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क्योंकि \(4=2^2\), इसलिए \((4,2)\in R\) है। ऐसे प्रश्नों में ordered pair के पहले और दूसरे घटक को सही स्थान पर रखकर जांचें। / Since \(4=2^2\), \((4,2)\in R\). In such questions, check the first and second components in the correct order.
खाली संबंध में कोई ordered pair नहीं होता। याद रखें \(R=\varnothing\) भी एक वैध संबंध है। / An empty relation has no ordered pair. Remember that \(R=\varnothing\) is also a valid relation.
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के सभी ordered pairs लेता है। परीक्षा में इसे total relation भी समझें। / The universal relation contains all ordered pairs of \(A\times A\). In exams, think of it as the total relation.
दिए गए संबंध में ( (2,2) ) साफ लिखा है। MCQ में सीधे दिए गए pair को ध्यान से मिलाएं। / The pair ( (2,2) ) is clearly present in the given relation. In MCQs, match the listed pair carefully.
\(A\times A\) में \(3^2=9\) pairs हैं और उसके \(2^9\) उपसमुच्चय होंगे। संबंधों की संख्या \(2^{n(A)^2}\) होती है। / There are \(3^2=9\) pairs in \(A\times A\), so it has \(2^9\) subsets. The number of relations is \(2^{n(A)^2}\).
(n\(A\times B\)=2\cdot3=6), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) है। पहले \(A\times B\) के pairs गिनें। / Here (n\(A\times B\)=2\cdot3=6), so the number of relations is \(2^6\). Count the pairs in \(A\times B\) first.
B. \(R=\{(x,y)\in\{1,2,3\}\times\{2,4,6\}:y=2x\}\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए प्रत्येक क्रमित युग्म में दूसरा घटक पहले घटक का 2 गुना है: \(2=2(1)\), \(4=2(2)\) और \(6=2(3)\)। इसलिए शर्त \(y=2x\) होगी और \(x\) के मान \(\{1,2,3\}\) तक सीमित रहेंगे। विकल्प A में \(y=x\) है, जबकि विकल्प D केवल कुछ मानों पर सही संबंध दिखाता है, पूरे दिए गए संबंध पर नहीं। परीक्षा-युक्ति: set-builder रूप में नियम के साथ domain या संबंधित Cartesian product अवश्य जाँचें। / In every ordered pair, the second component is twice the first: \(2=2(1)\), \(4=2(2)\), and \(6=2(3)\). Hence the condition is \(y=2x\), with \(x\) restricted to \(\{1,2,3\}\). Option A uses \(y=x\), while option D does not reproduce all the given ordered pairs. Exam tip: in a restricted set-builder form, check both the rule and the stated domain or Cartesian product.
(1+3=4), इसलिए ( (1,3) ) relation में है। जो pair condition पूरी करे वही सही होता है। / Here (1+3=4), so ( (1,3) ) belongs to the relation. The pair satisfying the condition is correct.
C. क्योंकि ( (3,3) ) नहीं है/because ( (3,3) ) is absent
Explanation
Simple Explanation
Reflexive होने के लिए ( (3,3) ) भी होना चाहिए। एक diagonal pair missing हो तो relation reflexive नहीं होता। / For reflexive relation, ( (3,3) ) must also be present. If one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.
A. ( (1,2) ) के साथ ( (2,1) ) भी है/( (2,1) ) is present with ( (1,2) )
Explanation
Simple Explanation
Symmetric में \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी चाहिए। यहाँ ( (1,2) ) और ( (2,1) ) दोनों हैं। / In symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also be present. Here both ( (1,2) ) and ( (2,1) ) are present.
\((1,2)\in R\) है लेकिन उल्टा pair ( (2,1) ) नहीं है। Symmetric के लिए reverse pair जरूरी है। / Here \((1,2)\in R\), but the reverse pair ( (2,1) ) is absent. A reverse pair is necessary for symmetry.
