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(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल पहचानें। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). In exams first identify the Cartesian product.
शर्त (x<y) को पूरा करने वाले युग्म ((1,2),(1,3),(2,3)) हैं। परीक्षा में सभी संभावित युग्मों को क्रम से जांचें। / The pairs satisfying (x<y) are ((1,2),(1,3),(2,3)). In exams, check all possible ordered pairs systematically.
\(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot1=2\)। संबंधों में गिनती के लिए यह सूत्र बहुत उपयोगी है। / Here \(|A\times B|=|A|\cdot |B|=2\cdot1=2\). This formula is very useful for counting relations.
प्रतिलोम संबंध में हर युग्म के अवयवों का क्रम बदल जाता है। इसलिए ((2,1)) से ((1,2)) और इसी तरह अन्य युग्म मिलते हैं। / In an inverse relation, the order of components in every pair is reversed. So ((2,1)) becomes ((1,2)), and similarly for the other pairs.
(A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है और \(|A\times A|=4\), इसलिए कुल संबंध \(2^4=16\) हैं। परीक्षा में उपसमुच्चयों की संख्या याद रखें। / A relation on (A) is a subset of \(A\times A\), and \(|A\times A|=4\), so total relations are \(2^4=16\). Remember subset counting for exams.
प्रांत क्रमित युग्मों के पहले अवयवों का समुच्चय होता है। यहां पहले अवयव (1,2,3) हैं। / The domain is the set of first components of ordered pairs. Here the first components are (1,2,3).
परिसर क्रमित युग्मों के दूसरे अवयवों का समुच्चय होता है और दोहराव केवल एक बार लिखा जाता है। इसलिए परिसर ({5,6}) है। / The range is the set of second components, and repeated values are written once. So the range is ({5,6}).
क्रमित युग्म ((3,7)) में (3) पूर्व प्रतिबिंब और (7) प्रतिबिंब माना जाता है। संबंध पढ़ते समय पहले अवयव से प्रांत बनता है। / In the ordered pair ((3,7)), (3) is the preimage and (7) is the image. While reading relations, the first component forms the domain.
(A) से (B) में संबंध का सहप्रांत पूरा समुच्चय (B) होता है। परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। / For a relation from (A) to (B), the codomain is the whole set (B). The range may be a subset of the codomain.
खाली संबंध में कोई क्रमित युग्म नहीं होता, इसलिए \(R=\varnothing\) है। यह भी \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / An empty relation has no ordered pair, so \(R=\varnothing\). It is also a subset of \(A\times B\).
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। इसलिए उत्तर \(A\times A\) है। / A universal relation contains all ordered pairs of \(A\times A\). Therefore the answer is \(A\times A\).
तत्समक संबंध में हर \(a\in A\) के लिए केवल ((a,a)) होता है। इसलिए सभी समान अवयवों वाले युग्म लिए जाते हैं। / In an identity relation, for every \(a\in A\), the pair ((a,a)) is included. So pairs with equal components are selected.
प्रतिलोम संबंध में हर क्रमित युग्म के दोनों अवयव बदल दिए जाते हैं। इसलिए ((1,2)) से ((2,1)) बनता है। / In the inverse relation, the two components of each ordered pair are interchanged. Thus ((1,2)) becomes ((2,1)).
((1,4)) में (1<4) सत्य है और दोनों अवयव सही समुच्चयों से हैं। संबंध में शर्त और समुच्चय दोनों जांचें। / In ((1,4)), (1<4) is true and both components are from the correct sets. Check both the condition and the sets in a relation.
तत्समक संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। ((1,2)) में दोनों अवयव समान नहीं हैं। / An identity relation contains only pairs like ((a,a)). In ((1,2)), the two components are not equal.
\(|A\times B|=2\cdot3=6\), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) है। हर उपसमुच्चय एक संबंध बनाता है। / Here \(|A\times B|=2\cdot3=6\), so the number of relations is \(2^6\). Every subset forms a relation.
पहले अवयवों से प्रांत ({1,2}) और दूसरे अवयवों से परिसर ({5}) मिलता है। इसलिए पहला विकल्प सही है। / The first components give domain ({1,2}), and the second components give range ({5}). Therefore the first option is correct.
