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A. \(A^c\) में नए तत्व जुड़ सकते हैं/new elements may be added to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) पर निर्भर करता है। यदि (U) में नए तत्व आए और वे (A) में न हों, तो वे \(A^c\) में जुड़ेंगे। / Complement depends on (U). If new elements enter (U) and are not in (A), they are added to \(A^c\).
यदि \(U_1={1,2,3,4,5}\), \(U_2={1,2,3,4,5,6,7}\) और \(A=\{2,5\}\) है, तो \(U_2\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U_1\) के सापेक्ष \(A^c\) से कौन से अतिरिक्त तत्व होंगे?
\(U_1\) में पूरक ({1,3,4}) और \(U_2\) में पूरक ({1,3,4,6,7}) है। अतिरिक्त तत्व ({6,7}) हैं। / Relative to \(U_1\), the complement is ({1,3,4}), and relative to \(U_2\), it is ({1,3,4,6,7}). The extra elements are ({6,7}).
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिया जाता है। पहले \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\)। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6,7\}\)। अब इसका पूरक लेने पर \((A^c\cap B)^c=U-\{5,6,7\}=\{1,2,3,4,8,9,10,11,12\}\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले अंदर का प्रतिच्छेद ज्ञात करके अंत में पूरक लेना सबसे सुरक्षित तरीका है। / The complement is taken with respect to the universal set \(U\). First, \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10,11,12\}\). Hence, \(A^c\cap B=\{5,6,7\}\). Taking its complement gives \((A^c\cap B)^c=U-\{5,6,7\}=\{1,2,3,4,8,9,10,11,12\}\), so option A is correct. In an exam, first evaluate the expression inside the outer complement and then take its complement.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। अतः \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), और इसका \(U\) में पूरक \(\{6,8,10\}\) है। इसे डी मॉर्गन के नियम से भी \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\) लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय को आधार मानें। / Relative to the universal set \(U\), \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Therefore, \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), whose complement in \(U\) is \(\{6,8,10\}\). Alternatively, by De Morgan’s law, \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\), which gives the same result. Exam tip: Always take a complement with respect to the specified universal set.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। (4) या (6) से विभाज्य संख्याएं (6+4-2=8) हैं, इसलिए पूरक में (24-8=16) तत्व हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Numbers divisible by (4) or (6) are (6+4-2=8), so the complement has (24-8=16) elements.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, A या B में आने वाले तत्वों का पूरक उन तत्वों का समुच्चय है जो A और B दोनों में नहीं हैं; अतः \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\)। विकल्प B में संघ के स्थान पर प्रतिच्छेद होना चाहिए। परीक्षा टिप: पूरक लेते समय \(\cup\) और \(\cap\) परस्पर बदल जाते हैं। / By De Morgan’s law, the complement of elements that are in A or B consists of elements that are in neither set; hence \((A\cup B)^c=A^c\cap B^c\). Option B wrongly keeps the union sign. Exam tip: when taking complements, interchange \(\cup\) and \(\cap\).
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) है। \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), इसलिए बचे तत्व ({3,5,9,11}) हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={1,2,4,6,7,8,10}\), the remaining elements are ({3,5,9,11}).
पूरक A' में सार्वत्रिक समुच्चय U के वे सभी तत्व होते हैं जो A में नहीं हैं। इसलिए A और A' को मिलाने पर U मिलता है: \(A \cup A'=U\)। जबकि \(A \cap A'=\varnothing\), A नहीं। परीक्षा में पूरक के साथ union को U और intersection को \(\varnothing\) याद रखें। / The complement A' contains exactly those elements of U that are not in A. Hence combining A and A' gives the universal set: \(A \cup A'=U\). Their intersection is \(\varnothing\), not A. Exam tip: for complements, union gives U and intersection gives \(\varnothing\).
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को बिना किसी समान अवयव के विभाजित करते हैं। इसलिए \(n(U)=n(A)+n(A^c)\)। मान लें \(n(A^c)=x\), तब \(n(A)=2x\)। अतः \(2x+x=84\), यानी \(3x=84\) और \(x=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय के प्रश्नों में पहले \(n(U)=n(A)+n(A^c)\) लिखें। / The set \(A\) and its complement \(A^c\) are disjoint and together form the universal set \(U\). Hence, \(n(U)=n(A)+n(A^c)\). Let \(n(A^c)=x\); then \(n(A)=2x\). Therefore, \(2x+x=84\), so \(3x=84\) and \(x=28\). Thus, the correct answer is 28. Exam tip: For complement questions, start with \(n(U)=n(A)+n(A^c)\).
मान लें \(n(A)=x\)। समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(x+3x=72\), यानी \(4x=72\) और \(x=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय वाले प्रश्नों में हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) का प्रयोग करें। / Let \(n(A)=x\). A set and its complement partition the universal set, so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(x+3x=72\), giving \(4x=72\) and \(x=18\). Hence, the correct answer is 18. Exam tip: For finite-set complement questions, first apply \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
