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\(\frac{\pi}{3}-(-\frac{5\pi}{3})=2\pi\) है, इसलिए दोनों कोण सह-अंतस्थ हैं और उनकी अंतिम भुजा समान है। एक धनात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक है, अतः घूर्णन दिशाएँ विपरीत हैं। परीक्षा टिप: सह-अंतस्थ कोणों का अंतर \(2\pi\) का गुणज होता है। / \(\frac{\pi}{3}-(-\frac{5\pi}{3})=2\pi\), so the angles are coterminal and have the same terminal arm. One angle is positive and the other negative, so their rotations are in opposite directions. Exam tip: coterminal angles differ by a multiple of \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण में \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज जोड़ते या घटाते हैं। \(-\frac{41\pi}{9}+3(2\pi)=-\frac{41\pi}{9}+\frac{54\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}\)। क्योंकि \(0<\frac{13\pi}{9}<2\pi=\frac{18\pi}{9}\), यह अपेक्षित अंतराल में है। \(\frac{11\pi}{9}\) निकट दिखता है, लेकिन उसका दिए गए कोण से अंतर \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: हर बार सभी पदों को समान हर में लिखकर जाँचें कि उत्तर \(0\) और \(2\pi\) के बीच है। / To find a coterminal angle, add or subtract an integer multiple of \(2\pi\). \(-\frac{41\pi}{9}+3(2\pi)=-\frac{41\pi}{9}+\frac{54\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}\). Since \(0<\frac{13\pi}{9}<2\pi=\frac{18\pi}{9}\), it lies in the required interval. Although \(\frac{11\pi}{9}\) is close, its difference from the given angle is not an integer multiple of \(2\pi\). Exam tip: use a common denominator to check that the final angle lies between \(0\) and \(2\pi\).
\(35^\circ+360^\circ=395^\circ\) दिए अंतराल में आता है। सहप्रारंभी कोण के लिए \(360^\circ\) जोड़ें या घटाएं। / \(35^\circ+360^\circ=395^\circ\) lies in the given interval. Add or subtract \(360^\circ\) for coterminal angles.
चाप लंबाई स्थिर हो तो \(\theta\) त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है। नई त्रिज्या \(\frac{5}{4}\) गुना है इसलिए नया कोण \(\frac{\pi}{2}\) होगा। / For fixed arc length \(\theta\) is inversely proportional to radius. The new radius is \(\frac{5}{4}\) times so the new angle is \(\frac{\pi}{2}\).
परिमाप (2r+s) है इसलिए \(2r+12=32\) से \(r=10\)। अब \(\theta=\frac{s}{r}=\frac{6}{5}\) है। / Perimeter is (2r+s) so \(2r+12=32\) gives \(r=10\). Now \(\theta=\frac{s}{r}=\frac{6}{5}\).
यदि कोण (x) है तो (90^\circ-x=\frac{1}{5}\(180^\circ-x\))। हल करने पर \(x=67^\circ30'\) मिलता है। / If the angle is (x) then (90^\circ-x=\frac{1}{5}\(180^\circ-x\)). Solving gives \(x=67^\circ30'\).
मिनट सुई \(228^\circ\) पर और घंटे की सुई \(229^\circ\) पर होती है। छोटा अंतर \(1^\circ\) है। / The minute hand is at \(228^\circ\) and the hour hand is at \(229^\circ\). The smaller difference is \(1^\circ\).
\(125^\circ15'30''=\frac{450930}{3600}^\circ\) है। इसे \(\frac{\pi}{180}\) से गुणा करने पर \(\frac{15031\pi}{21600}\) मिलता है। / \(125^\circ15'30''=\frac{450930}{3600}^\circ\). Multiplying by \(\frac{\pi}{180}\) gives \(\frac{15031\pi}{21600}\).
सेकंड सुई (60) सेकंड में \(2\pi\) घूमती है। (135) सेकंड में कोण \(\frac{9\pi}{2}\) है। / The second hand turns \(2\pi\) in (60) seconds. In (135) seconds the angle is \(\frac{9\pi}{2}\).
