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पहले स्थान के लिए (5) फिर (4) और फिर (3) विकल्प हैं इसलिए \(5 \times 4 \times 3=60\)। बिना पुनरावृत्ति में हर अगले स्थान पर विकल्प घटते हैं। / There are (5) choices for the first place then (4) and then (3) so \(5 \times 4 \times 3=60\). Without repetition choices decrease at each next place.
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं फिर (4) और फिर (3) विकल्प हैं इसलिए \(4 \times 4 \times 3=48\) नहीं बल्कि रुके हुए अंक के बाद विकल्प (4) और (3) हैं। सही गणना \(4 \times 4 \times 3=48\) है। / There are (4) choices for the first place then (4) and (3) choices so \(4 \times 4 \times 3=48\). Always handle the leading zero restriction first.
इकाई स्थान के लिए (3) सम विकल्प हैं फिर (5) और (4) विकल्प बचते हैं इसलिए \(3 \times 5 \times 4=60\)। सम संख्या में इकाई स्थान पहले तय करें। / There are (3) even choices for the unit place then (5) and (4) choices remain so \(3 \times 5 \times 4=60\). For even numbers fix the unit place first.
अंतिम अंक (0) हो तो \(4 \times 3=12\) और अंतिम अंक गैर-शून्य सम हो तो \(4 \times 3 \times 3=36\) तरीके हैं। कुल (12+36=48) है। / If the last digit is (0) there are \(4 \times 3=12\) ways and if it is non-zero even there are \(4 \times 3 \times 3=36\) ways. The total is (12+36=48).
इकाई स्थान पर (3) विषम विकल्प हैं और बाकी तीन स्थानों पर (5,4,3) विकल्प हैं इसलिए \(3 \times 5 \times 4 \times 3=180\)। विषम संख्या में अंतिम स्थान पहले तय करें। / There are (3) odd choices for the unit place and (5,4,3) choices for the remaining places so \(3 \times 5 \times 4 \times 3=180\). For odd numbers fix the last place first.
अक्षरों के लिए \(4 \times 3\) और अंकों के लिए \(3 \times 2\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 3 \times 3 \times 2=72\) है। / For letters there are \(4 \times 3\) ways and for digits \(3 \times 2\) ways. The total is \(4 \times 3 \times 3 \times 2=72\).
दो अक्षर स्थानों के लिए \(5 \times 5\) और अंक के लिए (4) विकल्प हैं इसलिए \(5 \times 5 \times 4=100\)। पुनरावृत्ति हो तो विकल्प कम नहीं होते। / For the two letter positions there are \(5 \times 5\) choices and for the digit (4) choices so \(5 \times 5 \times 4=100\). When repetition is allowed choices do not decrease.
अक्षर भाग \(6 \times 5 \times 4\) और अंक भाग \(5 \times 4\) तरीकों से बनेगा। कुल \(6 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4=2400\) है। / The letter part can be made in \(6 \times 5 \times 4\) ways and the digit part in \(5 \times 4\) ways. The total is \(6 \times 5 \times 4 \times 5 \times 4=2400\).
घर से बाजार तक (3) रास्ते हैं और बाजार से विद्यालय तक (4) रास्ते हैं। वापसी में वही रास्ता किसी भी चरण में नहीं लेना है। घर से विद्यालय जाकर वापस घर आने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(3 \times 4\) और लौटने के लिए \(3 \times 2\) तरीके हैं। कुल \(3 \times 4 \times 3 \times 2=72\) है। / For going there are \(3 \times 4\) ways and for returning there are \(3 \times 2\) ways. The total is \(3 \times 4 \times 3 \times 2=72\).
स्टार्टर और मुख्य व्यंजन के लिए \(4 \times 5\) तरीके हैं और मिठाई के लिए (3+1=4) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5 \times 4=80\) है। / There are \(4 \times 5\) ways for starter and main course and (3+1=4) options for dessert. The total is \(4 \times 5 \times 4=80\).
एक विद्यार्थी को (6) विषयों में से एक मुख्य विषय चुनना है और उसी विषय को वैकल्पिक विषय के रूप में नहीं चुनना है। वैकल्पिक विषय के लिए बाकी (5) विषय उपलब्ध हैं। कुल चयन कितने हैं?
मुख्य विषय के लिए (6) और वैकल्पिक विषय के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / There are (6) choices for the main subject and (5) choices for the optional subject. The total is \(6 \times 5=30\).
एक परीक्षा में खंड (A) से (1) प्रश्न (5) तरीकों से और खंड (B) से (1) प्रश्न (6) तरीकों से चुना जाता है। फिर (2) प्रस्तुति भाषाओं में से एक भाषा चुनी जाती है। कुल तरीके कितने हैं?
प्रश्न चयन के \(5 \times 6\) तरीके हैं और भाषा के (2) तरीके हैं। कुल \(5 \times 6 \times 2=60\) है। / Question selection has \(5 \times 6\) ways and language has (2) ways. The total is \(5 \times 6 \times 2=60\).
पहले स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (5) विकल्प हैं फिर (5,4,3) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\) है। / The first place cannot be (0) so it has (5) choices then (5,4,3) choices. The total is \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\).
इकाई स्थान पर (4) विषम विकल्प हैं फिर सैकड़ा स्थान पर (3) गैर-शून्य विकल्प और दहाई पर (3) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 3 \times 3=36\) है। / There are (4) odd choices for the unit place then (3) non-zero choices for the hundred place and (3) choices for the ten place. The total is \(4 \times 3 \times 3=36\).
पहले स्थान के लिए (6) विकल्प और बाकी तीन स्थानों के लिए (7) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 7^3=2058\) है। / There are (6) choices for the first place and (7) choices for each of the other three places. The total is \(6 \times 7^3=2058\).
पहले स्थान के लिए (3) विकल्प और हर अगले स्थान के लिए (2) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 2^4=48\) है। / There are (3) choices for the first place and (2) choices for each next place. The total is \(3 \times 2^4=48\).
एक मंच कार्यक्रम में पहले वक्ता के लिए (5) विद्यार्थी और दूसरे वक्ता के लिए बाकी विद्यार्थी उपलब्ध हैं। एक ही विद्यार्थी दोनों बार नहीं बोल सकता। कुल क्रमबद्ध चयन कितने हैं?
पहले वक्ता के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4=20\) क्रमबद्ध चयन हैं। / There are (5) choices for the first speaker and (4) for the second. The total is \(5 \times 4=20\) ordered selections.
तीनों विशेषताएं स्वतंत्र हैं इसलिए \(4 \times 3 \times 2=24\)। डिजाइन गिनते समय हर स्वतंत्र घटक को गुणा करें। / The three features are independent so \(4 \times 3 \times 2=24\). While counting designs multiply every independent component.
केंद्र समय और भाषा के चुनाव स्वतंत्र हैं। कुल \(4 \times 3 \times 2=24\) विकल्प हैं। / The choices of center time and language are independent. The total is \(4 \times 3 \times 2=24\) options.
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं फिर (4) और (3) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 4 \times 3=48\) है। / There are (4) choices for the first place then (4) and (3) choices remain. The total is \(4 \times 4 \times 3=48\).
