Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष होता है। इसलिए (U) बदलने पर \(A^c\) भी बदल सकता है। / Complement is always relative to the universal set. Therefore \(A^c\) may change when (U) changes.
\(U_2\) में पूरक ({3,4,5,6}) और \(U_1\) में पूरक ({3,4}) है। अंतर ({5,6}) है। / Relative to \(U_2\), the complement is ({3,4,5,6}), and relative to \(U_1\), it is ({3,4}). The difference is ({5,6}).
\(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10\}\) होगा। इसलिए \(A^c\cap B=\{5,6\}\)। अब \(\{5,6\}\) का \(U\) के सापेक्ष पूरक \(U-\{5,6\}=\{1,2,3,4,7,8,9,10\}\) है, इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: पूरक सदैव दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लिया जाता है। / The complement of \(A\) in \(U\) is \(A^c=U-A=\{5,6,7,8,9,10\}\). Thus, \(A^c\cap B=\{5,6\}\). Taking its complement in \(U\) gives \(U-\{5,6\}=\{1,2,3,4,7,8,9,10\}\), so option A is correct. Exam tip: A complement is always taken with respect to the specified universal set.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) में \(A=\{2,4,6,8\}\) और \(B=\{1,2,3,4\}\) हैं। यदि सभी पूरक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष लिए जाएँ, तो \((A^c\cup B)^c\) का मान क्या है?
\(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\) होगा। इसलिए \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), जिसका \(U\) में पूरक \(\{6,8\}\) है। विकल्प C में \(1\) और \(3\) छूट गए हैं, जबकि वे \(A^c\cup B\) में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: डी मॉर्गन के नियम से \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\) लिखकर भी सीधे \(\{6,8\}\) प्राप्त किया जा सकता है। / With respect to \(U\), \(A^c=\{1,3,5,7,9\}\). Thus, \(A^c\cup B=\{1,2,3,4,5,7,9\}\), and its complement in \(U\) is \(\{6,8\}\). Option C incorrectly omits \(1\) and \(3\), even though both belong to \(A^c\cup B\). Exam tip: By De Morgan’s law, \((A^c\cup B)^c=A\cap B^c\), which also gives \(\{6,8\}\) directly.
\(A^c\cap B^c\) में वे संख्याएं हैं जो न (3) से विभाज्य हैं और न सम हैं। ऐसी संख्याएं (1,5,7,11,13,17) हैं। / \(A^c\cap B^c\) contains numbers that are neither divisible by (3) nor even. These are (1,5,7,11,13,17).
यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(B=\{2,4,6,8,10,12\}\) हैं, तो \(A^c\cup B^c\) में कितने तत्व होंगे?
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\)। यहाँ \(A\cap B=\{2,4,6\}\), जिसमें 3 तत्व हैं। इसलिए \(U\) में कुल 12 तत्वों में से 3 तत्व हटाने पर \((A\cap B)^c\) में \(12-3=9\) तत्व होंगे। परीक्षा-युक्ति: पूरक के संघ या प्रतिच्छेद वाले प्रश्नों में पहले डी मॉर्गन का नियम लागू करें। / By De Morgan’s law, \(A^c\cup B^c=(A\cap B)^c\). Here, \(A\cap B=\{2,4,6\}\), which has 3 elements. Therefore, its complement in the 12-element universal set contains \(12-3=9\) elements. Exam tip: For unions or intersections involving complements, apply De Morgan’s law before counting elements.
सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के सापेक्ष \(A^c=\{4,5,6,7,8\}\) और \(B^c=\{1,2,3,6,7,8\}\) हैं। दोनों के उभयनिष्ठ तत्व \(\{6,7,8\}\) हैं, इसलिए \(A^c\cap B^c=\{6,7,8\}\)। यही परिणाम डी मॉर्गन के नियम \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\) से भी मिलता है। परीक्षा-युक्ति: पहले पूरक समुच्चय का सार्वत्रिक समुच्चय स्पष्ट रूप से पहचानें। / With respect to the universal set \(U\), \(A^c=\{4,5,6,7,8\}\) and \(B^c=\{1,2,3,6,7,8\}\). Their common elements are \(\{6,7,8\}\), so \(A^c\cap B^c=\{6,7,8\}\). This also follows from De Morgan’s law, \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\). Exam tip: always identify the universal set before finding a complement.
समुच्चय 8A^c9, सार्वत्रिक समुच्चय 8U9 में 8A9 के बाहर के तत्वों का समुच्चय है। इसलिए 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9। यहाँ 8n(U)=109 और 8n\(A^c\)=39, अतः 8n(A)=10-3=79। विकल्प B केवल पूरक समुच्चय के तत्वों की संख्या बताता है। परीक्षा में याद रखें: सीमित सार्वत्रिक समुच्चय के लिए 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9। / The set 8A^c9 contains the elements of the universal set 8U9 that are not in 8A9. Hence, 8n(A)+n\(A^c\)=n(U)9. Here, 8n(U)=109 and 8n\(A^c\)=39, so 8n(A)=10-3=79. Option B gives the number of elements in the complement, not in 8A9. Exam tip: for a finite universal set, use 8n\(A^c\)=n(U)-n(A)9.
मान लें \(n(A^c)=x\)। तब दिए गए संबंध से \(n(A)=3x\)। चूँकि \(A\) और \(A^c\) एक-दूसरे के पूरक हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\), अर्थात् \(3x+x=64\)। अतः \(4x=64\) और \(x=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चयों की cardinalities का योग हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय की cardinality के बराबर होता है। / Let \(n(A^c)=x\). Then the given relation gives \(n(A)=3x\). Since \(A\) and \(A^c\) are complementary sets, \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Therefore, \(3x+x=64\), so \(4x=64\) and \(x=16\). Hence, the correct answer is 16. Exam tip: The cardinalities of a set and its complement always add up to the cardinality of the universal set.
समुच्चय \(A\) और उसका पूरक \(A^c\), सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं, इसलिए \(n(A)+n(A^c)=n(U)\)। मान लें \(n(A)=x\), तब \(n(A^c)=2x\)। अतः \(x+2x=54\), यानी \(3x=54\) और \(x=18\)। इसलिए सही उत्तर 18 है। परीक्षा-युक्ति: पूरक से जुड़े प्रश्नों में पहले \(n(A)+n(A^c)=n(U)\) लिखें। / The set \(A\) and its complement \(A^c\) partition the universal set \(U\), so \(n(A)+n(A^c)=n(U)\). Let \(n(A)=x\); then \(n(A^c)=2x\). Thus, \(x+2x=54\), giving \(3x=54\) and \(x=18\). Therefore, the correct answer is 18. Exam tip: In complement-counting questions, start with \(n(A)+n(A^c)=n(U)\).
