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यदि दो समुच्चय असंबद्ध हों और मिलकर (U) बनाएं, तो वे एक-दूसरे के पूरक होते हैं। इसलिए \(B=A^c\) होगा। / If two sets are disjoint and together form (U), then they are complements of each other. Hence \(B=A^c\).
(A) और \(A^c\) असंबद्ध हैं और मिलकर (U) बनाते हैं। इसलिए उनकी संख्याओं का योग (n(U)) होता है। / (A) and \(A^c\) are disjoint and together form (U). Therefore the sum of their cardinalities is (n(U)).
U के सापेक्ष A का पूरक Aᶜ = {6, 7, 8} होगा। पूरकता के द्विपूरक गुण के अनुसार (Aᶜ)ᶜ = A = {1, 2, 3, 4, 5}। अब इसका {2, 4, 6, 8} से प्रतिच्छेद {2, 4} है। विकल्प D में 6 और 8 भी शामिल हैं, लेकिन वे A के सदस्य नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: (Aᶜ)ᶜ को सीधे A लिखकर गणना सरल करें। / The complement of A with respect to U is Aᶜ = {6, 7, 8}. By the double-complement property, (Aᶜ)ᶜ = A = {1, 2, 3, 4, 5}. Its intersection with {2, 4, 6, 8} is therefore {2, 4}. Option D is incorrect because 6 and 8 are not elements of A. Exam tip: Replace (Aᶜ)ᶜ directly with A before finding the intersection.
\(A^c\) में (7) तत्व हैं क्योंकि (A) में (3) तत्व हैं। (5) \(A^c\) में नहीं है, इसलिए जोड़ने पर संख्या (8) होगी। / \(A^c\) has (7) elements because (A) has (3) elements. Since (5) is not in \(A^c\), adding it makes the count (8).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{1,3,5,7,8,9\}\) होगा। अब इसमें से \(\{1,3,5\}\) हटाने पर \(\{7,8,9\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(A^c\) है और उसमें से दिए गए तीन अवयव हटाए नहीं गए हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय निकालें, फिर अंतर समुच्चय के अवयव हटाएँ। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{1,3,5,7,8,9\}\). Removing \(\{1,3,5\}\) from this set leaves \(\{7,8,9\}\), so option A is correct. Option B is only \(A^c\); it does not remove the specified elements. Exam tip: Find the complement first, then perform the set difference.
अंकों का \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) है। सम अंक (5) हैं, इसलिए विषम अंक भी (5) हैं। / The digit set is \(U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). There are (5) even digits, so there are (5) odd digits.
दोनों से विभाज्य होने का अर्थ (6) से विभाज्य होना है, इसलिए \(A=\{6,12\}\)। बाकी तत्व \(A^c\) हैं। / Divisible by both means divisible by (6), so \(A=\{6,12\}\). The remaining elements are \(A^c\).
दिया है कि \(C=A^c\)। इसलिए \(C^c=(A^c)^c=A\), क्योंकि किसी समुच्चय का दोहरा पूरक मूल समुच्चय के बराबर होता है। अतः \(C^c=\{1,3,5,7\}\)। विकल्प B वास्तव में \(C=A^c\) है, न कि \(C^c\)। परीक्षा-युक्ति: \((A^c)^c=A\) की पहचान तुरंत करें। / Given \(C=A^c\), we get \(C^c=(A^c)^c=A\), because the complement of a complement is the original set. Hence, \(C^c=\{1,3,5,7\}\). Option B is actually \(C=A^c\), not \(C^c\). Exam tip: remember the identity \((A^c)^c=A\).
A. (A) और \(A^c\) (U) का विभाजन बनाते हैं/(A) and \(A^c\) form a partition of (U)
Explanation
Simple Explanation
दो असंबद्ध समुच्चय जो मिलकर (U) बनाते हैं, (U) का विभाजन बनाते हैं। यह पूरक का वैचारिक अर्थ है। / Two disjoint sets that together form (U) make a partition of (U). This is the conceptual meaning of complement.
यदि \(A=A^c\), तो \(A\cap A^c=A\) होगा, लेकिन \(A\cap A^c=\varnothing\) होता है। इससे \(A=\varnothing\) चाहिए, पर तब \(A^c=U\), इसलिए संभव नहीं है। / If \(A=A^c\), then \(A\cap A^c=A\), but \(A\cap A^c=\varnothing\). This would force \(A=\varnothing\), but then \(A^c=U\), so it is impossible.