पहले मामले में \(3 \times 4=12\) तरीके और दूसरे में (5) तरीके हैं। दोनों अलग विकल्प हैं इसलिए कुल (12+5=17) है। / The first case has \(3 \times 4=12\) ways and the second has (5) ways. The cases are alternatives so the total is (12+5=17).
कार्ड के लिए सदस्यता प्रकार, वैधता अवधि और रंग—तीन स्वतंत्र विकल्प चुने जाते हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल विकल्प \(2 \times 4 \times 3=24\) होंगे। विकल्प 18 जोड़ने जैसी गलत गणना से आ सकता है, जबकि स्वतंत्र चरणों के विकल्पों को गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक चरण का हर विकल्प अगले चरण के प्रत्येक विकल्प के साथ बन सकता है, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / A card is formed by independently choosing a membership type, a validity period, and a colour. By the fundamental principle of counting, the total number of options is \(2 \times 4 \times 3=24\). Option 18 may result from incorrectly adding choices; independent stages are multiplied. Exam tip: Multiply the numbers of choices when every choice at one stage can be paired with every choice at the next stage.
श्रेणी पंक्ति और सीट तीन स्तर हैं इसलिए \(3 \times 6 \times 4=72\)। संरचना वाले चयन में स्तरों को गुणा करें। / Class row and seat are three levels so \(3 \times 6 \times 4=72\). In structured selection multiply the levels.
दहाई स्थान (5,6,7) में से होगा और इकाई स्थान पर बचे (6) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 6=18\) है। / The tens place is one of (5,6,7) and the unit place has (6) remaining choices. The total is \(3 \times 6=18\).
सैकड़ा स्थान (1) या (2) हो सकता है और बाकी दोनों स्थानों पर (6) विकल्प हैं। कुल \(2 \times 6 \times 6=72\) है। / The hundred place can be (1) or (2) and the other two places have (6) choices each. The total is \(2 \times 6 \times 6=72\).
एक (4)-स्थान कोड में पहला और अंतिम स्थान अक्षर हैं तथा बीच के (2) स्थान अंक हैं। (5) अक्षर और (6) अंक उपलब्ध हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कोड कितने हैं?
अक्षर स्थानों के लिए \(5 \times 5\) और अंक स्थानों के लिए \(6 \times 6\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 6 \times 6 \times 5=900\) है। / For letter places there are \(5 \times 5\) ways and for digit places \(6 \times 6\) ways. The total is \(5 \times 6 \times 6 \times 5=900\).
कमरा चुनने के लिए ब्लॉक मंजिल और कमरा तीन चरण हैं। कुल \(3 \times 4 \times 8=96\) है। / To choose a room block floor and room are three stages. The total is \(3 \times 4 \times 8=96\).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और अगले दो स्थानों के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 3 \times 3=36\) है। / There are (4) choices for the first place and (3) choices for each of the next two places. The total is \(4 \times 3 \times 3=36\).
प्रत्येक विभाग कोड के साथ 6 कर्मचारी कोड जोड़े जा सकते हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल पहचानें \(5 \times 6=30\) होंगी। \(5+6=11\) जोड़ का परिणाम है, जो यहाँ लागू नहीं होता क्योंकि दोनों कोडों का एक-एक चयन साथ में किया जाता है। परीक्षा टिप: जब किसी कार्य के चरण क्रमशः पूरे होते हों, तो विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / Each department code can be paired with any of the 6 employee codes. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of identities is \(5 \times 6=30\). The value \(5+6=11\) would result from addition, which is not applicable because one code from each group is selected together. Exam tip: Multiply the numbers of choices when a task is completed through successive steps.
विषय स्तर और भाषा के लिए क्रमशः (4,5,2) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5 \times 2=40\) है। / There are (4,5,2) choices for subject level and language respectively. The total is \(4 \times 5 \times 2=40\).
हर पोशाक बनाने के लिए 4 शर्टों में से 1 शर्ट, 3 पतलूनों में से 1 पतलून और 2 बेल्टों में से 1 बेल्ट चुनी जाती है। रंग मिलाने की कोई शर्त नहीं है, इसलिए प्रत्येक चयन स्वतंत्र है। अतः कुल पोशाकें \(4 \times 3 \times 2 = 24\) होंगी। 12 केवल शर्ट और पतलून के चयन गिनता है तथा बेल्ट के विकल्प को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए गुणन सिद्धांत का प्रयोग करें। / To form one outfit, choose 1 of the 4 shirts, 1 of the 3 trousers, and 1 of the 2 belts. Since there is no colour-matching restriction, these choices are independent. Hence, the total number of outfits is \(4 \times 3 \times 2 = 24\). Option 12 counts only the shirt-trouser choices and ignores the belt choices. Exam tip: use the multiplication principle when each stage has independent choices.
क्लब, खेल और शिफ्ट तीन स्वतंत्र चयन हैं। प्रत्येक क्लब के लिए 4 खेल और प्रत्येक खेल के लिए 2 शिफ्ट उपलब्ध हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(3 \times 4 \times 2=24\) होंगे। \(12\) केवल क्लब और खेल चुनने पर मिलता है; इसमें शिफ्ट का चयन शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: जब सभी चयन साथ-साथ किए जाते हैं, तो उनके विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें। / Choosing a club, a sport, and a shift are three independent choices. For each club, there are 4 sport choices, and for each sport, there are 2 shift choices. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(3 \times 4 \times 2=24\). The value \(12\) counts only the club and sport choices and misses the shift choice. Exam tip: Multiply the number of choices when all selections are made together.
एक रेलवे यात्रा में शहर (A) से (B) तक (4) ट्रेनें और (B) से (C) तक (5) ट्रेनें हैं। यदि पूरी यात्रा (A) से (C) तक (B) होकर करनी है तो कुल तरीके कितने हैं?
पहले चरण में (4) और दूसरे चरण में (5) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5=20\) तरीके हैं। / There are (4) choices in the first stage and (5) in the second stage. The total is \(4 \times 5=20\) ways.
एक (3)-अंकीय संख्या में सैकड़ा स्थान (1,2,3) में से और इकाई स्थान (5,7,9) में से होना चाहिए। दहाई स्थान (0) से (9) तक कोई अंक हो सकता है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
सैकड़ा स्थान के (3) दहाई स्थान के (10) और इकाई स्थान के (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 10 \times 3=90\) है। / There are (3) choices for the hundred place (10) for the ten place and (3) for the unit place. The total is \(3 \times 10 \times 3=90\).
स्वरों के लिए \(3 \times 2\) और व्यंजनों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(3 \times 2 \times 5 \times 4=120\) है। / For vowels there are \(3 \times 2\) ways and for consonants \(5 \times 4\) ways. The total is \(3 \times 2 \times 5 \times 4=120\).
पेय अकेला लेने के (5) तरीके और पेय के साथ नाश्ता लेने के \(5 \times 4=20\) तरीके हैं। कुल (5+20=25) है। / There are (5) ways to take only a drink and \(5 \times 4=20\) ways to take a drink with a snack. The total is (5+20=25).
