Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि कोई तत्व एक साथ (A) में और (A) में नहीं हो सकता/because no element can be both in (A) and not in (A)
Explanation
Simple Explanation
पूरक की परिभाषा में \(x\notin A\) शर्त होती है। इसलिए वही तत्व (A) में भी नहीं हो सकता। / The definition of complement has the condition \(x\notin A\). So the same element cannot also be in (A).
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A'=U\setminus A\) होता है, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय के वे सभी अवयव जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A'=\{4,5,6,7,8\}\)। विकल्प A में अवयव \(8\) छूट गया है, इसलिए वह पूरक नहीं है। परीक्षा में पूरक निकालते समय पहले सार्वत्रिक समुच्चय के सभी अवयव लिखकर दिए गए समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) is \(A'=U\setminus A\), which contains every element of the universal set that is not in \(A\). Thus, \(A'=\{4,5,6,7,8\}\). Option A omits the element \(8\), so it is not the complement. In an exam, list all elements of \(U\) first and remove the elements of \(A\) to avoid missing an element.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार जो तत्व न तो A में हों और न B में, वे दोनों के पूरकों के उभयनिष्ठ भाग में होते हैं। इसलिए \((A \cup B)^c=A^c \cap B^c\)। परीक्षा में संघ का पूरक लिखते समय \(\cup\) को \(\cap\) में बदलें। / By De Morgan’s law, an element outside both A and B must belong to both complements. Hence \((A \cup B)^c=A^c \cap B^c\). In exams, when taking the complement of a union, change \(\cup\) to \(\cap\).
दिया गया है कि \(B=A^c\), अर्थात् \(B\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(A\) के सभी अवयवों के पूरक अवयवों का समुच्चय है। इसलिए \(A\cup B=A\cup A^c=U\)। अतः सही उत्तर \(U\) है। ध्यान रखें: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ सार्वत्रिक समुच्चय तथा उनका प्रतिच्छेद रिक्त समुच्चय होता है। / Since \(B=A^c\), the set \(B\) contains all elements of the universal set that are not in \(A\). Therefore, \(A\cup B=A\cup A^c=U\), so the correct answer is \(U\). The distractor \(\varnothing\) represents the intersection \(A\cap A^c\), not the union. Exam tip: a set and its complement together cover the entire universal set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\) है। इसलिए \(A\) और \(B\) में कोई भी समान अवयव नहीं है तथा \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\)। विकल्प \(C\) और \(D\) गलत हैं, क्योंकि वे क्रमशः \(A\) और उसके पूरक को दर्शाते हैं, उनके प्रतिच्छेद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी भी समुच्चय और उसके पूरक का प्रतिच्छेद हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। / The complement of \(A\) in the universal set \(U\) is \(B=A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Thus, \(A\) and \(B\) have no common element, so \(A\cap B=A\cap A^c=\varnothing\). Options \(C\) and \(D\) represent \(A\) and its complement separately, not their intersection. Exam tip: The intersection of any set with its complement is always the empty set.
यहाँ \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\) है। इसलिए \((A\cup B)^c=U^c\) होगा। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(U\) का पूरक रिक्त समुच्चय होता है, अतः उत्तर \(\varnothing\) है। परीक्षा-युक्ति: यदि किसी समुच्चय का संघ सार्वत्रिक समुच्चय के बराबर हो, तो उसके संघ का पूरक हमेशा रिक्त समुच्चय होता है। / Here, \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}=U\). Therefore, \((A\cup B)^c=U^c\). The complement of the universal set, taken with respect to itself, is the empty set, so the answer is \(\varnothing\). Exam tip: whenever a union equals the universal set, its complement is always the empty set; hence \(U\), \(A\), and \(B\) are incorrect.
A. वे परस्पर असंबद्ध होते हैं और उनका संघ सार्वत्रिक समुच्चय होता है।
Explanation
Simple Explanation
यदि किसी समुच्चय का पूरक \(A^c\) है, तो \(A\cap A^c=\varnothing\) तथा \(A\cup A^c=U\) होता है। इसलिए वे असंबद्ध हैं और मिलकर पूरा सार्वत्रिक समुच्चय बनाते हैं। परीक्षा में पूरक लिखते समय सार्वत्रिक समुच्चय अवश्य ध्यान में रखें। / If \(A^c\) is the complement of \(A\), then \(A\cap A^c=\varnothing\) and \(A\cup A^c=U\). Hence they are disjoint and together form the universal set. Exam tip: always identify the universal set before finding a complement.
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (2) से और न (3) से विभाज्य हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers divisible by neither (2) nor (3). These numbers are (1,5,7,11,13,17).
पहले \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\) लिखें। (U) में बचे हुए तत्व ही पूरक हैं। / First write \(A\cup B={1,2,4,6,8,9,10,12,14,16}\). The remaining elements in (U) form the complement.
\(A^c\cap B\) में विषम लेकिन अभाज्य नहीं संख्याएं आएंगी। (1), (9) और (15) इस शर्त को पूरा करते हैं। / \(A^c\cap B\) contains odd numbers that are not prime. (1), (9), and (15) satisfy this condition.
