Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दिया है कि \(P\) और \(Q\) असंबद्ध हैं तथा उनका संघ सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) है। इसलिए \(Q\), \(P\) में न होने वाले सभी अवयवों का समुच्चय है, अर्थात \(Q = P^c\)। विकल्प \(P\) सही नहीं है, क्योंकि वह स्वयं मूल समुच्चय है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(P \cap Q = \varnothing\) और \(P \cup Q = U\), तो सीधे \(P^c = Q\) तथा \(Q^c = P\) लिखें। / The sets \(P\) and \(Q\) are disjoint, and their union is the universal set \(U\). Therefore, \(Q\) contains exactly those elements of \(U\) that are not in \(P\), so \(P^c = Q\). Option \(P\) is incorrect because it is the original set, not its complement. Exam tip: From \(P \cap Q = \varnothing\) and \(P \cup Q = U\), conclude directly that \(P^c = Q\) and \(Q^c = P\).
किसी समुच्चय \(A\) और उसके पूरक \(A^c\) का प्रतिच्छेद रिक्त होता है और दोनों मिलकर सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) बनाते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\)। विकल्प 33 और 27 केवल अलग-अलग समुच्चयों की संख्याएँ हैं, जबकि 6 घटाने से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय वाले प्रश्नों में \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\) का उपयोग करें। / A set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint, and together they form the universal set \(U\). Therefore, \(n(U)=n(A)+n(A^c)=27+33=60\). The values 33 and 27 are the cardinalities of the individual sets, while 6 is obtained by subtraction. Exam tip: For a set and its complement, use \(n(A\cup A^c)=n(A)+n(A^c)\).
दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष समुच्चय के पूरक का पूरक मूल समुच्चय के बराबर होता है, अर्थात् \((A^c)^c=A\)। इसलिए \((A^c)^c\cap\{3,6,9\}=A\cap\{3,6,9\}=\{3,6\}\), क्योंकि 3 और 6, \(A\) में हैं, जबकि 9 उसमें नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दो बार पूरक लेने पर समुच्चय वापस मूल रूप में आ जाता है। / With respect to the given universal set, taking the complement twice returns the original set: \((A^c)^c=A\). Hence, \((A^c)^c\cap\{3,6,9\}=A\cap\{3,6,9\}=\{3,6\}\), since 3 and 6 belong to \(A\), whereas 9 does not. Exam tip: the complement of the complement of a set is the set itself.
\(A^c\) में (8) तत्व हैं और (6,12) इसमें नहीं हैं। इसलिए दो नए तत्व जोड़ने पर कुल (10) तत्व होंगे। / \(A^c\) has (8) elements, and (6,12) are not in it. Adding these two new elements gives (10) elements.
A. किसी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद रिक्त समुच्चय होता है।/The intersection of a set and its complement is the empty set.
Explanation
Simple Explanation
यदि कोई तत्व A में है, तो वह A के पूरक में नहीं हो सकता; इसलिए \(A\cap A^c=\varnothing\)। इसके विपरीत \(A\cup A^c=U\) होता है। परीक्षा में पूरक लिखते समय सार्वत्रिक समुच्चय U अवश्य ध्यान रखें। / An element belonging to \(A\) cannot belong to \(A^c\), so \(A\cap A^c=\varnothing\). In contrast, \(A\cup A^c=U\). Exam tip: always identify the universal set before determining a complement.
अंकों में अभाज्य अंक (2,3,5,7) हैं। कुल (10) अंक हैं, इसलिए पूरक में (10-4=6) अंक होंगे। / The prime digits are (2,3,5,7). There are (10) digits in all, so the complement has (10-4=6) digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (10) से विभाज्य होना है। (1) से (18) तक केवल (10) ऐसा है, इसलिए बाकी सभी \(A^c\) में हैं। / Divisible by both means divisible by (10). From (1) to (18), only (10) satisfies this, so all others are in \(A^c\).
पूरक समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। चूँकि \(C=A^c\), इसलिए द्वि-पूरक गुण के अनुसार \(C^c=(A^c)^c=A\)। अतः \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\)। विकल्प \(B\) में \(A\) के पूरक के अवयव लिए गए हैं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \((A^c)^c=A\) को याद रखें। / Complements are taken with respect to the universal set \(U\). Since \(C=A^c\), the double-complement property gives \(C^c=(A^c)^c=A\). Therefore, \(C^c\cap\{1,2,3,4\}=A\cap\{1,2,3,4\}=\{2,4\}\). Option B lists elements from the complement of \(A\), so it is incorrect. Exam tip: Remember the identity \((A^c)^c=A\).
A. \(A\cap A^c=\varnothing\) और \(A\cup A^c=U\)/\(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\)
Explanation
Simple Explanation
विभाजन के लिए भाग असंबद्ध होने चाहिए और उनका संघ पूरा (U) होना चाहिए। (A) और \(A^c\) यही दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / For a partition, the parts must be disjoint and their union must be the whole (U). (A) and \(A^c\) satisfy both conditions.
A. ऐसा कोई (A) संभव नहीं है/no such (A) is possible
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, पर \(A\cap A^c=\varnothing\) है। \(U\ne\varnothing\) में यह स्थिति संभव नहीं होती। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). For \(U\ne\varnothing\), this situation is impossible.