कप्तान के लिए (6) लड़के और उपकप्तान के लिए (4) लड़कियां हैं। कुल \(6 \times 4=24\) तरीके हैं। / There are (6) boys for captain and (4) girls for vice-captain. The total is \(6 \times 4=24\) ways.
पहला स्थान पहले से ही 1 निश्चित है, इसलिए उसके लिए कोई विकल्प नहीं बचता। शेष 4 स्थानों में से प्रत्येक पर 0 या 1 लिखा जा सकता है, अर्थात प्रत्येक स्थान के लिए 2 विकल्प हैं। गुणन के मूल सिद्धांत से कुल स्ट्रिंगों की संख्या \(2\times2\times2\times2=2^4=16\) होगी। विकल्प 32 तब होता, जब सभी 5 स्थानों के लिए 2-2 विकल्प होते। परीक्षा टिप: निश्चित स्थानों को पहले अलग करें, फिर केवल स्वतंत्र स्थानों के विकल्पों का गुणन करें। / The first position is already fixed as 1, so it has no remaining choice. Each of the other 4 positions can contain either 0 or 1, giving 2 choices per position. By the fundamental principle of counting, the total number of strings is \(2\times2\times2\times2=2^4=16\). The answer would be 32 only if all 5 positions had 2 choices each. Exam tip: first identify fixed positions, then multiply the choices for the remaining independent positions.
आकार रंग और प्रिंट के चुनाव स्वतंत्र हैं। कुल \(4 \times 5 \times 3=60\) प्रकार हैं। / The choices of size color and print are independent. The total is \(4 \times 5 \times 3=60\) types.
पहला स्थान तय है। बाकी दो स्थानों के लिए (5) और (4) विकल्प बचते हैं इसलिए \(5 \times 4=20\)। / The first place is fixed. For the remaining two places (5) and (4) choices remain so \(5 \times 4=20\).
एक (4)-अंकीय संख्या में पहले दो स्थानों पर (1) से (5) तक के अंक और अंतिम दो स्थानों पर (6) से (9) तक के अंक रखे जाते हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
पहले दो स्थानों के लिए \(5 \times 5\) और अंतिम दो के लिए \(4 \times 4\) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 5 \times 4 \times 4=400\) है। / The first two places have \(5 \times 5\) choices and the last two have \(4 \times 4\) choices. The total is \(5 \times 5 \times 4 \times 4=400\).
थीम, फॉन्ट और आइकन सेट में से प्रत्येक का एक विकल्प चुनना स्वतंत्र चयन है। इसलिए गुणन के मूल सिद्धांत से कुल इंटरफेसों की संख्या \(3 \times 4 \times 5=60\) होगी। विकल्प 12 केवल \(3 \times 4\) लेने पर मिलता है, जिसमें आइकन सेट के 5 विकल्प छूट जाते हैं। परीक्षा टिप: जब हर चरण का प्रत्येक विकल्प अगले चरण के हर विकल्प के साथ जोड़ा जा सकता हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / Choosing one theme, one font, and one icon set involves independent choices. By the fundamental principle of counting, the total number of interfaces is \(3 \times 4 \times 5=60\). Option 12 results from calculating only \(3 \times 4\) and ignores the 5 icon-set choices. Exam tip: multiply the numbers of choices when every choice at one stage can be paired with every choice at the next stage.
अध्याय के (5) विकल्प और प्रत्येक में (6) प्रश्न विकल्प हैं। कुल \(5 \times 6=30\) चयन हैं। / There are (5) chapter choices and (6) question choices in each. The total is \(5 \times 6=30\) selections.
सिक्के के (2) पासे के (6) और रंग के (3) परिणाम हैं। कुल \(2 \times 6 \times 3=36\) है। / The coin has (2) outcomes the die has (6) and the color has (3). The total is \(2 \times 6 \times 3=36\).
अध्यक्ष के लिए (4) विकल्प हैं और सचिव के लिए फिर (3) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 3=12\) है। / There are (4) choices for president and then (3) choices remain for secretary. The total is \(4 \times 3=12\).
सैकड़ा स्थान (4,5,6) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (5) और (4) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 5 \times 4=60\) है। / The hundred place is one of (4,5,6) and the other two places have (5) and (4) choices. The total is \(3 \times 5 \times 4=60\).
एक (4)-स्थान कोड में पहले स्थान पर (3) अक्षर विकल्प हैं दूसरे पर (4) अंक विकल्प हैं तीसरे पर (2) प्रतीक विकल्प हैं और चौथे पर (5) रंग विकल्प हैं। कुल कोड कितने हैं?
चारों स्थानों के विकल्प क्रमशः (3,4,2,5) हैं। कुल \(3 \times 4 \times 2 \times 5=120\) है। / The choices for the four places are (3,4,2,5) respectively. The total is \(3 \times 4 \times 2 \times 5=120\).
एक दुकानदार के पास (4) प्रकार के पैकेट और (6) प्रकार के लेबल हैं। यदि एक पैकेट और एक लेबल चुनना है लेकिन (2) विशेष जोड़ियां अनुमति नहीं हैं तो कुल मान्य विकल्प कितने हैं?
बिना रोक के \(4 \times 6=24\) जोड़ियां हैं। (2) अमान्य जोड़ियां हटाने पर (24-2=22) मान्य विकल्प बचते हैं। / Without restriction there are \(4 \times 6=24\) pairs. After removing (2) invalid pairs (24-2=22) valid options remain.
दहाई स्थान के (4) विकल्प और इकाई स्थान के (5) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 5=20\) है। / There are (4) choices for the tens place and (5) choices for the unit place. The total is \(4 \times 5=20\).
कक्षा विषय टेस्ट प्रकार और भाषा चार स्वतंत्र चुनाव हैं। कुल \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\) है। / Class subject test type and language are four independent choices. The total is \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\).
इकाई स्थान पर (2,4,6) के (3) विकल्प हैं फिर (6) और (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(3 \times 6 \times 5=90\) है। / There are (3) choices (2,4,6) for the unit place then (6) and (5) choices remain. The total is \(3 \times 6 \times 5=90\).
इकाई स्थान के लिए (1,3,5) के (3) विकल्प हैं और सैकड़ा स्थान पर (5) गैर-शून्य विकल्प बचते हैं। कुल \(3 \times 5 \times 5=75\) है। / There are (3) choices (1,3,5) for the unit place and (5) non-zero choices remain for the hundred place. The total is \(3 \times 5 \times 5=75\).
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प हैं फिर (5,4,3) विकल्प बचते हैं। कुल \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\) है। / There are (5) choices for the first place then (5,4,3) choices remain. The total is \(5 \times 5 \times 4 \times 3=300\).
अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) और अंकों के लिए \(6 \times 5\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 6 \times 5=600\) है। / For letters there are \(5 \times 4\) ways and for digits \(6 \times 5\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 6 \times 5=600\).