\(240^\circ\) को रेडियन में बदलने पर \(240^\circ=\frac{240\pi}{180}=\frac{4\pi}{3}\) रेडियन मिलता है। समय \(t=\frac{\text{कोणीय विस्थापन}}{\text{कोणीय चाल}}\) होगा। इसलिए \(t=\frac{4\pi/3}{\pi/15}=\frac{4\pi}{3}\times\frac{15}{\pi}=20\) सेकंड। अतः विकल्प C सही है। \(24\) सेकंड प्राप्त होना कोण को रेडियन में बदलने में त्रुटि दर्शाता है। परीक्षा टिप: कोणीय चाल रेडियन प्रति सेकंड में हो तो कोण को पहले रेडियन में बदलें। / Convert \(240^\circ\) into radians: \(240^\circ=\frac{240\pi}{180}=\frac{4\pi}{3}\) radians. Use \(t=\frac{\text{angular displacement}}{\text{angular speed}}\). Thus, \(t=\frac{4\pi/3}{\pi/15}=\frac{4\pi}{3}\times\frac{15}{\pi}=20\) seconds. Therefore, option C is correct. Getting \(24\) seconds indicates an incorrect degree-to-radian conversion. Exam tip: When angular speed is in radians per second, convert the angle to radians first.
परिधि का \(\frac{1}{3}\) भाग पूरे कोण \(2\pi\) का \(\frac{1}{3}\) भाग देगा। इसलिए केंद्रीय कोण \(\frac{2\pi}{3}\) है। / One third of the circumference gives one third of the full angle \(2\pi\). Hence the central angle is \(\frac{2\pi}{3}\).
अंतर \(4\theta-120^\circ\) को \(360^\circ\) का गुणज होना चाहिए। सबसे छोटे धनात्मक मान के लिए \(\theta=120^\circ\) है। / The difference \(4\theta-120^\circ\) must be a multiple of \(360^\circ\). For the least positive value \(\theta=120^\circ\).
द्वितीय चतुर्थांश में कोण \(180^\circ-18^\circ=162^\circ\) है। \(162^\circ=\frac{9\pi}{10}\) रेडियन होता है। / In the second quadrant the angle is \(180^\circ-18^\circ=162^\circ\). \(162^\circ=\frac{9\pi}{10}\) radians.
मान लें कोण \(x\) रेडियन है। उसका पूरक \(\frac{\pi}{2}-x\) और संपूरक \(\pi-x\) होगा। प्रश्न के अनुसार, \(\frac{\pi}{2}-x=\frac{1}{3}(\pi-x)\)। 3 से गुणा करने पर \(\frac{3\pi}{2}-3x=\pi-x\) मिलता है। अतः \(\frac{\pi}{2}=2x\), इसलिए \(x=\frac{\pi}{4}\)। अतः विकल्प B सही है। निकटतम विकल्प \(\frac{\pi}{3}\) के लिए पूरक \(\frac{\pi}{6}\) तथा संपूरक \(\frac{2\pi}{3}\) है; पूरक संपूरक का \(\frac{1}{4}\) है, \(\frac{1}{3}\) नहीं। परीक्षा टिप: रेडियन में पूरक के लिए \(\frac{\pi}{2}\) और संपूरक के लिए \(\pi\) लें। / Let the angle be \(x\) radians. Its complement is \(\frac{\pi}{2}-x\), and its supplement is \(\pi-x\). From the condition, \(\frac{\pi}{2}-x=\frac{1}{3}(\pi-x)\). Multiplying by 3 gives \(\frac{3\pi}{2}-3x=\pi-x\). Hence \(\frac{\pi}{2}=2x\), so \(x=\frac{\pi}{4}\). Thus, option B is correct. For the close distractor \(\frac{\pi}{3}\), the complement is \(\frac{\pi}{6}\) and the supplement is \(\frac{2\pi}{3}\); the complement is \(\frac{1}{4}\), not \(\frac{1}{3}\), of the supplement. Exam tip: use \(\frac{\pi}{2}\) for complement and \(\pi\) for supplement when working in radians.