((4,2)) के लिए (4+2=6), जो (5) नहीं है। ऐसे प्रश्नों में हर विकल्प को शर्त में रखें। / For ((4,2)), (4+2=6), which is not (5). In such questions substitute each option in the condition.
परिसर केवल उन दूसरे अवयवों से बनता है जो संबंध में सच में आए हैं। (5) सहप्रांत में है, पर परिसर में नहीं है। / The range is formed only from second components actually appearing in the relation. (5) is in the codomain, but not in the range.
प्रांत पहले अवयवों (1,2,3) से बनता है। तत्समक संबंध का प्रांत पूरा (A) होता है। / The domain is formed by the first components (1,2,3). The identity relation has the whole set (A) as its domain.
सभी संभावित युग्म ((1,2),(1,3),(2,2),(2,3)) शर्त \(a\le b\) पूरी करते हैं। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / All possible pairs ((1,2),(1,3),(2,2),(2,3)) satisfy \(a\le b\). Therefore there are (4) pairs.
प्रतिलोम संबंध \(R^{-1}\) में \(R\) के प्रत्येक क्रमित युग्म के अवयवों का क्रम उलट दिया जाता है। इसलिए \((1,2)\in R\) से \((2,1)\in R^{-1}\) प्राप्त होता है। इसी प्रकार \(R^{-1}=\{(2,1),(1,2),(3,3)\}\) है। विकल्प B और C दिए गए संबंध से नहीं मिलते, जबकि विकल्प D, \((1,3)\) का प्रतिलोम होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: प्रतिलोम संबंध बनाने के लिए हर युग्म में पहला और दूसरा अवयव आपस में बदल दें। / In the inverse relation \(R^{-1}\), the two components of every ordered pair in \(R\) are interchanged. Thus, because \((1,2)\in R\), we have \((2,1)\in R^{-1}\). In fact, \(R^{-1}=\{(2,1),(1,2),(3,3)\}\). Options B and C do not arise from the given pairs, while option D would be the inverse of \((1,3)\), which is not in \(R\). Exam tip: To find an inverse relation, swap the first and second elements of every ordered pair.
जब \(R\subseteq A\times B\) हो, तो पहले समुच्चय (A) से दूसरे समुच्चय (B) में संबंध होता है। क्रम को कभी न बदलें। / When \(R\subseteq A\times B\), it is a relation from the first set (A) to the second set (B). Never change the order.
दूसरा अवयव (4) युग्म ((1,4)) और ((2,4)) में आता है। इसलिए (4), (1) और (2) का प्रतिबिंब है। / The second component (4) appears in ((1,4)) and ((2,4)). So (4) is the image of (1) and (2).
((2,3)) गलत है क्योंकि (2) संख्या (3) को विभाजित नहीं करती। विभाज्यता संबंध में शेषफल शून्य होना चाहिए। / The pair ((2,3)) is wrong because (2) does not divide (3). In divisibility relations, the remainder must be zero.
\(A\times A\) के सभी युग्मों को लेने वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध होता है। यह सबसे बड़ा संभव संबंध है। / A relation containing all pairs of \(A\times A\) is the universal relation. It is the largest possible relation.
खाली संबंध में कोई क्रमित युग्म नहीं है, इसलिए कोई पहला अवयव भी नहीं है। अतः प्रांत \(\varnothing\) है। / The empty relation has no ordered pair, so it has no first component. Hence the domain is \(\varnothing\).
पहले अवयव (1,2,3) हैं और दूसरे अवयव (2,3,1) हैं, जो समुच्चय के रूप में ({1,2,3}) है। क्रम लिखने में ध्यान रखें। / The first components are (1,2,3), and the second components are (2,3,1), which as a set is ({1,2,3}). Be careful with set order.
दूसरे अवयव (1,2,2) हैं और दोहराव हटाने पर ({1,2}) मिलता है। परिसर में केवल दूसरे अवयव लिए जाते हैं। / The second components are (1,2,2), and after removing repetition we get ({1,2}). The range uses only second components.
