Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला कदम है \(A\cup B\) निकालना: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). अब समर्पक \((A\cup B)'\) का मतलब है यूनिवर्सल सेट \(U\) में से \(A\cup B\) को हटाना: \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(A\cup B\) खुद है, विकल्प C \(A\cap B\) (साधारण गलती), और विकल्प D से घटक 9 गायब है। परीक्षा के लिए टिप: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटाएँ — यह क्रम त्रुटियों को रोकता है। / First compute the union: \(A\cup B=\{1,2,3,5,6,7\}\). The complement \((A\cup B)'\) means all elements of the universal set \(U\) not in \(A\cup B\), so \(U-(A\cup B)=\{4,8,9,10\}\). Option B is just the union (a common confusion), option C equals \(A\cap B\), and option D incorrectly omits 9. Exam tip: always form the union first, then subtract from \(U\) to get the complement — this avoids missing elements.
30 के धनात्मक भाजक हैं 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 और 30 — कुल 8 संख्या, अतः \(n(A)=8\)। सार्वभौम समुच्चय \(U\) में 1 से 30 तक कुल 30 सदस्य हैं, इसलिए पूरक का आकार \(n(A')=30-8=22\)। निकट भ्रमित विकल्प (20) तब बन सकता है जब किसी ने दो भाजक ग़लत तरीके से छोड़ दिये हों। परीक्षाया सुझाव: तेज़ी से गणना के लिए 30 का अभाज्य गुणनखंड रूप \(30=2\times3\times5\) है, इसलिए भाजकों की संख्या \((1+1)(1+1)(1+1)=8\)। / The positive divisors of 30 are 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 and 30 — so \(n(A)=8\). The universal set \(U\) contains the integers 1 through 30, i.e. 30 elements, hence \(n(A')=30-8=22\). The common wrong answer 20 would result from omitting two divisors. Exam tip: use prime factorization \(30=2\cdot3\cdot5\) so number of divisors = \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) to count quickly.
पूरक A^c में वे तत्व आते हैं जो सार्वभौमिक सेट U में हैं पर A में नहीं। U के तत्व {1,2,3,4,5,6,7} में से A = {1,3,5,7} को हटा देने पर शेष {2,4,6} बचते हैं। इसलिए A^c = {2,4,6}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A खुद है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वभौमिक सेट है न कि A का पूरक, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक रिक्त集合 नहीं है। परीक्षा टिप: U की सूची लिखकर A के तत्वों को काट दें — जो बचे वही A^c है। / The complement A^c consists of elements in the universal set U that are not in A. Removing A = {1,3,5,7} from U = {1,2,3,4,5,6,7} leaves {2,4,6}, so A^c = {2,4,6}. Option B is just A, option C is the entire universal set (not the complement), and option D (empty set) is incorrect. Exam tip: write U and cross out all elements of A — the remainder is A^c.
ध्यान दें कि \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\) (De Morgan का नियम)। पहले \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=65+58-29=94\) निकालें। पूर्ण सार्वभौमिक समुच्चय में से यह भाग बाहर है, इसलिए \(n(A^c\cap B^c)=n(U)-n(A\cup B)=120-94=26\)। नजदीकी छलावा: 94 को चुनना गलती से यूनियन की संख्या को ही उत्तर मान लेने से आता है; 29 केवल \(A\cap B\) का मान है। परीक्षा टिप: पहले यूनियन का मान निकालें फिर उसे सार्वभौमिक सेट से घटाएँ। / Use De Morgan: \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\). Compute \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=65+58-29=94\). Then \(n(A^c\cap B^c)=n(U)-n(A\cup B)=120-94=26\). Closest distractor 94 is the size of \(A\cup B\), not of the complement; 29 is just \(n(A\cap B)\). Exam tip: find the union first, then subtract from \(n(U)\).