\(18^\circ24'=\frac{92}{5}^\circ\) है। रेडियन में \(\frac{92}{5}\times\frac{\pi}{180}=\frac{23\pi}{225}\) होगा। / \(18^\circ24'=\frac{92}{5}^\circ\). In radians it is \(\frac{92}{5}\times\frac{\pi}{180}=\frac{23\pi}{225}\).
दिया गया कोण ऋणात्मक है। इसमें 4 पूर्ण घूर्णन के बराबर \(1440^\circ\) जोड़ने पर \(-1460^\circ+1440^\circ=-20^\circ\) मिलता है। \(-20^\circ\), \(340^\circ\) के सह-अंत कोण है और \(270^\circ\) तथा \(360^\circ\) के बीच स्थित है; इसलिए इसकी अंतिम भुजा चतुर्थ चतुर्थांश में होगी। द्वितीय चतुर्थांश का कोण \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच होता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में \(360^\circ\) के गुणज जोड़कर उसे \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाएँ। / The angle is negative. Adding \(1440^\circ\), which represents four complete rotations, gives \(-1460^\circ+1440^\circ=-20^\circ\). The angle \(-20^\circ\) is coterminal with \(340^\circ\), and \(340^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\). Hence, its terminal side lies in the fourth quadrant. An angle in the second quadrant would lie between \(90^\circ\) and \(180^\circ\). Exam tip: For a negative angle, add a suitable multiple of \(360^\circ\) to obtain a coterminal angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\).
\(\frac{7\pi}{5}\) तृतीय चतुर्थांश में है। संदर्भ कोण \(\frac{7\pi}{5}-\pi=\frac{2\pi}{5}\) है। / \(\frac{7\pi}{5}\) lies in the third quadrant. The reference angle is \(\frac{7\pi}{5}-\pi=\frac{2\pi}{5}\).
\(75^\circ=\frac{5\pi}{12}\) है और \(\frac{53\pi}{12}=4\pi+\frac{5\pi}{12}\)। \(4\pi\) में (2) पूर्ण चक्कर होते हैं। / \(75^\circ=\frac{5\pi}{12}\) and \(\frac{53\pi}{12}=4\pi+\frac{5\pi}{12}\). \(4\pi\) contains (2) complete revolutions.
समय अंतर (35) मिनट है। कोण \(\frac{35}{60}\times2\pi=\frac{7\pi}{6}\) रेडियन है। / The time difference is (35) minutes. The angle is \(\frac{35}{60}\times2\pi=\frac{7\pi}{6}\) radians.
समय अंतर \(\frac{11}{2}\) घंटे है और घंटे की सुई \(30^\circ\) प्रति घंटा घूमती है। कुल कोण \(165^\circ=\frac{11\pi}{12}\) है। / The time difference is \(\frac{11}{2}\) hours and the hour hand turns \(30^\circ\) per hour. The total angle is \(165^\circ=\frac{11\pi}{12}\).
\(225^\circ=\frac{5\pi}{4}\) रेडियन है। \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{15\pi}{5\pi/4}=12\) सेमी। / \(225^\circ=\frac{5\pi}{4}\) radians. \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{15\pi}{5\pi/4}=12\) cm.
त्रिज्यखंड का परिमाप \(2r+s\) होता है, जहाँ \(s\) चाप की लंबाई है। प्रश्नानुसार \(2r+s=3s\)। अतः \(2r=2s\), इसलिए \(s=r=8\) सेमी। अब \(s=r\theta\) से \(\theta=\frac{s}{r}=\frac{8}{8}=1\) रेडियन मिलता है। \(2\) रेडियन होने पर चाप लंबाई \(16\) सेमी होती, जिससे परिमाप चाप लंबाई का तीन गुना नहीं होता। परीक्षा टिप: सूत्र \(s=r\theta\) में कोण हमेशा रेडियन में लें। / The perimeter of a sector is \(2r+s\), where \(s\) is the arc length. From the condition, \(2r+s=3s\). Thus, \(2r=2s\), so \(s=r=8\) cm. Using \(s=r\theta\), we get \(\theta=\frac{s}{r}=\frac{8}{8}=1\) radian. At \(2\) radians, the arc length would be \(16\) cm, so the perimeter would not be three times the arc length. Exam tip: Use \(s=r\theta\) only when \(\theta\) is measured in radians.