तीन अक्षर स्थानों के लिए \(4^3\) और अंक के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(4^3 \times 5=320\) है। / There are \(4^3\) choices for three letter places and (5) choices for the digit. The total is \(4^3 \times 5=320\).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और हर अगले स्थान के लिए (3) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 3^4=324\) है। / There are (4) choices for the first place and (3) choices for each next place. The total is \(4 \times 3^4=324\).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं फिर (5) और (4) विकल्प बचते हैं। कुल \(4 \times 5 \times 4=80\) है। / There are (4) choices for the first place then (5) and (4) choices remain. The total is \(4 \times 5 \times 4=80\).
घर से कोचिंग तक (3) रास्ते हैं और कोचिंग से पुस्तकालय तक (5) रास्ते हैं। लौटते समय किसी भी चरण में वही रास्ता नहीं लेना है। आने-जाने के कुल तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(3 \times 5\) तरीके हैं और लौटने के लिए \(4 \times 2\) तरीके हैं। कुल \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\) है। / For going there are \(3 \times 5\) ways and for returning there are \(4 \times 2\) ways. The total is \(3 \times 5 \times 4 \times 2=120\).
सूप और मुख्य व्यंजन के लिए \(4 \times 6\) तरीके हैं और मिठाई के लिए (3+1=4) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 6 \times 4=96\) है। / There are \(4 \times 6\) ways for soup and main dish and (3+1=4) dessert options. The total is \(4 \times 6 \times 4=96\).
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प और बाकी तीन स्थानों के लिए (6) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 6^3=1080\) है। / There are (5) choices for the first place and (6) choices for each of the other three places. The total is \(5 \times 6^3=1080\).
प्रत्येक 5 खंडों में से एक प्रश्न चुनने के 2 स्वतंत्र विकल्प हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल चयन तरीके \(2\times2\times2\times2\times2=2^5=32\) होंगे। \(25\) तब मिलता यदि प्रत्येक खंड में 5 विकल्प होते; यहाँ हर खंड में केवल 2 विकल्प हैं। परीक्षा टिप: अलग-अलग चरणों के विकल्प स्वतंत्र हों, तो उनके विकल्पों की संख्या को गुणा करें। / There are 2 independent choices in each of the 5 sections. By the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(2\times2\times2\times2\times2=2^5=32\). The value \(25\) would arise if there were 5 choices in each of 2 stages; here, each section has only 2 choices. Exam tip: multiply the number of choices when selections at successive stages are independent.
दहाई स्थान (6,7,8) में से होगा और इकाई स्थान पर बचे (7) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 7=21\) है। / The tens place is one of (6,7,8) and the unit place has (7) remaining choices. The total is \(3 \times 7=21\).
पहले दो स्थानों के लिए \(3 \times 3\) और अंतिम दो के लिए \(4 \times 4\) विकल्प हैं। कुल \(3^2 \times 4^2=144\) है। / The first two places have \(3 \times 3\) choices and the last two have \(4 \times 4\) choices. The total is \(3^2 \times 4^2=144\).
एक क्लब में अध्यक्ष के लिए (6) विद्यार्थी और सचिव के लिए वही (6) विद्यार्थी उपलब्ध हैं। एक ही विद्यार्थी दोनों पद नहीं ले सकता। कुल नियुक्तियां कितनी हैं?
अध्यक्ष के लिए (6) विकल्प हैं और सचिव के लिए (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / There are (6) choices for president and (5) choices remain for secretary. The total is \(6 \times 5=30\).
पहले मामले में \(4 \times 5=20\) तरीके और दूसरे मामले में (3) तरीके हैं। कुल (20+3=23) है। / The first case has \(4 \times 5=20\) ways and the second case has (3) ways. The total is (20+3=23).
एक सीट चुनने के लिए 3 श्रेणियों में से 1 श्रेणी, 7 पंक्तियों में से 1 पंक्ति और उस पंक्ति की 4 सीटों में से 1 सीट चुनी जाती है। गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(3 \times 7 \times 4=84\) हैं। विकल्प 42 केवल श्रेणियों और पंक्तियों की संख्या \(3 \times 7\) है, इसमें प्रत्येक पंक्ति की 4 सीटें शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: क्रमिक विकल्पों के सभी चरणों की संख्या को गुणा करें। / To choose one seat, select 1 of the 3 classes, then 1 of the 7 rows, and then 1 of the 4 seats in that row. By the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(3 \times 7 \times 4=84\). Option 42 counts only the classes and rows, \(3 \times 7\), and ignores the 4 seats in each row. Exam tip: multiply the number of choices at every successive stage.
सैकड़ा स्थान (1,2,3,4) में से होगा और बाकी दोनों स्थानों पर (8) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 8 \times 8=256\) है। / The hundred place is one of (1,2,3,4) and the other two places have (8) choices each. The total is \(4 \times 8 \times 8=256\).
फिल्टर और फ्रेम के \(5 \times 4\) तरीके हैं और स्टिकर के (3+1=4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4 \times 4=80\) है। / There are \(5 \times 4\) ways for filter and frame and (3+1=4) sticker options. The total is \(5 \times 4 \times 4=80\).
स्वरों के लिए \(4 \times 3\) और व्यंजनों के लिए \(6 \times 5\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 3 \times 6 \times 5=360\) है। / For vowels there are \(4 \times 3\) ways and for consonants \(6 \times 5\) ways. The total is \(4 \times 3 \times 6 \times 5=360\).
चार स्वतंत्र चुनाव हैं इसलिए \(5 \times 4 \times 3 \times 2=120\)। बहु-चरण चयन में सभी विकल्प गुणा करें। / There are four independent choices so \(5 \times 4 \times 3 \times 2=120\). In multi-stage selection multiply all choices.
सैकड़ा स्थान (5,6,7,8) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (6) और (5) विकल्प होंगे। कुल \(4 \times 6 \times 5=120\) है। / The hundred place is one of (5,6,7,8) and the other two places have (6) and (5) choices. The total is \(4 \times 6 \times 5=120\).
एक छात्र को (5) अध्यायों में से एक अध्याय और चुने गए अध्याय के (8) प्रश्नों में से एक प्रश्न चुनना है। फिर (2) उत्तर भाषाओं में से एक भाषा चुननी है। कुल तरीके कितने हैं?
अध्याय के (5) प्रश्न के (8) और भाषा के (2) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 8 \times 2=80\) है। / There are (5) chapter choices (8) question choices and (2) language choices. The total is \(5 \times 8 \times 2=80\).
प्रत्येक सिक्के के 2 संभावित परिणाम होते हैं। इसलिए 2 सिक्कों के लिए कुल परिणाम \(2\times2=4\) होंगे। पासे के 6 संभावित परिणाम होते हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल परिणाम \(4\times6=24\) हैं, इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 12 में केवल एक सिक्के और पासे के परिणामों को गिना जाता है; उसमें दूसरे सिक्के को छोड़ दिया जाता है। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र क्रियाओं के कुल परिणाम पाने के लिए प्रत्येक क्रिया के संभावित परिणामों का गुणन करें। / Each coin has 2 possible outcomes, so tossing 2 coins gives \(2\times2=4\) outcomes. A die has 6 possible outcomes. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of outcomes is \(4\times6=24\), so option C is correct. Option 12 counts only one coin and the die, ignoring the second coin. Exam tip: For successive independent actions, multiply the number of possible outcomes at each stage.
