Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि \(U\) का प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होता है या \(A\) में नहीं होता, इसलिए वह \(A^c\) में होता है/Because every element of \(U\) is either in \(A\) or not in \(A\), so it belongs to \(A^c\)
Explanation
Simple Explanation
विश्व समुच्चय \(U\) के किसी भी तत्व \(x\) के लिए दो ही संभावनाएँ हैं: या तो \(x\in A\), या \(x\notin A\)। दूसरी स्थिति में परिभाषा के अनुसार \(x\in A^c\) होता है। इसलिए \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(A^c\) में है, अतः \(A\cup A^c=U\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(A^c\) केवल तब रिक्त होता है जब \(A=U\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा विश्व समुच्चय होता है। / For any element \(x\) of the universal set \(U\), exactly one of the following applies: \(x\in A\) or \(x\notin A\). In the second case, the definition gives \(x\in A^c\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\) or \(A^c\), so \(A\cup A^c=U\). Option C is false because \(A^c\) is empty only when \(A=U\). Exam tip: the union of any set and its complement is always the universal set.
समुच्चय \(A\) का पूरक \(A'=U\setminus A\) होता है, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{1,4,6,7,8,9\}\)। विकल्प A में 9 छूट गया है, इसलिए वह पूरक नहीं है। विकल्प B सही समुच्चय है, जबकि विकल्प C और D पूरक को क्रमशः संक्रिया और समुच्चय-निर्माण रूप में दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष अवयव चुनें। / The complement of \(A\) is \(A'=U\setminus A\), containing all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Hence, \(A'=\{1,4,6,7,8,9\}\). Option A omits 9, so it cannot be the complement. Option B gives the correct set, while C and D express the same complement using set difference and set-builder notation, respectively. Exam tip: Always find a complement relative to the given universal set, not relative to an assumed larger set.
1 से 80 तक 8 के गुणजों की संख्या \(80\div 8=10\) है। चूँकि \(A^c\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं, इसलिए \(|A^c|=|U|-|A|=80-10=70\)। विकल्प B केवल 8 के गुणजों की संख्या बताता है, पूरक समुच्चय के तत्वों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक के लिए हमेशा \(|A^c|=|U|-|A|\) का प्रयोग करें। / The number of multiples of 8 from 1 to 80 is \(80\div 8=10\). Since \(A^c\) contains the elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\), \(|A^c|=|U|-|A|=80-10=70\). Option B gives the number of multiples of 8, not the number of elements in the complement. Exam tip: use \(|A^c|=|U|-|A|\) when the complement is taken with respect to the universal set.
\(B=A^c\) होने पर \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के सभी अवयवों के अलावा शेष अवयवों का समुच्चय है। यहाँ \(B=\{1,4,6,8,9,10,12\}\), इसलिए \(A\cup B=U\), अर्थात \(\{1,2,3,\ldots,12\}\)। विकल्प \(B\) केवल पूरक समुच्चय है, पूरा संघ नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय होता है: \(A\cup A^c=U\)। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set that are not in \(A\). Here, \(B=\{1,4,6,8,9,10,12\}\), so \(A\cup B=U=\{1,2,3,\ldots,12\}\). Option B represents only the complement, not the union. Exam tip: The union of any set and its complement is always the universal set: \(A\cup A^c=U\).
चूँकि \(B=A^c\), इसलिए \(B\) में सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के वे सभी अवयव होंगे जो \(A\) में नहीं हैं। अतः \(A\) और \(B\) में कोई भी उभयनिष्ठ अवयव नहीं है तथा \(A\cap A^c=\varnothing\)। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद सदैव रिक्त समुच्चय होता है। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Therefore, option A is correct. Exam tip: The intersection of any set with its complement is always the empty set.
दिए गए समुच्चयों के लिए \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\)। इसलिए \((A\cup B)^c=U^c\) है। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(U\) का पूरक समुच्चय रिक्त समुच्चय होता है, अतः सही उत्तर \(\varnothing\) है। विकल्प \(U\) गलत है, क्योंकि वह पूरक नहीं बल्कि स्वयं सार्वत्रिक समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी समुच्चय का संघ सार्वत्रिक समुच्चय बन जाए, तो उसके पूरक का मान \(\varnothing\) होता है। / For the given sets, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\). Hence, \((A\cup B)^c=U^c\). The complement of the universal set relative to itself is the empty set, so the correct answer is \(\varnothing\). Option \(U\) is incorrect because it is the universal set itself, not its complement. Exam tip: whenever a union equals the universal set, its complement is \(\varnothing\).
समुच्चय \(A\) में केवल विषम संख्याएँ और \(B\) में केवल सम संख्याएँ हैं, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा \(U\) होता है, अर्थात् \((A\cap B)^c=\varnothing^c=U\)। विकल्प B केवल प्रतिच्छेद \(A\cap B\) को दर्शाता है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें और फिर दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष उसका पूरक लें। / Set \(A\) contains only odd numbers, while set \(B\) contains only even numbers; hence, \(A\cap B=\varnothing\). The complement of the empty set with respect to the universal set \(U\) is the entire universal set, so \((A\cap B)^c=\varnothing^c=U\). Option B represents the intersection itself, not its complement. Exam tip: find the intersection first, then take its complement relative to the given universal set.
\(A^{c}\) में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। परीक्षा में पहले (U) से (A) हटाएं। / \(A^{c}\) contains elements of (U) that are not in (A). In exams, first remove (A) from (U).
\(A=\{1,4,9\}\) है, इसलिए (n\(A^{c}\)=15-3=12) नहीं बल्कि (15) तक पूर्ण वर्ग ({1,4,9}) ही हैं। सही गिनती (12) होती, इसलिए विकल्पों में गलती पहचानें। / \(A=\{1,4,9\}\), so (n\(A^{c}\)=15-3=12). Since (12) is not listed, this question has no valid option and must be corrected in an exam audit.
किसी समुच्चय का पूरक सार्वत्रिक समुच्चय में मौजूद, लेकिन उस समुच्चय में शामिल न होने वाले अवयवों से बनता है। इसलिए \(B^c=U\setminus B=\{b,c,d\}\), जिसमें 3 अवयव हैं। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि वह पूरे सार्वत्रिक समुच्चय के अवयवों की संख्या है। परीक्षा में पूरक ज्ञात करते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय निश्चित करें और फिर दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of a set consists of the elements in the universal set that are not in that set. Thus, \(B^c=U\setminus B=\{b,c,d\}\), which contains 3 elements. Option 5 is incorrect because it counts all elements of the universal set. In an exam, identify the universal set first and then remove the elements of the given set to find its complement.
