Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
असमानता \(x^2\le 4\) का अर्थ \(-2\le x\le 2\) है। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, इसलिए \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\) में A के अतिरिक्त तत्व \(\{-4,-3,3,4\}\) हैं, अतः यही \(A^c\) है। विकल्प B, A स्वयं है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए पहले सार्वत्रिक समुच्चय में से A के सभी तत्व हटा दें। / The inequality \(x^2\le 4\) is equivalent to \(-2\le x\le 2\). Since \(x\) is an integer, \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\). The universal set is \(U=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so the elements of U not in A are \(\{-4,-3,3,4\}\). Hence, this is \(A^c\). Option B is A itself, not its complement. Exam tip: To find a complement, remove every element of the given set from the universal set.
(1) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। (4) (A) में है, इसलिए पूरक (4) के बाद शुरू होगा। / (1) is not in (A), so it is included in the complement. (4) is in (A), so the complement starts after (4).
(-1) (A) में है, इसलिए पूरक में नहीं आएगा। (3) (A) में नहीं है, इसलिए पूरक में शामिल होगा। / (-1) is in (A), so it is not in the complement. (3) is not in (A), so it is included in the complement.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B^c\subseteq A^c\) मिलता है। / The order of inclusion reverses after taking complements. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B^c\subseteq A^c\).
समान सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A^c\subseteq B^c\) का पूरक लेने पर \(B\subseteq A\) प्राप्त होता है। विकल्प B में समावेशन की दिशा उलटी नहीं की गई है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq Y\) होने पर हमेशा \(Y^c\subseteq X^c\) याद रखें। / With respect to the same universal set, taking complements reverses the direction of inclusion. Thus, from \(A^c\subseteq B^c\), we obtain \(B\subseteq A\). Option B incorrectly keeps the original direction of inclusion. Exam tip: remember that \(X\subseteq Y\) implies \(Y^c\subseteq X^c\).
पूरक \(A^c\) में \(U\) के वे तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। इसलिए कोई तत्व एक साथ \(A\) और \(A^c\) में नहीं हो सकता, अतः \(A\cap A^c=\varnothing\)। ध्यान रखें: संघ \(A\cup A^c=U\) होता है, \(A\) नहीं। / The complement \(A^c\) contains precisely those elements of \(U\) that are not in \(A\). Hence no element can belong to both sets, so \(A\cap A^c=\varnothing\). Exam tip: remember that \(A\cup A^c=U\), not \(A\).
\(A^c\cup B^c\) की संख्या (40+55-20=75) है। डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (n\(A\cap B\)=25)। / The number in \(A^c\cup B^c\) is (40+55-20=75). By De Morgan, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (n\(A\cap B\)=25).
समुच्चय अंतर के नियम से \(A^c-B^c=A^c\cap(B^c)^c=A^c\cap B\)। यहाँ \(A^c=\{5,6,7,8,9\}\) है। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6,7,8,9\}\cap\{4,5,6\}=\{5,6\}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C \(A^c\cap B^c\) लेने की भूल से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: \(X-Y\) में पहले समुच्चय के वे तत्व रखें जो दूसरे समुच्चय में नहीं हैं। / Using the difference rule, \(A^c-B^c=A^c\cap(B^c)^c=A^c\cap B\). Here, \(A^c=\{5,6,7,8,9\}\), so \(A^c\cap B=\{5,6,7,8,9\}\cap\{4,5,6\}=\{5,6\}\). Therefore, option A is correct. Option C results from incorrectly taking \(A^c\cap B^c\). Exam tip: In \(X-Y\), retain the elements of \(X\) that are not in \(Y\).
पहले A-B ज्ञात करें: A में उपस्थित लेकिन B में अनुपस्थित अवयव 1 और 7 हैं, इसलिए A-B={1,7}। सार्वत्रिक समुच्चय U के सापेक्ष इसका पूरक U में मौजूद वे सभी अवयव होंगे जो {1,7} में नहीं हैं। अतः (A-B)^c={2,3,4,5,6,8}। विकल्प B केवल A-B है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के अवयवों में से संबंधित समुच्चय को हटाएँ। / First find A-B, which contains the elements that are in A but not in B: A-B={1,7}. The complement is taken with respect to the universal set U, so we remove 1 and 7 from U. Therefore, (A-B)^c={2,3,4,5,6,8}. Option B is only A-B, not its complement. Exam tip: For a complement, always subtract the given set from the specified universal set.
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएं (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएं होंगी। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). So the complement has (30-20=10) numbers.
