Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय \(A\) में 60 तक 6 के गुणज हैं: \(6,12,18,\ldots,60\)। इनकी संख्या \(60\div 6=10\) है। पूरक समुच्चय \(A^c\) में \(U\) के वे सभी तत्व होंगे जो 6 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-10=50\)। विकल्प B केवल \(A\) के तत्वों की संख्या बताता है, पूरक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: परिमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / Set \(A\) contains the multiples of 6 up to 60: \(6,12,18,\ldots,60\). Their number is \(60\div 6=10\). The complement \(A^c\) contains all elements of \(U\) that are not divisible by 6, so \(n(A^c)=n(U)-n(A)=60-10=50\). Option B gives the number of elements in \(A\), not in its complement. Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
यदि \(A=A^c\) हो, तो \(A\cap A^c=A\) होगा। परन्तु किसी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद हमेशा \(\varnothing\) होता है, इसलिए \(A=\varnothing\)। परीक्षा टिप: \(A\cap A^c=\varnothing\) याद रखें। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\). But a set and its complement always have intersection \(\varnothing\); hence \(A=\varnothing\). Exam tip: remember \(A\cap A^c=\varnothing\).
\(U\) में \(-6\) से \(6\) तक कुल \(13\) पूर्णांक हैं। \(x^2=16\) के हल \(x=-4,4\) हैं, इसलिए \(A=\{-4,4\}\) और \(n(A)=2\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=13-2=11\)। परीक्षा-टिप: किसी समुच्चय के पूरक की cardinality निकालने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality में मूल समुच्चय की cardinality घटाएँ। / The set \(U\) contains all integers from \(-6\) to \(6\), so \(n(U)=13\). The solutions of \(x^2=16\) are \(x=-4\) and \(x=4\); hence, \(A=\{-4,4\}\) and \(n(A)=2\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=13-2=11\). Exam tip: For a finite set, find the cardinality of its complement by subtracting the cardinality of the set from that of the universal set.
एक सर्वे में (150) लोगों में से (85) चाय पसंद करते हैं, (70) कॉफी पसंद करते हैं और (40) दोनों पसंद करते हैं। न चाय न कॉफी पसंद करने वाले लोगों की संख्या कितनी है?
चाय या कॉफी पसंद करने वाले (85+70-40=115) हैं। इसलिए पूरक में (150-115=35) लोग होंगे। / People who like tea or coffee are (85+70-40=115). Therefore the complement has (150-115=35) people.
पहले \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\) प्राप्त होता है। चूँकि किसी समुच्चय और उसके पूरक की शक्तियों का योग सार्वत्रिक समुच्चय की शक्ति के बराबर होता है, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=96-32=64\)। विकल्प 32 पूरक समुच्चय \(A^c\) की शक्ति है, न कि \(A\) की। परीक्षा-युक्ति: पूरक वाले प्रश्नों में हमेशा \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) का प्रयोग करें। / First, \(n(A^c)=\frac{1}{3}\times 96=32\). The cardinalities of a set and its complement add up to the cardinality of the universal set: \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=96-32=64\). The value 32 is the cardinality of the complement \(A^c\), not of \(A\). Exam tip: For complement questions, use \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
समुच्चय \(U\) में 1 से 36 तक कुल 36 संख्याएँ हैं। इस सीमा में पूर्ण वर्ग \(1,4,9,16,25,36\) हैं, इसलिए \(n(A)=6\)। पूरक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=36-6=30\)। परीक्षा-युक्ति: पहले दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय में संबंधित गुण वाली संख्याओं की गिनती करें, फिर कुल संख्या में से घटाएँ। / The universal set \(U\) contains 36 numbers. The perfect squares from 1 through 36 are \(1,4,9,16,25,36\), so \(n(A)=6\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(36-6=30\). Thus, 6 is the size of \(A\), not its complement. Exam tip: For a complement, count the elements in the universal set that do not belong to the given set.
यह सम संख्याओं में से (4) से विभाज्य संख्याएं हटाने जैसा है। इसलिए उत्तर (2,6,10,14,18) है। / This is like removing the multiples of (4) from the even numbers. Therefore the answer is (2,6,10,14,18).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A^c\subseteq B\subseteq U\) है, तो \(B\) का न्यूनतम संभव समुच्चय कौन-सा है?
\(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो \(U\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A^c=\{7,8,9,10\}\)। चूँकि \(A^c\subseteq B\), इसलिए \(B\) में ये सभी अवयव होना आवश्यक है। सबसे छोटा संभव \(B\), \(A^c\) के बराबर होगा; अतः उत्तर \(\{7,8,9,10\}\) है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq B\) होने पर न्यूनतम संभव \(B\), \(X\) ही होता है। / The complement of \(A\) with respect to \(U\) contains the elements that are in \(U\) but not in \(A\). Thus, \(A^c=\{7,8,9,10\}\). Since \(A^c\subseteq B\), all these elements must belong to \(B\). The smallest possible choice for \(B\) is therefore exactly \(A^c\), namely \(\{7,8,9,10\}\). Exam tip: If \(X\subseteq B\), the smallest possible set \(B\) is \(X\) itself.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(B^c=A\) का अर्थ है कि \(B\), \(A\) का पूरक है। इसलिए \(B=A^c=U\setminus A\)। \(U\) में से \(2,4,6\) हटाने पर \(B=\{1,3,5,7\}\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(B^c=A\) दिया हो, तो सीधे \(B=A^c\) लिखें। / With respect to the universal set \(U\), the statement \(B^c=A\) means that \(B\) is the complement of \(A\). Thus, \(B=A^c=U\setminus A\). Removing \(2,4,6\) from \(U\) gives \(B=\{1,3,5,7\}\), so option A is correct. Option B is \(A\) itself, not its complement. Exam tip: whenever \(B^c=A\) is given, write \(B=A^c\) first.
(A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है और दोनों मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए (B), (A) का पूरक है। / (A) and (B) have no common element and together form (U). Therefore (B) is the complement of (A).
