \(1,4,9,16\), giving \(|A|=4\). Since \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=20-4=16\). Option B (14) is incorrect because there are 4 perfect squares in the set, not 6. Exam tip: for a complement, subtract the cardinality of the given set from that of the universal set.
समुच्चय \(A\) में \(U\) के वे तत्व होंगे जिनके वर्ग 25 से छोटे हैं। \(0^2,1^2,2^2,3^2,4^2\) क्रमशः 0, 1, 4, 9 और 16 हैं, इसलिए \(A=\{0,1,2,3,4\}\)। दूसरी ओर, \(5^2=25\) है और शर्त \(x^2<25\) में बराबरी शामिल नहीं है; अतः 5 भी \(A\) में नहीं है। इसलिए \(U\) के शेष तत्वों का समुच्चय \(A'=\{5,6,7,8,9\}\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि उसमें 5 छूट गया है। परीक्षा-सुझाव: ‘<’ और ‘≤’ के अंतर को जाँचने के लिए सीमा वाले तत्व, यहाँ \(x=5\), का वर्ग अवश्य निकालें। / Set \(A\) contains the elements of \(U\) whose squares are less than 25. The squares of 0, 1, 2, 3 and 4 are 0, 1, 4, 9 and 16, respectively, so \(A=\{0,1,2,3,4\}\). Since \(5^2=25\) and the condition is strictly \(x^2<25\), 5 is not in \(A\). Therefore, the elements of \(U\) outside \(A\) are \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). Option C is incorrect because it omits 5. Exam tip: when an inequality is strict, test the boundary value—in this case, \(x=5\)—to distinguish ‘<’ from ‘≤’.
समुच्चय \(U\) में \(-5,-4,\ldots,5\) तक के सभी पूर्णांक हैं, इसलिए \(|U|=11\)। शर्त \(|x|\le 2\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), अतः \(|A|=5\)। चूँकि पूरक \(A'\) को \(U\) के सापेक्ष लिया गया है, \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\)। विकल्प 5 केवल \(A\) के तत्वों की संख्या है, पूरक की नहीं। परीक्षा टिप: पूर्णांकों की श्रेणी में दोनों अंतिम सिरों को शामिल करके गिनें। / The universal set \(U\) contains all integers from \(-5\) through \(5\), so \(|U|=11\). The condition \(|x|\le 2\) gives \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), hence \(|A|=5\). Since the complement is taken relative to \(U\), \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\). Option 5 is the size of \(A\), not of its complement. Exam tip: when counting an inclusive integer interval, include both endpoints.
यहाँ \\(A\\) और \\(B\\) के पूरक दिए गए हैं। दे मॉर्गन के नियम के अनुसार \\(A\\cap B=(A'\\cup B')'\\)। पहले \\(A'\\cup B'=\\{1,2,4,7,8\\}\) प्राप्त होता है। अतः सार्वत्रिक समुच्चय \\(U\\) के सापेक्ष इसका पूरक \\(\\{3,5,6\\}\) होगा। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D, \\(A=U\\setminus A'=\\{2,3,5,6,8\\}\), दर्शाता है; यह केवल \\(A\\) है, \\(A\\cap B\\) नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक दिए होने पर \\(A\\cap B\\) निकालने के लिए सीधे \\(A'\\cup B'\\) का पूरक लेना सबसे तेज़ तरीका है। / The complements of \\(A\\) and \\(B\\) are given. By De Morgan’s law, \\(A\\cap B=(A'\\cup B')'\\). First, \\(A'\\cup B'=\\{1,2,4,7,8\\}\). Therefore, its complement with respect to the universal set \\(U\\) is \\(\\{3,5,6\\}\), so option A is correct. Option D is \\(A=U\\setminus A'=\\{2,3,5,6,8\\}\); it represents only \\(A\\), not the intersection. Exam tip: when complements are provided, find the intersection quickly by taking the complement of the union of the given complements.