पहला और अंतिम स्थान तय हैं और बीच के (4) स्थानों पर (2) विकल्प हैं। कुल \(2^4=16\) है। / The first and last places are fixed and the middle (4) places have (2) choices each. The total is \(2^4=16\).
बिना रोक के \(5 \times 7=35\) जोड़ियां हैं। (3) अमान्य जोड़ियां हटाने पर (35-3=32) विकल्प बचते हैं। / Without restriction there are \(5 \times 7=35\) pairs. After removing (3) invalid pairs (35-3=32) options remain.
एक (3)-स्थान संकेत में पहला स्थान (4) रंगों में से और बाकी दो स्थान (5) आकारों में से चुने जाते हैं। आकारों में पुनरावृत्ति नहीं है। कुल संकेत कितने हैं?
रंग के (4) विकल्प हैं और दो आकारों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 5 \times 4=80\) है। / There are (4) choices for color and \(5 \times 4\) ways for two shapes. The total is \(4 \times 5 \times 4=80\).
पहले दो स्थानों के लिए \(3 \times 2\) और अंतिम दो के लिए \(3 \times 2\) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 2 \times 3 \times 2=36\) है। / The first two places have \(3 \times 2\) choices and the last two have \(3 \times 2\) choices. The total is \(3 \times 2 \times 3 \times 2=36\).
लड़का मॉनिटर (7) तरीकों से और लड़की सह-मॉनिटर (5) तरीकों से चुनी जा सकती है। कुल \(7 \times 5=35\) है। / The boy monitor can be chosen in (7) ways and the girl co-monitor in (5) ways. The total is \(7 \times 5=35\).
पहला स्थान निश्चित है और बाकी दो स्थानों के लिए (6) और (5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / The first place is fixed and the remaining two places have (6) and (5) choices. The total is \(6 \times 5=30\).
कक्षा विषय टेस्ट प्रकार और माध्यम चार स्वतंत्र चुनाव हैं। कुल \(4 \times 6 \times 5 \times 2=240\) है। / Class subject test type and medium are four independent choices. The total is \(4 \times 6 \times 5 \times 2=240\).
एक (3)-अंकीय संख्या में सैकड़ा स्थान (2,4,6) में से और इकाई स्थान (1,3,5,7) में से चुना जाता है। दहाई स्थान (0) से (9) तक कोई अंक हो सकता है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
सैकड़ा स्थान के (3) दहाई स्थान के (10) और इकाई स्थान के (4) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 10 \times 4=120\) है। / There are (3) choices for the hundred place (10) for the ten place and (4) for the unit place. The total is \(3 \times 10 \times 4=120\).
एक छात्र को (3) भाषाओं में से एक भाषा और (4) परियोजनाओं में से एक परियोजना चुननी है। यदि वह (2) प्रस्तुति मोड में से भी एक चुने तो कुल तरीके कितने हैं?
भाषा के लिए 3, परियोजना के लिए 4 और प्रस्तुति मोड के लिए 2 स्वतंत्र विकल्प हैं। गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीकों की संख्या \(3 \times 4 \times 2=24\) होगी। इसलिए सही उत्तर 24 है। विकल्प 12 केवल भाषा और परियोजना के चुनावों \(3 \times 4\) को गिनता है तथा प्रस्तुति मोड के 2 विकल्पों को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: क्रमिक और स्वतंत्र चुनावों में प्रत्येक चरण के विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / There are 3 independent choices for the language, 4 for the project, and 2 for the presentation mode. By the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(3 \times 4 \times 2=24\). Hence, 24 is correct. Option 12 counts only the language and project choices \(3 \times 4\) and omits the 2 presentation-mode choices. Exam tip: For successive independent choices, multiply the number of options at each stage.
एक (4)-स्थान पासवर्ड में (5) प्रतीक उपलब्ध हैं। पहला और दूसरा स्थान समान नहीं हो सकते लेकिन बाकी स्थानों पर पुनरावृत्ति मान्य है। कुल पासवर्ड कितने हैं?
पहले स्थान के लिए (5) दूसरे के लिए (4) और बाकी दो के लिए (5,5) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\) है। / There are (5) choices for the first place (4) for the second and (5,5) for the remaining two. The total is \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\).
मुख्य विषय के (6) विकल्प और सहायक विषय के लिए (5) विकल्प बचते हैं। कुल \(6 \times 5=30\) है। / There are (6) choices for the main subject and (5) choices remain for the supporting subject. The total is \(6 \times 5=30\).
एक ट्रेन यात्रा में (A) से (B) तक (5) ट्रेनें और (B) से (C) तक (4) ट्रेनें हैं। वापसी में वही (B) से (C) वाली ट्रेन नहीं लेनी है लेकिन (A) से (B) वाली ट्रेन दोबारा ली जा सकती है। कुल आने-जाने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं और लौटने में \(3 \times 5\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 5=300\) है। / For going there are \(5 \times 4\) ways and while returning there are \(3 \times 5\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 3 \times 5=300\).
चारों गुण स्वतंत्र हैं इसलिए \(4 \times 5 \times 3 \times 2=120\)। अवतार के अलग भागों को गुणा करें। / All four features are independent so \(4 \times 5 \times 3 \times 2=120\). Multiply the different parts of the avatar.
अंतिम अंक (0) हो तो \(6 \times 5 \times 4=120\) तरीके हैं और अंतिम अंक (2,4,6) हो तो \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\) तरीके हैं। कुल (420) है। / If the last digit is (0) there are \(6 \times 5 \times 4=120\) ways and if it is (2,4,6) there are \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\) ways. The total is (420).
पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं अंतिम वही तय हो जाएगा और बीच के (3) स्थानों पर (4) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 4^3=256\) है। / There are (4) choices for the first place the last is then fixed and the middle (3) places have (4) choices each. The total is \(4 \times 4^3=256\).
बिना रोक \(3 \times 4 \times 5=60\) कार्ड हैं। (2) रंग और (5) अवधि वाली (10) अमान्य स्थितियां हटाने पर (50) बचते हैं। / Without restriction there are \(3 \times 4 \times 5=60\) cards. Removing (2) colors with (5) periods gives (10) invalid cases so (50) remain.
सैकड़ा स्थान (2,3,4,5,6) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (7) और (6) विकल्प होंगे। कुल \(5 \times 7 \times 6=210\) है। / The hundred place is one of (2,3,4,5,6) and the other two places have (7) and (6) choices. The total is \(5 \times 7 \times 6=210\).
पहले स्थान के लिए (5) दूसरे के लिए (4) और बाकी दो स्थानों के लिए (5,5) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\) है। / There are (5) choices for the first place (4) for the second and (5,5) for the remaining two places. The total is \(5 \times 4 \times 5 \times 5=500\).
एक प्रतियोगिता में (8) प्रतिभागियों में से प्रथम और द्वितीय पुरस्कार अलग-अलग दिए जाते हैं। कोई प्रतिभागी दोनों पुरस्कार नहीं ले सकता। कुल परिणाम कितने हैं?
