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यदि किसी समुच्चय में n अवयव हैं तो उसके पावर समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या \\(2^n\\) होती है और उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n-1\\) होती है। प्रश्न के अनुसार \\(2^n-1=15\\) है, अतः \\(2^n=16\\)। इसलिए पावर समुच्चय में \\(16\\) अवयव होंगे।
गलत विकल्पों का संक्षेप: 15 वह संख्या है जो प्रश्न में पहले से दी गई है (यह केवल उचित उपसमुच्चयों की संख्या है, पावर सेट का नहीं)। 31 उस स्थिति के लिए सही होता यदि \\(2^n-1=31\\) अर्थात् \\(n=5\\) होता — लेकिन यहाँ दिया 15 है। 30 असंभव है क्योंकि \\(2^n\\) कभी 30 नहीं हो सकता (30 किसी भी पूर्णांक n के लिए शक्ति-2 नहीं है)।
परीक्षा टिप: पावर सेट = \\(2^n\\), उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। यह फार्मूला तुरंत याद रखें। / For a set with n elements the power set size is \(2^n\) and the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=15\), so \(2^n=16\). Therefore the power set contains 16 elements.
Why other choices are wrong: 15 is the given number of proper subsets (not the power set size). 31 would be the number of proper subsets when \(n=5\) because \(2^5-1=31\), which does not match the given 15. 30 is impossible because \(2^n\) cannot equal 30 for any integer n (30 is not a power of two).
Exam tip: remember power set = \(2^n\) and proper subsets = \(2^n-1\); use these to form a simple equation from the given data.
B. \(B\) \(A\) का उचित उपसमुच्चय है/\(B\) is a proper subset of \(A\)
Explanation
Simple Explanation
सबसे पहले सेटों के सदस्य लिखें: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) क्योंकि \(A\) में नैचुरल नंबर्स हैं जो 6 या उससे कम हैं; और \(B=\{1,2,3,6\}\) क्योंकि ये 6 के धनात्मक भाजक हैं. \(B\) के सभी अवयव \(A\) में आते हैं, पर \(A\) में अतिरिक्त अवयव (4 और 5) भी हैं, अतः \(B\subset A\) परंतु \(B\ne A\)। इसलिए \(B\) \(A\) का उचित उपसमुच्चय है। निकटतम ग़लत विकल्प \(A=B\) इसलिए गलत है क्योंकि \(A\) में 4 और 5 भी हैं; \(A\cap B=\varnothing\) भी गलत है क्योंकि साझा अवयव मौजूद हैं। परीक्षा-सूत्र: सेट संबंध पर निर्णय करने के लिए हमेशा दोनों सेटों के तत्व लिखकर तुलना करें। / Write the elements: \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) because A is the natural numbers ≤6; and \(B=\{1,2,3,6\}\) because these are the positive divisors of 6. Every element of B belongs to A, but A has extra elements (4 and 5), so \(B\subset A\) and \(B\ne A\). Thus B is a proper subset of A. The closest wrong choice \(A=B\) fails because A contains 4 and 5; \(A\cap B=\varnothing\) is false since they share elements. Exam tip: list set members explicitly to compare subset relations quickly.
(A) में अवयव समुच्चय के रूप में लिखे हैं और ({1,2}) उनमें से एक है। अंदर के (1) और (2) सीधे (A) के अवयव नहीं हैं। / The elements of (A) are written as sets, and ({1,2}) is one of them. The inner (1) and (2) are not directly elements of (A).
(40) के (10) तक के धनात्मक भाजक (1,2,4,5,8,10) हैं। सीमा की शर्त को भाजक सूची पर लगाएं। / The positive divisors of (40) up to (10) are (1,2,4,5,8,10). Apply the boundary condition to the divisor list.
(2) और (3) निश्चित हैं तथा (1,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलते हैं। निश्चित अवयवों को पहले शामिल करें। / (2) and (3) are fixed, while (1,4) are optional, so \(2^2=4\) subsets are obtained. Include fixed elements first.