सहप्रारंभी कोणों में अंतर 360° का पूर्ण गुणज होता है। \(-1025^\circ+3\times360^\circ=-1025^\circ+1080^\circ=55^\circ\)। अतः सबसे छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण 55° है। 45° या 65° लेने पर मूल कोण से अंतर 360° का पूर्ण गुणज नहीं होगा। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में 360° जोड़ते रहें, जब तक परिणाम 0° और 360° के बीच न आ जाए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360°. \(-1025^\circ+3\times360^\circ=-1025^\circ+1080^\circ=55^\circ\). Therefore, the least positive coterminal angle is 55°. Choosing 45° or 65° would not give a difference that is a whole multiple of 360°. Exam tip: For a negative angle, keep adding 360° until the result lies between 0° and 360°.
सह-अंत कोण पाने के लिए \(2\pi\) के गुणज घटाएँ: \(\frac{31\pi}{6}-4\pi=\frac{31\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\)। क्योंकि \(\pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{3\pi}{2}\), इसकी अंतिम भुजा तृतीय चतुर्थांश में होगी। \(\frac{7\pi}{6}\), \(\pi\) से \(\frac{\pi}{6}\) अधिक है, इसलिए यह द्वितीय नहीं, तृतीय चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: कोण को पहले \(0\) से \(2\pi\) के बीच के सह-अंत कोण में बदलें। / Subtract a multiple of \(2\pi\) to obtain a coterminal angle: \(\frac{31\pi}{6}-4\pi=\frac{31\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\). Since \(\pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{3\pi}{2}\), the terminal side lies in the third quadrant. It is \(\frac{\pi}{6}\) past \(\pi\), so the second quadrant is not correct. Exam tip: First reduce a radian angle to a coterminal angle between \(0\) and \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज होता है। \(\frac{5\pi}{8}\) से \(4\pi=\frac{32\pi}{8}\) घटाने पर \(\frac{5\pi}{8}-\frac{32\pi}{8}=-\frac{27\pi}{8}\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(-4\pi=-\frac{32\pi}{8}< -\frac{27\pi}{8}< -\frac{16\pi}{8}=-2\pi\), इसलिए विकल्प D दिए गए अंतराल में है। विकल्प A का अंतर \(\frac{5\pi}{8}\) से \(-3\pi\) है, जो \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(\theta+2n\pi\) लिखें, फिर प्राप्त कोण को दिए गए अंतराल से मिलाएँ। / Coterminal angles differ by an integer multiple of \(2\pi\). Subtracting \(4\pi=\frac{32\pi}{8}\) from \(\frac{5\pi}{8}\) gives \(\frac{5\pi}{8}-\frac{32\pi}{8}=-\frac{27\pi}{8}\). Moreover, \(-4\pi=-\frac{32\pi}{8}< -\frac{27\pi}{8}< -\frac{16\pi}{8}=-2\pi\), so option D lies in the required interval. Option A differs from \(\frac{5\pi}{8}\) by \(-3\pi\), which is not an integer multiple of \(2\pi\). Exam tip: write coterminal angles as \(\theta+2n\pi\) and then test the required interval.
बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में है और संदर्भ कोण \(\frac{\pi}{6}\) है। इसलिए मुख्य कोण \(\frac{5\pi}{6}\) है। / The point is in the second quadrant and the reference angle is \(\frac{\pi}{6}\). Hence the principal angle is \(\frac{5\pi}{6}\).