प्रथम पुरस्कार के लिए (8) विकल्प और द्वितीय के लिए (7) विकल्प बचते हैं। कुल \(8 \times 7=56\) है। / There are (8) choices for first prize and (7) choices remain for second prize. The total is \(8 \times 7=56\).
एक (3)-प्रश्न टेस्ट में पहले प्रश्न के (4) विकल्प दूसरे के (5) विकल्प और तीसरे के (3) विकल्प हैं। प्रत्येक प्रश्न का एक उत्तर चुनना है। कुल उत्तर पैटर्न कितने हैं?
तीनों प्रश्नों के विकल्प स्वतंत्र हैं। कुल \(4 \times 5 \times 3=60\) उत्तर पैटर्न हैं। / The options for the three questions are independent. The total is \(4 \times 5 \times 3=60\) answer patterns.
अंतिम स्थान के लिए (1,3,5) के (3) विकल्प हैं और पहले स्थान पर (5) गैर-शून्य विकल्प बचते हैं। कुल \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\) है। / There are (3) choices (1,3,5) for the last place and (5) non-zero choices remain for the first place. The total is \(3 \times 5 \times 5 \times 4=300\).
चार स्वतंत्र डिज़ाइन भाग हैं। कुल \(4 \times 3 \times 5 \times 2=120\) डिज़ाइन होंगे। / There are four independent design parts. The total is \(4 \times 3 \times 5 \times 2=120\) designs.
अंकों के लिए \(5 \times 4\) और अक्षरों के लिए \(4 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\) है। / For digits there are \(5 \times 4\) ways and for letters \(4 \times 3\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\).
केवल पेय के (6) तरीके हैं और पेय के साथ नाश्ते के \(6 \times 4=24\) तरीके हैं। कुल (6+24=30) है। / There are (6) ways for only a drink and \(6 \times 4=24\) ways for drink with snack. The total is (6+24=30).
पहले स्थान के (3) विकल्प हैं तीसरा वही तय होगा और दूसरे तथा चौथे स्थान पर (3,3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3 \times 3=27\) है। / There are (3) choices for the first place the third is then fixed and the second and fourth places have (3,3) choices. The total is \(3 \times 3 \times 3=27\).
बस, भोजन पैक और संग्रहालय के विकल्प स्वतंत्र चरण हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल योजनाएँ \(4 \times 5 \times 3 = 60\) होंगी। अतः विकल्प C सही है। \(4+5+3=12\) करना गलत है, क्योंकि यहाँ तीन अलग-अलग श्रेणियों में से एक-एक विकल्प चुनकर एक योजना बनती है। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक चरण में एक विकल्प चुनना हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / The bus, meal-pack, and museum choices are independent stages. By the fundamental principle of counting, the number of plans is \(4 \times 5 \times 3 = 60\). Therefore, option C is correct. Adding them to get \(4+5+3=12\) is incorrect because a plan requires one choice from each of the three categories. Exam tip: Multiply the numbers of choices when one option is selected at every stage.
पहले तीन स्थानों के लिए \(2^3\) और अंतिम दो के लिए \(5^2\) विकल्प हैं। कुल \(2^3 \times 5^2=200\) है। / The first three places have \(2^3\) choices and the last two have \(5^2\) choices. The total is \(2^3 \times 5^2=200\).
इकाई स्थान पर (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं फिर बाकी स्थानों पर (7,6,5) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 7 \times 6 \times 5=840\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the unit place and then (7,6,5) choices for the remaining places. The total is \(4 \times 7 \times 6 \times 5=840\).
हजार स्थान (1,2,3) में से होगा और बाकी तीन स्थानों पर (6,5,4) विकल्प बचेंगे। कुल \(3 \times 6 \times 5 \times 4=360\) है। / The thousand place is one of (1,2,3) and the remaining three places have (6,5,4) choices. The total is \(3 \times 6 \times 5 \times 4=360\).
अंतिम अंक (0) हो तो \(7 \times 6=42\) तरीके हैं और अंतिम अंक (2,4,6) हो तो \(3 \times 6 \times 6=108\) तरीके हैं। कुल (42+108=150) है। / If the last digit is (0) there are \(7 \times 6=42\) ways and if the last digit is (2,4,6) there are \(3 \times 6 \times 6=108\) ways. The total is (42+108=150).
अक्षरों के लिए \(7 \times 6\) और अंकों के लिए \(5 \times 4 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3=2520\) है। / For letters there are \(7 \times 6\) ways and for digits \(5 \times 4 \times 3\) ways. The total is \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3=2520\).
एक पासवर्ड में पहले (3) स्थान अक्षरों के और अंतिम (2) स्थान अंकों के हैं। अक्षरों के (4) विकल्प और अंकों के (6) विकल्प हैं तथा पुनरावृत्ति मान्य है। कुल पासवर्ड कितने हैं?
अक्षर स्थानों के लिए \(4^3\) और अंक स्थानों के लिए \(6^2\) विकल्प हैं। कुल \(4^3 \times 6^2=2304\) है। / There are \(4^3\) choices for letter places and \(6^2\) choices for digit places. The total is \(4^3 \times 6^2=2304\).
पहले स्थान के लिए (5) विकल्प हैं और हर अगले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 4^5=5120\) है। / There are (5) choices for the first place and (4) choices for each next place. The total is \(5 \times 4^5=5120\).
पहले स्थान के लिए (6) विकल्प हैं फिर (7) और (6) विकल्प बचते हैं। कुल \(6 \times 7 \times 6=252\) है। / There are (6) choices for the first place then (7) and (6) choices remain. The total is \(6 \times 7 \times 6=252\).
घर से केंद्र तक (4) रास्ते हैं और केंद्र से पुस्तकालय तक (6) रास्ते हैं। लौटते समय हर चरण में वही रास्ता नहीं लेना है। कुल आने-जाने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(4 \times 6\) तरीके हैं और लौटने के लिए \(5 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 6 \times 5 \times 3=360\) है। / For going there are \(4 \times 6\) ways and for returning there are \(5 \times 3\) ways. The total is \(4 \times 6 \times 5 \times 3=360\).
स्टार्टर और मुख्य व्यंजन के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। मिठाई के (3+1) और पेय के (2+1) विकल्प होने से कुल \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\) है। / There are \(5 \times 4\) ways for starter and main dish. Dessert has (3+1) options and drink has (2+1) options so the total is \(5 \times 4 \times 4 \times 3=240\).
एक (5)-अंकीय पिन में उपलब्ध अंक (0,1,2,3,4,5,6,7,8) हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और अंतिम अंक सम होना चाहिए। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल पिन कितने हैं?
पहले स्थान के लिए (8) विकल्प बीच के (3) स्थानों के लिए \(9^3\) विकल्प और अंतिम स्थान के लिए (5) सम विकल्प हैं। कुल \(8 \times 9^3 \times 5=29160\) है। / There are (8) choices for the first place \(9^3\) choices for the middle (3) places and (5) even choices for the last place. The total is \(8 \times 9^3 \times 5=29160\).