A. ( (1,2) ) और ( (2,3) ) से ( (1,3) ) है/( (1,2) ) and ( (2,3) ) give ( (1,3) )
Explanation
Simple Explanation
Transitive में ( (a,b) ) और ( (b,c) ) हों तो ( (a,c) ) चाहिए। यहाँ ( (1,3) ) मौजूद है। / In transitive relation, if ( (a,b) ) and ( (b,c) ) are present, then ( (a,c) ) is needed. Here ( (1,3) ) is present.
( (1,2) ) और ( (2,3) ) से ( (1,3) ) जरूरी है। उसके बिना relation transitive नहीं है। / From ( (1,2) ) and ( (2,3) ), ( (1,3) ) is required. Without it, the relation is not transitive.
दिए गए (R) में तीन ordered pairs लिखे हैं। गिनती करते समय repeated elements नहीं बल्कि pairs गिनें। / There are three ordered pairs listed in (R). While counting, count pairs and not repeated elements.
\((x,y)\in R\) होने के लिए \(x\), \(y\) को पूर्णतः विभाजित करना चाहिए। यहाँ \(2\mid 6\), क्योंकि \(6\div 2=3\) और शेषफल 0 है। इसलिए \((2,6)\) सही है। \((2,5)\) और \((3,8)\) में भाग देने पर शेषफल बचता है, जबकि \((5,2)\) में क्रम उल्टा है। परीक्षा-युक्ति: \(x\mid y\) का अर्थ है कि \(y/x\) एक पूर्णांक हो। / For \((x,y)\) to belong to \(R\), \(x\) must divide \(y\) exactly. Here, \(2\mid 6\) because \(6\div 2=3\) with remainder 0, so \((2,6)\) is correct. In \((2,5)\) and \((3,8)\), a remainder is left, while \((5,2)\) reverses the required order. Exam tip: \(x\mid y\) means that \(y/x\) is an integer.
(a=b) होने पर pairs ( (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) ) हैं। पहचान relation में pairs की संख्या (n(A)) होती है। / When (a=b), the pairs are ( (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) ). In identity relation, the number of pairs is (n(A)).
(1>3) असत्य है, इसलिए \((1,3)\notin R\)। inequality relation में ordered pair का क्रम न बदलें। / The statement (1>3) is false, so \((1,3)\notin R\). Do not change the order in an inequality relation.
( (2,3) ) का reverse pair ( (3,2) ) होता है। Symmetry questions में उल्टा ordered pair देखें। / The reverse pair of ( (2,3) ) is ( (3,2) ). In symmetry questions, check the reversed ordered pair.
Reflexive relation में हर तत्व का diagonal pair होना चाहिए। \(A=\{1,2\}\) के लिए ( (1,1) ) और ( (2,2) ) अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the diagonal pair of every element. For \(A=\{1,2\}\), ( (1,1) ) and ( (2,2) ) are compulsory.
\((2,3)\in R\) है लेकिन \((3,2)\notin R\) है। एक reverse pair missing होने से symmetry टूट जाती है। / Here \((2,3)\in R\), but \((3,2)\notin R\). One missing reverse pair breaks symmetry.
( (a,b)=(1,2) ) और ( (b,c)=(2,2) ) से ( (a,c)=(1,2) ) चाहिए। यह pair पहले से मौजूद है। / From ( (a,b)=(1,2) ) and ( (b,c)=(2,2) ), we need ( (a,c)=(1,2) ). This pair is already present.
(3=2+1), इसलिए ( (2,3) ) condition पूरी करता है। पहले और दूसरे घटक को सही क्रम में रखें। / Since (3=2+1), ( (2,3) ) satisfies the condition. Keep the first and second components in the correct order.
दिए गए set से pairs ( (2,3) ) और ( (3,2) ) बनते हैं। ordered pairs में ( (2,3) ) और ( (3,2) ) अलग होते हैं। / The pairs from the given set are ( (2,3) ) and ( (3,2) ). In ordered pairs, ( (2,3) ) and ( (3,2) ) are different.
\(4\le2\) असत्य है, इसलिए \((4,2)\notin R\)। inequality में direction ध्यान से देखें। / The statement \(4\le2\) is false, so \((4,2)\notin R\). Watch the direction of the inequality carefully.
