Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय \(U\) में 1 से 50 तक कुल 50 संख्याएँ हैं। इनमें 5 के गुणज \(5,10,15,\ldots,50\) हैं, अर्थात \(50\div 5=10\) संख्याएँ। इसलिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)=50-10=40\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय के पूरक की संख्या निकालने के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) का प्रयोग करें। / The universal set \(U\) contains 50 numbers, from 1 to 50. Its multiples of 5 are \(5,10,15,\ldots,50\), so \(n(A)=50\div 5=10\). Hence, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=50-10=40\). Exam tip: For a complement, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) और \(A=\{x\mid x\in U\text{ तथा }x^2-5x+6=0\}\) है, तो \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c\) क्या होगा?
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) मिलता है। इसलिए \(A=\{2,3\}\)। सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष पूरक \(A^c=U\setminus A\) होता है, अतः \(A^c=\{1,4,5,6,7,8,9,10\}\)। विकल्प B केवल \(A\) को दर्शाता है, उसके पूरक को नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण के मूल ज्ञात करें, फिर उन्हें \(U\) से हटाएँ। / Factoring gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so \(A=\{2,3\}\). The complement with respect to the universal set is \(A^c=U\setminus A\); therefore, \(A^c=\{1,4,5,6,7,8,9,10\}\). Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: first find the solutions of the condition, then remove them from \(U\).
समुच्चय \(U\) में -5 से 5 तक कुल 11 पूर्णांक हैं। समीकरण \(x^2=9\) के हल \(x=-3\) और \(x=3\) हैं, इसलिए \(A=\{-3,3\}\) और \(n(A)=2\)। अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=11-2=9\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय के पूरक के तत्वों की संख्या निकालने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय में कुल तत्वों में से दिए गए समुच्चय के तत्व घटाएँ। / The set \(U\) contains 11 integers from -5 to 5. The solutions of \(x^2=9\) are \(x=-3\) and \(x=3\), so \(A=\{-3,3\}\) and \(n(A)=2\). Therefore, \(n(A^c)=n(U)-n(A)=11-2=9\). Exam tip: To find the cardinality of a complement, subtract the number of elements in the set from the number of elements in the universal set.
यदि (U) में (120) विद्यार्थी हैं, (72) विद्यार्थी हिंदी पढ़ते हैं और (55) विद्यार्थी अंग्रेजी पढ़ते हैं, जबकि (30) दोनों पढ़ते हैं, तो न हिंदी न अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
हिंदी या अंग्रेजी पढ़ने वाले (72+55-30=97) हैं। इसलिए पूरक में (120-97=23) विद्यार्थी हैं। / Students studying Hindi or English are (72+55-30=97). Therefore the complement has (120-97=23) students.
एक कक्षा में कुल 90 विद्यार्थी हैं, अर्थात् सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) में \(n(U)=90\) है। यदि विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय \(A\) है और \(n(A^c)=34\), तो विज्ञान पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या कितनी है?
समुच्चय \(A^c\), समुच्चय \(A\) का पूरक है। इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। अतः \(n(A)=90-34=56\)। विकल्प C पूरक समुच्चय के विद्यार्थियों की संख्या है, विज्ञान पसंद करने वालों की नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक से मूल समुच्चय की संख्या ज्ञात करने के लिए कुल संख्या में से पूरक की संख्या घटाएँ। / The set \(A^c\) is the complement of \(A\), so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(n(A)=90-34=56\). Option C gives the number of students in the complement, not the number who like science. Exam tip: To find the size of a set from its complement, subtract the complement’s size from the size of the universal set.
समुच्चय \(U\) में 1 से 25 तक पाँच पूर्ण वर्ग हैं: \(1,4,9,16,25\)। इसलिए \(n(A)=5\)। चूँकि \(A^c\), \(U\) में वे तत्व हैं जो \(A\) में नहीं हैं, अतः \(n(A^c)=n(U)-n(A)=25-5=20\)। परीक्षा-युक्ति: सीमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) सूत्र याद रखें। / There are five perfect squares in \(U\) from 1 to 25: \(1,4,9,16,25\). Thus, \(n(A)=5\). Since \(A^c\) contains the elements of \(U\) that are not in \(A\), \(n(A^c)=n(U)-n(A)=25-5=20\). Exam tip: For a finite universal set, use \(n(A^c)=n(U)-n(A)\).
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c\) में \(U\) की सभी सम संख्याएँ होंगी: \(\{2,4,6,8,10,12,14\}\)। दूसरी शर्त के अनुसार संख्या 3 से विभाज्य भी होनी चाहिए। इन दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाली संख्याएँ केवल \(6\) और \(12\) हैं, इसलिए प्रतिच्छेद \(\{6,12\}\) है। विकल्प D में केवल विषम गुणज हैं, इसलिए वे \(A^c\) में नहीं आते। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में प्रत्येक तत्व को दोनों समुच्चयों की शर्तें पूरी करनी होती हैं। / Relative to the universal set \(U\), the complement \(A^c\) contains all even numbers: \(\{2,4,6,8,10,12,14\}\). The elements must also be divisible by 3. The only numbers satisfying both conditions are \(6\) and \(12\), so the intersection is \(\{6,12\}\). Option D contains only odd multiples of 3, which are not in \(A^c\). Exam tip: every element of an intersection must satisfy the conditions of both sets.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक \(A^c=U\setminus A=\{5,6,7,8,9\}\) है। चूँकि \(A^c\subseteq B\), इसलिए \(B\) में ये सभी अवयव अनिवार्य रूप से होने चाहिए। न्यूनतम स्थिति में \(B\) में इनके अतिरिक्त कोई अवयव नहीं होगा, अतः \(B=A^c=\{5,6,7,8,9\}\)। विकल्प C भी संभव है, लेकिन वह न्यूनतम समुच्चय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(X\subseteq B\) में न्यूनतम \(B\), स्वयं \(X\) होता है। / The complement of \(A\) with respect to the universal set \(U\) is \(A^c=U\setminus A=\{5,6,7,8,9\}\). Since \(A^c\subseteq B\), all these elements must be included in \(B\). For the smallest possible set, no additional elements are included, so \(B=A^c=\{5,6,7,8,9\}\). Option C is also possible, but it is not the smallest set. Exam tip: If \(X\subseteq B\), the minimum possible choice of \(B\) is \(X\) itself.
किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के उन सभी तत्वों का समुच्चय होता है जो \(A\) में उपस्थित नहीं हैं। \(U\) में से \(1,2,3\) हटाने पर \(\{4,5,6\}\) बचता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B स्वयं \(A\) है, उसका पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित करें। / The complement \(A^c\) consists of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). Removing \(1,2,3\) from \(U\) leaves \(\{4,5,6\}\), so option A is correct. Option B is the set \(A\) itself, not its complement. Exam tip: Always find a complement with respect to the given universal set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A\) के पूरक में वे सभी अवयव होंगे जो \(U\) में हैं, लेकिन \(A\) में नहीं हैं। इसलिए \(A^c=U\setminus A=\{b,d,f\}=B\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\cap B=\varnothing\), \(A\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक ज्ञात करने के लिए सार्वत्रिक समुच्चय में से दिए गए समुच्चय के अवयव हटा दें। / The complement of \(A\), taken with respect to the universal set \(U\), contains the elements of \(U\) that are not in \(A\). Thus, \(A^c=U\setminus A=\{b,d,f\}=B\), so option A is correct. Option C is false because \(A\cap B=\varnothing\), not \(A\). Exam tip: To find a set's complement, remove its elements from the universal set.
