Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\cap A'\) हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए यह (U) नहीं हो सकता जब \(U\neq\varnothing\)। पूरक और मूल समुच्चय असंयुक्त होते हैं। / \(A\cap A'\) is always \(\varnothing\), so it cannot be (U) when \(U\neq\varnothing\). A set and its complement are disjoint.
(B) में (8) अवयव हैं और \(A\cap B\) में (12) के (4) गुणज हैं। इसलिए \(A'\cap B\) में (8-4=4) अवयव हैं। / (B) has (8) elements, and \(A\cap B\) has (4) multiples of (12). Therefore \(A'\cap B\) has (8-4=4) elements.
(|U|=18) और (|A'|=7), इसलिए (|A|=18-7=11)। पूरक की संख्या कुल से घटाकर मिलती है। / (|U|=18) and (|A'|=7), so (|A|=18-7=11). The count of a set is obtained by subtracting its complement from the total.
\(x^2-9>0\) को \((x-3)(x+3)>0\) लिखने पर प्राप्त होता है कि \(x<-3\) या \(x>3\)। अतः \(A=(-\infty,-3)\cup(3,\infty)\) है। \(\mathbb{R}\) के सापेक्ष इसका पूरक \(-3\) से \(3\) तक के सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनमें दोनों सीमा-बिंदु भी शामिल हैं: \(A'=[-3,3]\)। विकल्प C स्वयं \(A\) है, जबकि विकल्प B में \(-3\) और \(3\) छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता \(>\) में मूल बिंदु शामिल नहीं होते; पूरक लेते समय वे शामिल हो जाते हैं। / Writing \(x^2-9>0\) as \((x-3)(x+3)>0\) gives \(x<-3\) or \(x>3\). Hence, \(A=(-\infty,-3)\cup(3,\infty)\). Its complement with respect to \(\mathbb{R}\) contains every real number from \(-3\) to \(3\), including both boundary points: \(A'=[-3,3]\). Option C is the set \(A\) itself, while option B incorrectly excludes \(-3\) and \(3\). Exam tip: for a strict inequality \(>\), the zeroes are excluded from the original set but included in its complement.
(A-B={1,2,3}), इसलिए इसका पूरक (U-{1,2,3}) है। अतः सही समुच्चय ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}) है। / (A-B={1,2,3}), so its complement is (U-{1,2,3}). Thus the correct set is ({4,5,6,7,8,9,10,11,12}).
(A') वे संख्याएँ हैं जो (7) से विभाज्य हैं। (100) तक (7) के \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) गुणज हैं। / (A') is the set of numbers divisible by (7). Up to (100), there are \(\left\lfloor \frac{100}{7}\right\rfloor=14\) multiples of (7).
सममित अंतर में वे अवयव हैं जो केवल एक समुच्चय में हों। उसका पूरक वे अवयव हैं जो दोनों में हों या दोनों में न हों, यानी (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\))। / The symmetric difference contains elements in exactly one set. Its complement contains elements in both or in neither, that is (\(A\cap B\)\cup\(A'\cap B'\)).
(A') विषम संख्याएँ हैं और (B') अभाज्य नहीं संख्याएँ हैं। इनमें ({1,9,15,21}) नहीं बल्कि (U) में ({1,9,15}) के साथ ({? }) सोचने की गलती न करें; सही समुच्चय ({1,9,15}) और (? ) नहीं, बल्कि ({1,9,15}) केवल (3) हैं। / (A') is the set of odd numbers and (B') is the set of non-prime numbers. The correct odd non-primes in (U) are ({1,9,15}), so the count is (3).
(A) में (-4) शामिल है और (3) शामिल नहीं है। इसलिए पूरक में (-4) नहीं और (3) शामिल होगा, अर्थात ((-4,3])। / (A) includes (-4) and excludes (3). So the complement excludes (-4) and includes (3), giving ((-4,3]).
समुच्चय के नियम के अनुसार, यदि \(X \cup Y = Y\), तो \(X \subseteq Y\) होता है। यहाँ \(X=A\) और \(Y=B'\) हैं, इसलिए \(A \subseteq B'\) सदैव सत्य है। विकल्प B में समावेशन की दिशा उलट दी गई है, जबकि विकल्प C और D के लिए कोई पर्याप्त जानकारी नहीं दी गई है। परीक्षा-युक्ति: \(X \cup Y=Y\) दिखे, तो सीधे \(X\subseteq Y\) निष्कर्ष निकालें। / By the set identity, if \(X \cup Y = Y\), then \(X \subseteq Y\). Here, \(X=A\) and \(Y=B'\), so \(A \subseteq B'\) must always be true. Option B reverses the direction of inclusion, while options C and D do not follow from the given condition. Exam tip: whenever \(X \cup Y=Y\) is given, conclude immediately that \(X\subseteq Y\).