एक परीक्षा में (4) खंड हैं और प्रत्येक खंड में (3) वैकल्पिक प्रश्न हैं। हर खंड से एक प्रश्न चुनकर (2) भाषाओं में से एक भाषा चुननी है। कुल तरीके कितने हैं?
प्रश्न चयन के लिए \(3^4\) तरीके हैं और भाषा के लिए (2) तरीके हैं। कुल \(3^4 \times 2=162\) है। / There are \(3^4\) ways for question selection and (2) ways for language. The total is \(3^4 \times 2=162\).
दहाई स्थान (7,8,9) में से होगा और इकाई स्थान पर बचे (8) विकल्प होंगे। कुल \(3 \times 8=24\) है। / The tens place is one of (7,8,9) and the unit place has (8) remaining choices. The total is \(3 \times 8=24\).
एक कोड में पहले (3) स्थानों पर (5) अक्षर विकल्प और अंतिम (2) स्थानों पर (4) प्रतीक विकल्प हैं। अक्षरों में पुनरावृत्ति मान्य है पर प्रतीकों में नहीं। कुल कोड कितने हैं?
तीन अक्षर स्थानों के लिए \(5^3\) और दो अलग प्रतीकों के लिए \(4 \times 3\) तरीके हैं। कुल \(5^3 \times 4 \times 3=1500\) है। / There are \(5^3\) choices for three letter places and \(4 \times 3\) ways for two distinct symbols. The total is \(5^3 \times 4 \times 3=1500\).
तीन अलग पदों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5=210\) है। / For three different posts the choices are (7,6,5) respectively. The total is \(7 \times 6 \times 5=210\).
पोशाक के \(5 \times 3 \times 2=30\) तरीके हैं और बैग के (7) तरीके हैं। अलग मामलों को जोड़ने पर (30+7=37) है। / The outfit has \(5 \times 3 \times 2=30\) ways and the bag has (7) ways. Adding the separate cases gives (30+7=37).
एक सभागार में (5) ब्लॉक हैं प्रत्येक ब्लॉक में (6) पंक्तियां हैं और हर पंक्ति में (8) सीटें हैं। यदि (2) शिफ्टों में कार्यक्रम हो तो एक सीट-शिफ्ट चुनने के तरीके कितने हैं?
एक सीट-शिफ्ट निर्धारित करने के लिए एक ब्लॉक, उस ब्लॉक की एक पंक्ति, उस पंक्ति की एक सीट और एक शिफ्ट चुननी होती है। गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(5 \times 6 \times 8 \times 2=480\) हैं। विकल्प 240 में शिफ्टों के 2 विकल्पों को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या के लिए उनके विकल्पों को गुणा करें। / To specify one seat-shift, choose a block, a row in that block, a seat in that row, and a shift. By the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(5 \times 6 \times 8 \times 2=480\). Option 240 misses the 2 choices of shift. Exam tip: Multiply the numbers of choices at successive independent stages.
हजार स्थान (2,3,4,5) में से होगा और बाकी तीन स्थानों पर (10) विकल्प हैं। कुल \(4 \times 10^3=4000\) है। / The thousand place is one of (2,3,4,5) and the remaining three places have (10) choices each. The total is \(4 \times 10^3=4000\).
फिल्टर और फ्रेम के \(6 \times 5\) तरीके हैं और स्टिकर के (4+1=5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5 \times 5=150\) है। / There are \(6 \times 5\) ways for filter and frame and (4+1=5) sticker options. The total is \(6 \times 5 \times 5=150\).
स्वरों के लिए \(5 \times 4 \times 3\) और व्यंजनों के लिए \(7 \times 6\) तरीके हैं। कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 7 \times 6=2520\) है। / For vowels there are \(5 \times 4 \times 3\) ways and for consonants \(7 \times 6\) ways. The total is \(5 \times 4 \times 3 \times 7 \times 6=2520\).
पांच स्वतंत्र चुनाव हैं इसलिए कुल \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2=720\) है। बड़े प्रश्न में भी हर चरण को अलग लिखें। / There are five independent choices so the total is \(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2=720\). Even in a long question write each stage separately.
हजार स्थान (6,7,8,9) में से होगा और बाकी स्थानों पर (8,7,6) विकल्प होंगे। कुल \(4 \times 8 \times 7 \times 6=1344\) है। / The thousand place is one of (6,7,8,9) and the remaining places have (8,7,6) choices. The total is \(4 \times 8 \times 7 \times 6=1344\).
अध्याय प्रश्न और कठिनाई स्तर के विकल्प क्रमशः (6,7,3) हैं। कुल \(6 \times 7 \times 3=126\) है। / The choices for chapter question and difficulty level are (6,7,3) respectively. The total is \(6 \times 7 \times 3=126\).
तीन सिक्कों के \(2^3\) परिणाम और दो पासों के \(6^2\) परिणाम हैं। कुल \(2^3 \times 6^2=288\) है। / Three coins have \(2^3\) outcomes and two dice have \(6^2\) outcomes. The total is \(2^3 \times 6^2=288\).
पहला और अंतिम स्थान तय हैं और बीच के (5) स्थानों पर (2) विकल्प हैं। कुल \(2^5=32\) है। / The first and last places are fixed and the middle (5) places have (2) choices each. The total is \(2^5=32\).
एक दुकानदार के पास (6) पैकेट प्रकार और (8) लेबल प्रकार हैं। (4) जोड़ियां अनुमति नहीं हैं और हर मान्य जोड़ी (3) आकारों में मिलती है। कुल मान्य विकल्प कितने हैं?
बिना रोक \(6 \times 8=48\) जोड़ियां हैं। (4) हटाने पर (44) जोड़ियां बचती हैं और \(44 \times 3=132\) विकल्प मिलते हैं। / Without restriction there are \(6 \times 8=48\) pairs. Removing (4) leaves (44) pairs and \(44 \times 3=132\) options.
एक (4)-स्थान संकेत में पहला स्थान (5) रंगों से दूसरा और तीसरा स्थान (6) अलग-अलग आकारों से और चौथा स्थान (4) चिह्नों से चुना जाता है। कुल संकेत कितने हैं?
रंग के (5) विकल्प आकारों के \(6 \times 5\) तरीके और चिह्न के (4) विकल्प हैं। कुल \(5 \times 6 \times 5 \times 4=600\) है। / There are (5) color choices \(6 \times 5\) ways for shapes and (4) icon choices. The total is \(5 \times 6 \times 5 \times 4=600\).
एक (4)-अंकीय संख्या के पहले (2) अंक (1,2,3,4) से और अंतिम (2) अंक (5,6,7,8,9) से चुने जाते हैं। दोनों भागों में पुनरावृत्ति नहीं है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
पहले दो स्थानों के लिए \(4 \times 3\) और अंतिम दो स्थानों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(4 \times 3 \times 5 \times 4=240\) है। / The first two places have \(4 \times 3\) ways and the last two places have \(5 \times 4\) ways. The total is \(4 \times 3 \times 5 \times 4=240\).
लड़का लड़की और सदन के विकल्प क्रमशः (8,6,3) हैं। कुल \(8 \times 6 \times 3=144\) है। / The choices for boy girl and house are (8,6,3) respectively. The total is \(8 \times 6 \times 3=144\).