तत्समक संबंध में हर अवयव के लिए एक युग्म ((x,x)) होता है। इसलिए (3) अवयवों के लिए (3) युग्म होंगे। / In an identity relation, each element gives one pair ((x,x)). Therefore (3) elements give (3) pairs.
किसी संबंध का प्रतिलोम प्राप्त करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म के अवयवों का स्थान बदला जाता है। यहाँ 8(1,2)9 का प्रतिलोम 8(2,1)9 और 8(2,1)9 का प्रतिलोम 8(1,2)9 है, इसलिए वही संबंध फिर से प्राप्त होता है: 8R^{-1}=R9। विकल्प D गलत है, क्योंकि उसमें विकर्ण युग्म 8(1,1)9 और 8(2,2)9 हैं, जो दिए गए संबंध में नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी संबंध में हर युग्म का उलटा युग्म भी मौजूद हो, तो वह सममित संबंध होता है और 8R^{-1}=R9। / To find the inverse of a relation, interchange the entries in every ordered pair. The inverse of 8(1,2)9 is 8(2,1)9, and the inverse of 8(2,1)9 is 8(1,2)9. Thus, the same relation is obtained: 8R^{-1}=R9. Option D is incorrect because it contains the diagonal pairs 8(1,1)9 and 8(2,2)9, which are not in the given relation. Exam tip: If every ordered pair in a relation has its reverse pair also present, the relation is symmetric and 8R^{-1}=R9.
((2,9)) गलत है क्योंकि \(2^2=4\), (9) नहीं। नियम आधारित संबंधों में दिए गए सूत्र को सीधे लगाएं। / The pair ((2,9)) is wrong because \(2^2=4\), not (9). In rule-based relations, apply the given formula directly.
प्रतिलोम में दूसरे अवयव पहले बन जाते हैं। इसलिए \(R^{-1}\) का प्रांत (R) के परिसर ({a,b,c}) के बराबर है। / In the inverse relation, second components become first components. Hence the domain of \(R^{-1}\) is the range of (R), which is ({a,b,c}).
खाली संबंध में (0) युग्म होते हैं और सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) में \(2^2=4\) युग्म होते हैं। दोनों चरम संबंधों को याद रखें। / The empty relation has (0) pairs, and the universal relation \(A\times A\) has \(2^2=4\) pairs. Remember these two extreme relations.
(1) पहले अवयव के रूप में ((1,2)) और ((1,3)) में आता है। इसलिए उसके (2) प्रतिबिंब (2) और (3) हैं। / The element (1) appears as the first component in ((1,2)) and ((1,3)). So it has (2) images, (2) and (3).
सबसे छोटा उपसमुच्चय \(\varnothing\) होता है, इसलिए खाली संबंध सबसे छोटा संबंध है। यह हर \(A\times B\) का उपसमुच्चय है। / The smallest subset is \(\varnothing\), so the empty relation is the smallest relation. It is a subset of every \(A\times B\).
(x=1) पर (y=2) और (x=2) पर (y=4) मिलता है; आगे \(y\notin A\) हो जाता है। इसलिए परिसर ({2,4}) है। / For (x=1), (y=2), and for (x=2), (y=4); after that \(y\notin A\). So the range is ({2,4}).
क्योंकि \((b,2)\in R\), इसलिए उलटकर \((2,b)\in R^{-1}\) होगा। प्रतिलोम में क्रम बदलना मुख्य बात है। / Since \((b,2)\in R\), reversing it gives \((2,b)\in R^{-1}\). Changing the order is the key point in inverse relations.
प्रांत ({1,2}) और परिसर ({2,3}) है। इनमें केवल (1) प्रांत में है लेकिन परिसर में नहीं है। / The domain is ({1,2}), and the range is ({2,3}). Only (1) is in the domain but not in the range.
जिन युग्मों का योग (4) है वे ((1,3),(2,2),(3,1)) हैं। ऐसे प्रश्नों में सभी संभावित युग्म व्यवस्थित रूप से जांचें। / The pairs whose sum is (4) are ((1,3),(2,2),(3,1)). In such questions, check all possible pairs systematically.