दिये गये समीकरण को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-2x=x(x-2)=0\)। अतः हल \(x=0\) और \(x=2\) हैं। चूँकि परिभाषा में \(x\in\mathbb{Z}\) है, इसलिए \(A=\{0,2\}=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि सही संबंध समता है, न कि उचित उपसमुच्चय; विकल्प B और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि A में दोनों 0 और 2 हैं और खाली समुच्चय नहीं है। परीक्षा-सुझाव: समीकरणों में हमेशा शून्य को जड़ के रूप में याद रखें और परिभाषित डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) की जाँच करें। / Factor the polynomial: \(x^2-2x=x(x-2)=0\). Thus the integer solutions are \(x=0\) and \(x=2\). Since \(A\) is defined over \(\mathbb{Z}\), \(A=\{0,2\}=B\), so A equals B. The nearest distractor C is wrong because it asserts a proper subset rather than equality; B omits 0 and D contradicts the found roots. Exam tip: always factor and list all roots (including 0) and check the domain of the variable.
(1) अभाज्य नहीं है और (20) तक अभाज्य संख्याएं वही हैं जो (B) में हैं। अभाज्य संख्या की परिभाषा याद रखें। / The number (1) is not prime, and the primes up to (20) are exactly those in (B). Remember the definition of a prime number.
बराबर नहीं होने वाले उपसमुच्चय ही उचित उपसमुच्चय हैं और उनकी संख्या \(2^5-1=31\) है। पूरा समुच्चय केवल एक बार हटता है। / Subsets not equal to (A) are proper subsets, and their number is \(2^5-1=31\). Only the whole set is removed once.
कोई भी वास्तविक संख्या \(x\) ऐसी नहीं हो सकती कि \(x^2+1=0\)। वास्तविक संख्याओं के लिए \(x^2\ge0\) होता है, अतः \(x^2+1\ge1>0\)। इसलिए दिए गए शर्त को संतुष्ट करने वाला कोई वास्तविक तत्व नहीं है और \(A\) शून्य समुच्चय है, यानी \(\varnothing\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\{i,-i\}\) में समीकरण के जटिल हल हैं लेकिन वे \(\mathbb{R}\) में नहीं आते; \(\{1,-1\}\) और \(\{0\}\) समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा टिप: हमेशा दिए गए संख्या क्षेत्र (यहाँ \(\mathbb{R}\)) की जाँच करें — कुछ समीकरणों के हल केवल जटिल संख्याओं में होते हैं। / No real number \(x\) satisfies \(x^2+1=0\) because for real \(x\), \(x^2\ge0\) so \(x^2+1\ge1>0\). Hence there are no elements of \(\mathbb{R}\) meeting the condition and \(A\) is the empty set \(\varnothing\). The closest distractor \(\{i,-i\}\) lists the complex roots of the polynomial but they are not in \(\mathbb{R}\); \(\{1,-1\}\) and \(\{0\}\) do not satisfy the equation. Exam tip: always check the domain (real vs complex) before accepting roots as valid solutions.
A में वे धनात्मक गुणज आते हैं जो 30 से छोटे हैं। 5 के धनात्मक गुणज: 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 से 5×5) ही हैं; 30 शामिल नहीं क्योंकि शर्त x < 30 है। अतः A = {5,10,15,20,25} और इसलिए A तथा B समान हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि उसने 30 जोड़ दिया जो शर्त का उल्लंघन है। परीक्षा का टिप: "<30" जैसा कड़ाई से लिया गया असमानता चिन्ह ध्यान से पढ़ें—30 शामिल नहीं होगा। / A consists of positive multiples of 5 that are less than 30. These are 5, 10, 15, 20, 25 (5×1 through 5×5); 30 is not included because x < 30. Therefore A = {5,10,15,20,25} = B. The closest distractor (option B) is wrong because it incorrectly includes 30. Exam tip: pay attention to strict inequalities like "<30"—they exclude the boundary value.