(2=1+1), इसलिए ( (2,1) ) relation में है। condition में (x) और (y) की जगह सही घटक रखें। / Since (2=1+1), ( (2,1) ) belongs to the relation. Substitute the correct components for (x) and (y).
पहचान संबंध में केवल ( (a,a) ) प्रकार के pairs होते हैं। हर element को अपने साथ pair करें। / The identity relation contains only pairs of the form ( (a,a) ). Pair each element with itself.
खाली relation में symmetry तोड़ने वाला कोई pair नहीं है। इसलिए empty relation symmetric माना जाता है। / In an empty relation, there is no pair that can break symmetry. Hence the empty relation is considered symmetric.
Reflexive के लिए ( (1,1) ) और ( (2,2) ) चाहिए। Empty relation में ये pairs नहीं हैं। / For reflexive relation, ( (1,1) ) and ( (2,2) ) are needed. These pairs are absent in the empty relation.
\(A\times A\) में ( (1,1) ) और ( (2,2) ) दोनों शामिल हैं। Universal relation हमेशा reflexive होता है। / The set \(A\times A\) includes both ( (1,1) ) and ( (2,2) ). A universal relation is always reflexive.
\(A\times A\) में हर pair के साथ उसका reverse pair भी होता है। इसलिए universal relation symmetric है। / In \(A\times A\), every pair has its reverse pair too. Hence the universal relation is symmetric.
\(A\times A\) में सभी possible pairs होते हैं, इसलिए transitive condition पूरी होती है। Universal relation transitive भी होता है। / The set \(A\times A\) contains all possible pairs, so the transitive condition is satisfied. The universal relation is also transitive.
A. हर pair अपना reverse खुद है/each pair is its own reverse
Explanation
Simple Explanation
Diagonal pair ( (a,a) ) का reverse भी ( (a,a) ) ही होता है। इसलिए केवल diagonal pairs वाला relation symmetric है। / The reverse of a diagonal pair ( (a,a) ) is the same pair ( (a,a) ). Hence a relation with only diagonal pairs is symmetric.
(3) संख्या (4) से एक कम है, इसलिए ( (3,4) ) सही है। शब्दों वाली condition को equation में बदलें। / The number (3) is one less than (4), so ( (3,4) ) is correct. Convert word conditions into equations.
(3) और (5) दोनों विषम हैं, इसलिए same parity है। parity relation में सम-सम या विषम-विषम pair सही होता है। / Both (3) and (5) are odd, so they have the same parity. In a parity relation, even-even or odd-odd pairs are correct.
(1+3=4) सम है, इसलिए ( (1,3) ) odd-sum relation में नहीं है। sum की parity जरूर जांचें। / Since (1+3=4) is even, ( (1,3) ) is not in the odd-sum relation. Always check the parity of the sum.
सभी diagonal pairs ( (1,1),(2,2),(3,3) ) मौजूद हैं। Extra pair ( (1,3) ) reflexive होने से नहीं रोकता। / All diagonal pairs ( (1,1),(2,2),(3,3) ) are present. The extra pair ( (1,3) ) does not stop reflexivity.
( (1,2) ) के साथ ( (2,1) ) है और ( (3,3) ) अपना reverse खुद है। इसलिए relation symmetric है। / The pair ( (2,1) ) is present with ( (1,2) ), and ( (3,3) ) is its own reverse. Hence the relation is symmetric.
Transitive rule के अनुसार ( (1,2) ) और ( (2,3) ) से ( (1,3) ) चाहिए। यह pair relation में मौजूद है। / By the transitive rule, ( (1,2) ) and ( (2,3) ) require ( (1,3) ). This pair is present in the relation.
( (2,2) ) में दोनों घटक बराबर हैं, इसलिए \(a\ne b\) पूरी नहीं होती। Not equal relation में diagonal pairs नहीं आते। / In ( (2,2) ), both components are equal, so \(a\ne b\) is not satisfied. Diagonal pairs do not appear in a not-equal relation.