चतुर्थ चतुर्थांश में (y=-x) की किरण का संदर्भ कोण \(\frac{\pi}{4}\) है। इसलिए मुख्य कोण \(\frac{7\pi}{4}\) है। / The fourth-quadrant ray of (y=-x) has reference angle \(\frac{\pi}{4}\). Hence the principal angle is \(\frac{7\pi}{4}\).
(11) चक्कर \(3960^\circ\) और \(\frac{2\pi}{3}=120^\circ\) है। कुल कोण \(4080^\circ\) होगा। / (11) revolutions are \(3960^\circ\) and \(\frac{2\pi}{3}=120^\circ\). The total angle is \(4080^\circ\).
ऋणात्मक (x)-अक्ष पर कोण \(\pi\) और \(3\pi\) होंगे। इसलिए \(m=18,54\) और योग (72) है। / On the negative (x)-axis the angles are \(\pi\) and \(3\pi\). Hence \(m=18,54\) and the sum is (72).
समकोण \(\frac{\pi}{2}\) है इसलिए संदर्भ कोण \(\frac{\pi}{8}\) है। द्वितीय चतुर्थांश में कोण \(\frac{7\pi}{8}\) होगा। / A right angle is \(\frac{\pi}{2}\) so the reference angle is \(\frac{\pi}{8}\). In the second quadrant the angle is \(\frac{7\pi}{8}\).
क्षेत्रफल का अनुपात \(\frac{\theta}{2\pi}\) होता है। \(\frac{\theta}{2\pi}=\frac{3}{4}\) से \(\theta=\frac{3\pi}{2}\) है। / The area ratio is \(\frac{\theta}{2\pi}\). From \(\frac{\theta}{2\pi}=\frac{3}{4}\) we get \(\theta=\frac{3\pi}{2}\).
\(-75^\circ15'=-\frac{301}{4}^\circ\) है। रेडियन में \(-\frac{301}{4}\times\frac{\pi}{180}=-\frac{301\pi}{720}\) होगा। / \(-75^\circ15'=-\frac{301}{4}^\circ\). In radians it is \(-\frac{301}{4}\times\frac{\pi}{180}=-\frac{301\pi}{720}\).
अंतर \(5x+60^\circ\) है और यह \(360^\circ\) का गुणज होना चाहिए। सबसे छोटे धनात्मक मान के लिए \(x=60^\circ\) है। / The difference is \(5x+60^\circ\) and it must be a multiple of \(360^\circ\). For the least positive value \(x=60^\circ\).
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2k\pi\) होता है, जहाँ \(k\) पूर्णांक है। इसलिए \(\frac{5\pi}{12}+\frac{n\pi}{6}=\frac{17\pi}{12}+2k\pi\)। दोनों पक्षों से \(\frac{5\pi}{12}\) घटाने पर \(\frac{n\pi}{6}=\pi+2k\pi\), अतः \(n=6+12k\)। \(k=0\) पर सबसे छोटा धनात्मक मान \(n=6\) मिलता है। \(n=5\) पर अंतर \(\frac{5\pi}{6}\) होगा, जो \(2\pi\) का पूर्ण गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: सहप्रारंभी कोण जाँचते समय अंतर को \(2\pi\) के पूर्ण गुणज के रूप में लिखें। / Coterminal angles differ by \(2k\pi\), where \(k\) is an integer. Hence, \(\frac{5\pi}{12}+\frac{n\pi}{6}=\frac{17\pi}{12}+2k\pi\). Subtracting \(\frac{5\pi}{12}\) gives \(\frac{n\pi}{6}=\pi+2k\pi\), so \(n=6+12k\). The least positive value is obtained for \(k=0\), giving \(n=6\). With \(n=5\), the difference is \(\frac{5\pi}{6}\), not an integral multiple of \(2\pi\). Exam tip: test coterminality by checking whether the angle difference is an integral multiple of \(2\pi\).
C. \(\frac{360}{11}\) मिनट बाद/after \(\frac{360}{11}\) minutes
Explanation
Simple Explanation
(m) मिनट बाद कोण अंतर \(90^\circ-5.5m\) होता है। अगले समकोण के लिए \(m=\frac{360}{11}\) मिलता है। / After (m) minutes the angle difference is \(90^\circ-5.5m\). For the next right angle \(m=\frac{360}{11}\).
चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में होना चाहिए। अतः \(\frac{s}{r}=\theta\)। क्योंकि \(150^\circ=150\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\), इसलिए अपेक्षित अनुपात \(\frac{5\pi}{6}\) है। \(\frac{2\pi}{3}\) वास्तव में \(120^\circ\) के बराबर है। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई के प्रश्न में कोण को पहले रेडियन में बदलें। / The arc-length formula is \(s=r\theta\), where \(\theta\) must be measured in radians. Hence, \(\frac{s}{r}=\theta\). Since \(150^\circ=150\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\), the required ratio is \(\frac{5\pi}{6}\). Note that \(\frac{2\pi}{3}\) corresponds to \(120^\circ\), not \(150^\circ\). Exam tip: In arc-length questions, convert the angle to radians first.
(5) रेडियन \(=5\times\frac{180^\circ}{\pi}\) है। \(\pi=\frac{22}{7}\) रखने पर लगभग \(286^\circ21'49''\) मिलता है। / (5) radians \(=5\times\frac{180^\circ}{\pi}\). Using \(\pi=\frac{22}{7}\) gives approximately \(286^\circ21'49''\).
D. नहीं क्योंकि \(\frac{1980}{360}\) पूर्णांक नहीं है/No because \(\frac{1980}{360}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्णांक गुणज होता है। \(\frac{1980}{360}=\frac{11}{2}\) पूर्णांक नहीं है। / The difference of coterminal angles is an integer multiple of \(360^\circ\). \(\frac{1980}{360}=\frac{11}{2}\) is not an integer.
परिमाप \(24+12\theta\) और क्षेत्रफल \(72\theta\) है। \(24+12\theta=72\theta\) से \(\theta=\frac{2}{5}\) मिलता है। / The perimeter is \(24+12\theta\) and the area is \(72\theta\). From \(24+12\theta=72\theta\) we get \(\theta=\frac{2}{5}\).
मिनट सुई \(324^\circ\) पर और घंटे की सुई \(357^\circ\) पर होती है। छोटा अंतर \(33^\circ\) है। / The minute hand is at \(324^\circ\) and the hour hand is at \(357^\circ\). The smaller difference is \(33^\circ\).
अंतर \(\frac{5\pi}{2}-2\theta\) को \(2\pi\) का गुणज होना चाहिए। दिए अंतराल में \(\theta=\frac{\pi}{4}\) उपयुक्त है। / The difference \(\frac{5\pi}{2}-2\theta\) must be a multiple of \(2\pi\). In the given interval \(\theta=\frac{\pi}{4}\) is suitable.
चाप की लंबाई के लिए \(s=r\theta\) होता है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में होना चाहिए। यहाँ \(s=550\) तथा \(\theta=\frac{5\pi}{6}\) है। इसलिए \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{550}{5\pi/6}=\frac{550\times6}{5\pi}=\frac{660}{\pi}\) मीटर। अतः विकल्प D सही है। \(\frac{630}{\pi}\) प्राप्त करना अंशों के गलत गुणन या सरलीकरण का परिणाम हो सकता है। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई में कोण रेडियन में हो तो सीधे \(s=r\theta\) का प्रयोग करें। / For arc length, \(s=r\theta\), where \(\theta\) must be measured in radians. Here \(s=550\) and \(\theta=\frac{5\pi}{6}\). Hence, \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{550}{5\pi/6}=\frac{550\times6}{5\pi}=\frac{660}{\pi}\) m. Therefore, option D is correct. The value \(\frac{630}{\pi}\) may result from an error while multiplying or simplifying the fractions. Exam tip: Apply \(s=r\theta\) directly only when the angle is in radians.
