Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
x² < 9 का अर्थ −3 < x < 3 है। चूँकि x पूर्णांक है, इसलिए A = {−2, −1, 0, 1, 2}। सार्वत्रिक समुच्चय U में से A के तत्व हटाने पर Aᶜ = U − A = {−5, −4, −3, 3, 4, 5} मिलता है। विकल्प C में −2 से 2 तक के तत्व भी शामिल हैं, इसलिए वह Aᶜ नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पूरक समुच्चय हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है। / The inequality x² < 9 is equivalent to −3 < x < 3. Since x is an integer, A = {−2, −1, 0, 1, 2}. Removing these elements from the universal set gives Aᶜ = U − A = {−5, −4, −3, 3, 4, 5}. Option C is incorrect because it contains the elements of A as well. Exam tip: the complement of a set is always taken with respect to the specified universal set.
(-1) और (4) दोनों (A) में शामिल नहीं हैं, इसलिए वे पूरक में आएंगे। अंतरालों में खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / (-1) and (4) are not included in (A), so they come in the complement. Pay special attention to open and closed endpoints in intervals.
(0) और (2) (A) में शामिल हैं, इसलिए पूरक उनसे बाहर होगा। (6) (U) में शामिल है, इसलिए अंतिम सिरा बंद रहेगा। / (0) and (2) are included in (A), so the complement stays outside them. (6) is included in (U), so the right endpoint remains closed.
पूरक लेने पर समावेशन का क्रम उलट जाता है। इसलिए सबसे बड़े (C) का पूरक सबसे छोटा होगा। / The order of inclusion reverses after taking complements. Hence the complement of the largest set (C) is the smallest.
पूरक समुच्चयों के लिए समावेशन की दिशा उलट जाती है: यदि \(X\subseteq Y\), तो \(Y^c\subseteq X^c\)। दिए गए \(B^c\subseteq A^c\) के दोनों पक्षों का पूरक लेने पर \(A\subseteq B\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B समावेशन की दिशा उलटने के नियम के विपरीत है और अन्य विकल्प आवश्यक रूप से निष्कर्षित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: पूरक लेते समय समावेशन का चिह्न उलट दें। / For complements, the direction of inclusion is reversed: if \(X\subseteq Y\), then \(Y^c\subseteq X^c\). Taking complements on both sides of the given relation \(B^c\subseteq A^c\) gives \(A\subseteq B\). Hence, option A is correct. Option B reverses the required direction, while the other statements do not necessarily follow. Exam tip: reverse the inclusion sign whenever complements are taken on both sides.
समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=42+38-20=60\)। किसी समुच्चय के पूरक में सार्वत्रिक समुच्चय के वे तत्व होते हैं जो उसमें नहीं हैं, इसलिए \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)=75-60=15\)। विकल्प 60 संघ \(A\cup B\) की संख्या है, उसके पूरक की नहीं। परीक्षा में दो समुच्चयों के संघ की संख्या निकालते समय प्रतिच्छेद की संख्या एक बार घटाना याद रखें। / By the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=42+38-20=60\). The complement contains the elements of the universal set that are not in \(A\cup B\), so \(n((A\cup B)^c)=n(U)-n(A\cup B)=75-60=15\). The value 60 is the cardinality of \(A\cup B\), not its complement. Exam tip: when finding the union of two sets, subtract the intersection once to avoid double-counting.
(n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67) है। डी मॉर्गन से यह (n(\(A\cap B\)^c)) है, इसलिए (n\(A\cap B\)=90-67=23)। / (n\(A^c\cup B^c\)=35+50-18=67). By De Morgan, this is (n(\(A\cap B\)^c)), so (n\(A\cap B\)=90-67=23).
सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A^c=\{6,7,8,9,10\}\) और \(B^c=\{1,2,3,9,10\}\) हैं। इसलिए \(A^c-B^c\) में वे अवयव होंगे जो \(A^c\) में हैं, लेकिन \(B^c\) में नहीं: \(\{6,7,8\}\)। ध्यान रखें कि \(A^c-B^c=A^c\cap B\), इसलिए विकल्प B, जो केवल \(A^c\) के कुछ अवयवों से संबंधित है, सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों पूरकों को लिखकर अंतर ज्ञात करें। / Relative to the universal set, \(A^c=\{6,7,8,9,10\}\) and \(B^c=\{1,2,3,9,10\}\). Thus, \(A^c-B^c\) contains the elements that belong to \(A^c\) but not to \(B^c\), namely \(\{6,7,8\}\). Equivalently, \(A^c-B^c=A^c\cap B\). Option B is not correct because it does not represent the elements common to \(A^c\) and \(B\). Exam tip: find both complements with respect to \(U\) before taking the difference.
B − A में वे अवयव होंगे जो B में हैं लेकिन A में नहीं हैं, इसलिए B − A = {1,4}। U के सापेक्ष इसका पूरक U में मौजूद उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो {1,4} में नहीं हैं; अतः (B − A)ᶜ = {2,3,5,6,7,8,9}। विकल्प B केवल अंतर समुच्चय है, पूरक नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूरक निकालते समय पहले अंतर समुच्चय ज्ञात करके उसे U से घटाएँ। / The set B − A contains elements that are in B but not in A, so B − A = {1,4}. Its complement with respect to U contains every element of U that is not in {1,4}; hence (B − A)ᶜ = {2,3,5,6,7,8,9}. Option B is only the difference set, not its complement. Exam tip: Find the difference first, then remove its elements from the universal set.
(4) के (10) और (5) के (8) गुणज हैं, साझा (20) के (2) गुणज हैं। इसलिए (n(A)=10+8-2=16) और (n\(A^c\)=24)। / There are (10) multiples of (4) and (8) multiples of (5), with (2) common multiples of (20). Thus (n(A)=10+8-2=16), so (n\(A^c\)=24).