मूल विचार: जो तत्व किसी भी दिए गए समुच्चय में नहीं आते वे यूनिवर्सल सेट U के उन तत्वों का सम्मिलित कॉम्प्लीमेंट हैं। इसलिए संख्या है \(n(U)-n(A\cup B\cup C)=110-92=18\)। विकल्प 12 गलती में घटाव (उदा. 110-98) या प्रश्न को गलत पढ़ने का परिणाम हो सकता है। विकल्प 92 गलत है क्योंकि वह संघ का मान है, न कि संघ के बाहर के तत्वों की संख्या। विकल्प 202 स्पष्ट रूप से असम्बद्ध और यूनिवर्सल सेट के कुल से अधिक है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले फार्मूला \(n( ext{none})=n(U)-n(A\cup B\cup C)\) लिखें और फिर घटाव करें ताकि पढ़ने या साइन की गलतियाँ न हों। / Core idea: elements in none of the sets are the complement of the union within the universal set. So compute \(n(U)-n(A\cup B\cup C)=110-92=18\). Option 12 likely arises from an arithmetic or reading mistake (for example using 98 instead of 92). Option 92 is the size of the union, not the outside elements. Option 202 is impossible here because it exceeds the total number in U. Exam tip: write the formula \(n( ext{none})=n(U)-n(A\cup B\cup C)\) before calculating to avoid sign or reading errors.
किसी समुह का पूरक \(A^c\) वे तत्व होते हैं जो सार्वभौमिक समुह \(U\) में हैं पर समुह \(A\) में नहीं। यहाँ \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) और \(A=\{m,o,q,s\}\) है, अतः जो तत्व बचते हैं वे \(n,p,r,t\) हैं। इसलिए \(A^c=\{n,p,r,t\}\)। विकल्प A केवल \(A\) ही है इसलिए गलत; विकल्प C पूरी तरह \(U\) है और विकल्प D शून्य-समुह है — दोनों भी असंगत हैं। परीक्षा टिप: पूरक निकालते समय सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटाएँ और गुणा-गणना से जांचें (\(|U|=8,|A|=4\) तो \(|A^c|=4\))। / The complement \(A^c\) consists of elements that belong to the universal set \(U\) but not to \(A\). Given \(U=\{m,n,o,p,q,r,s,t\}\) and \(A=\{m,o,q,s\}\), the remaining elements are \(n,p,r,t\). Hence \(A^c=\{n,p,r,t\}\). Option A is just \(A\) itself (not its complement), option C is the whole \(U\) and option D is the empty set — all incorrect. Exam tip: subtract elements of \(A\) from \(U\) and verify by counting (here \(|U|=8,|A|=4\) so \(|A^c|=4\)).
कुल सार्वभौमिक समुच्चय U में से उन तत्वों की संख्या जो किसी भी एक या अधिक समुच्चयों A, B, C में आती हैं, वह n\(A \cup B \cup C\) = 127 है। इसलिए जो तत्व किसी भी समुच्चय में नहीं आते (i.e. \(A \cup B \cup C\) का पूरक) उनकी संख्या है n(U) - n\(A \cup B \cup C\) = 160 - 127 = 33। निकट भ्रामक विकल्प 27 इसलिए गलत है क्योंकि यह गलत घटाव का परिणाम है; 37 भी गलत है क्योंकि यह उल्टा या अलग गणना दर्शाता है। परीक्षा टिप: बिना अतिरिक्त जानकारी के किसी भी तत्वों को 'नहीं आने वाले' पाने के लिए बस n(U) में से n(union) घटाएँ। / The elements that lie in at least one of A, B or C are n\(A \cup B \cup C\) = 127. The number in none of the sets (the complement of the union in U) is n(U) - n\(A \cup B \cup C\) = 160 - 127 = 33. The closest distractor 27 is incorrect due to wrong subtraction; 37 is also incorrect. Exam tip: to find 'none of the sets' directly compute n(U) - n(union) when the universe size is given.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c) होता है। \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), इसलिए बचे तत्व उत्तर हैं। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c). Since \(A\cup B={2,3,4,6,8,9,10,12}\), the remaining elements are the answer.
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c) होता है। \(A\cap B={4,5}\), इसलिए (U) से इसे हटाने पर उत्तर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c). Since \(A\cap B={4,5}\), remove it from (U) to get the answer.
1 से 20 तक अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 और 19 हैं, इसलिए \(n(A)=8\)। पूरक समुच्चय के सूत्र \(n(A^c)=n(U)-n(A)\) से \(n(A^c)=20-8=12\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह \(A^c\) में शामिल होगा। / The prime numbers from 1 to 20 are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 and 19, so \(n(A)=8\). Using \(n(A^c)=n(U)-n(A)\), we get \(n(A^c)=20-8=12\). Remember that 1 is not a prime number, so it belongs to \(A^c\).