A. कोई अशून्य कोण संभव नहीं/No non-zero angle is possible
Explanation
Simple Explanation
डिग्री माप \(x\cdot\frac{180}{\pi}\) होता है। \(x\cdot\frac{180}{\pi}=60x\) केवल (x=0) पर संभव है। / Degree measure is \(x\cdot\frac{180}{\pi}\). \(x\cdot\frac{180}{\pi}=60x\) is possible only for (x=0).
B. \(40^\circ\) और \(\frac{11\pi}{9}\)/\(40^\circ\) and \(\frac{11\pi}{9}\)
Explanation
Simple Explanation
\(220^\circ\) तृतीय चतुर्थांश में है इसलिए संदर्भ कोण \(40^\circ\) है। \(220^\circ=\frac{11\pi}{9}\) रेडियन होता है। / \(220^\circ\) is in the third quadrant so the reference angle is \(40^\circ\). \(220^\circ=\frac{11\pi}{9}\) radians.
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज होता है। मुख्य धनात्मक कोण पाने के लिए दिए गए ऋणात्मक कोण में \(2\pi\) जोड़ते हैं: \(-\frac{7\pi}{18}+2\pi=-\frac{7\pi}{18}+\frac{36\pi}{18}=\frac{29\pi}{18}\)। यह \(0\) और \(2\pi\) के बीच है, इसलिए यही मुख्य धनात्मक कोण है। \(\frac{25\pi}{18}\) और \(-\frac{7\pi}{18}\) का अंतर \(\frac{16\pi}{9}\) है, जो \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को मुख्य धनात्मक कोण में बदलने के लिए आवश्यकतानुसार \(2\pi\) जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(2\pi\). Add \(2\pi\) to the given negative angle: \(-\frac{7\pi}{18}+2\pi=-\frac{7\pi}{18}+\frac{36\pi}{18}=\frac{29\pi}{18}\). This value lies between \(0\) and \(2\pi\), so it is the principal positive angle. The difference between \(\frac{25\pi}{18}\) and \(-\frac{7\pi}{18}\) is \(\frac{16\pi}{9}\), which is not an integral multiple of \(2\pi\). Exam tip: to convert a negative angle into its principal positive form, add \(2\pi\) as needed.
समबहुभुज का आंतरिक कोण (\frac{(n-2)\pi}{n}) होता है। (\frac{(n-2)\pi}{n}=\frac{5\pi}{6}) से (n=12) मिलता है। / The interior angle of a regular polygon is (\frac{(n-2)\pi}{n}). From (\frac{(n-2)\pi}{n}=\frac{5\pi}{6}) we get (n=12).
चाप अंतर ((13-5)\theta=8\theta) है। \(8\theta=6\pi\) से \(\theta=\frac{3\pi}{4}\) मिलता है। / The arc difference is ((13-5)\theta=8\theta). From \(8\theta=6\pi\) we get \(\theta=\frac{3\pi}{4}\).
नेट कोण \(\frac{17\pi}{6}-\frac{5\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}\) है। वामावर्त को धनात्मक और दक्षिणावर्त को ऋणात्मक लें। / The net angle is \(\frac{17\pi}{6}-\frac{5\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}\). Take counterclockwise as positive and clockwise as negative.
दक्षिणावर्त कोण \(-\frac{14\pi}{3}\) है। इसमें \(6\pi\) जोड़ने पर \(\frac{4\pi}{3}\) मुख्य कोण मिलता है। / The clockwise angle is \(-\frac{14\pi}{3}\). Adding \(6\pi\) gives the principal angle \(\frac{4\pi}{3}\).
समान त्रिज्या वाले दो त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अनुपात (5:8) है। यदि छोटे त्रिज्यखंड का कोण \(75^\circ\) है तो बड़े त्रिज्यखंड का कोण रेडियन में क्या है?
समान त्रिज्या में क्षेत्रफल कोण के समानुपाती होता है। बड़ा कोण \(75^\circ\times\frac{8}{5}=120^\circ=\frac{2\pi}{3}\) है। / For equal radii sector area is proportional to angle. The larger angle is \(75^\circ\times\frac{8}{5}=120^\circ=\frac{2\pi}{3}\).