पहला स्थान तय है। अंतिम स्थान के लिए (6) विकल्प हैं और बीच के स्थान के लिए (6) विकल्प बचते हैं इसलिए \(6 \times 6=36\)। / The first place is fixed. There are (6) choices for the last place and (6) choices remain for the middle place so \(6 \times 6=36\).
प्रत्येक मॉडल के लिए 4 रंगों में से एक रंग, 6 स्टोरेज विकल्पों में से एक विकल्प और 2 वारंटी योजनाओं में से एक योजना चुनी जा सकती है। मूलभूत गणना सिद्धांत के अनुसार कुल विकल्प \(5 \times 4 \times 6 \times 2=240\) होंगे। इसलिए विकल्प C सही है। 360 प्राप्त करना गलत गुणन या किसी विकल्प को अनावश्यक रूप से दो बार गिनने से हो सकता है। परीक्षा टिप: स्वतंत्र चरणों में चयन होने पर उनके विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / For each model, one of 4 colours, one of 6 storage options, and one of 2 warranty plans can be selected. By the fundamental principle of counting, the total number of options is \(5 \times 4 \times 6 \times 2=240\). Hence, option C is correct. A result such as 360 would come from incorrect multiplication or double-counting a choice. Exam tip: When choices are made in independent stages, multiply the number of choices at each stage.
एक (3)-अंकीय संख्या में सैकड़ा स्थान (2,4,6) से और इकाई स्थान (2,3,5,7) से चुना जाता है। दहाई स्थान (0) से (9) तक कोई भी अंक हो सकता है। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल संख्याएं कितनी हैं?
सैकड़ा स्थान के (3) दहाई स्थान के (10) और इकाई स्थान के (4) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 10 \times 4=120\) है। / There are (3) choices for the hundred place (10) for the ten place and (4) for the unit place. The total is \(3 \times 10 \times 4=120\).
भाषा, परियोजना और प्रस्तुति मोड के चुनाव स्वतंत्र हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल तरीकों की संख्या \(4 \times 5 \times 3=60\) होगी। इसलिए सही विकल्प 60 है। उदाहरण के लिए, केवल \(4+5+3\) जोड़ना गलत होगा, क्योंकि छात्र को तीनों में से एक-एक चयन करना है। परीक्षा टिप: अलग-अलग चरणों में होने वाले स्वतंत्र विकल्पों के लिए उपलब्ध विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / The choices of language, project, and presentation mode are independent. By the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(4 \times 5 \times 3=60\). Therefore, 60 is the correct option. Adding \(4+5+3\) would be incorrect because the student makes one choice from each of the three categories. Exam tip: Multiply the numbers of choices when selections are made independently in successive stages.
एक (5)-स्थान पासवर्ड में (6) प्रतीक उपलब्ध हैं। पहले दो स्थान समान नहीं हो सकते और अंतिम दो स्थान समान होने चाहिए। पुनरावृत्ति अन्य जगह मान्य है। कुल पासवर्ड कितने हैं?
पहले स्थान के (6) दूसरे के (5) तीसरे के (6) और चौथे-पांचवें समान जोड़े के (6) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5 \times 6 \times 6=1080\) है। / There are (6) choices for the first place (5) for the second (6) for the third and (6) choices for the equal fourth-fifth pair. The total is \(6 \times 5 \times 6 \times 6=1080\).
मुख्य सहायक और अतिरिक्त विषय के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5=210\) है। / For main supporting and extra subjects the choices are (7,6,5) respectively. The total is \(7 \times 6 \times 5=210\).
एक ट्रेन यात्रा में (A) से (B) तक (3) ट्रेनें (B) से (C) तक (5) ट्रेनें और (C) से (D) तक (4) ट्रेनें हैं। वापसी में केवल (C) से (D) वाली ट्रेन दोबारा नहीं लेनी है। कुल आने-जाने के तरीके कितने हैं?
जाने के लिए \(3 \times 5 \times 4\) तरीके हैं। लौटने में (3) विकल्प उस चरण के लिए और (5,3) विकल्प बाकी चरणों के लिए हैं इसलिए कुल \(3 \times 5 \times 4 \times 3 \times 5 \times 3=2700\) है। / For going there are \(3 \times 5 \times 4\) ways. On return there are (3) choices for that restricted stage and (5,3) choices for the other stages so the total is \(3 \times 5 \times 4 \times 3 \times 5 \times 3=2700\).
सभी गुण स्वतंत्र हैं इसलिए कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 6=720\) है। अवतार के हर भाग को अलग चरण मानें। / All features are independent so the total is \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 6=720\). Treat every avatar part as a separate stage.
अंतिम स्थान के लिए (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं और पहले स्थान के लिए फिर (7) गैर-शून्य विकल्प बचते हैं। बाकी दो स्थानों पर (7) और (6) विकल्प हैं इसलिए कुल \(4 \times 7 \times 7 \times 6=1176\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the last place and then (7) non-zero choices remain for the first place. The other two places have (7) and (6) choices so the total is \(4 \times 7 \times 7 \times 6=1176\).
एक (6)-अक्षर कोड में (A,B,C,D,E) ही उपयोग होते हैं। पहला और अंतिम अक्षर समान हैं तथा दूसरा और पांचवां अक्षर समान हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कोड कितने हैं?
पहले दूसरे तीसरे और चौथे स्थान के लिए (5) विकल्प हैं। अंतिम और पांचवां स्थान तय हो जाते हैं इसलिए कुल \(5^4=625\) है। / There are (5) choices each for the first second third and fourth places. The last and fifth places get fixed so the total is \(5^4=625\).
बिना रोक \(4 \times 5 \times 3=60\) कार्ड हैं। (2) रंगों के साथ (3) अवधि वाली (6) अमान्य स्थितियां हटाने पर (54) बचते हैं। / Without restriction there are \(4 \times 5 \times 3=60\) cards. Removing (6) invalid cases from (2) colors with (3) periods leaves (54).
सैकड़ा स्थान (3,4,5,6,7) में से होगा और बाकी दो स्थानों पर (8) और (7) विकल्प होंगे। कुल \(5 \times 8 \times 7=280\) है। / The hundred place is one of (3,4,5,6,7) and the other two places have (8) and (7) choices. The total is \(5 \times 8 \times 7=280\).
एक (5)-स्थान पिन में अंक (0,1,2,3,4,5) उपलब्ध हैं। पहले दो स्थानों पर समान अंक नहीं हो सकते और अंतिम अंक पहले अंक के समान नहीं हो सकता। पुनरावृत्ति अन्य जगह मान्य है। कुल पिन कितने हैं?
पहले स्थान के लिए (6) दूसरे के लिए (5) बीच के दो स्थानों के लिए (6,6) और अंतिम के लिए (5) विकल्प हैं। कुल \(6 \times 5 \times 6 \times 6 \times 5=5400\) है। / There are (6) choices for the first place (5) for the second (6,6) for the two middle places and (5) for the last. The total is \(6 \times 5 \times 6 \times 6 \times 5=5400\).
एक प्रतियोगिता में (9) प्रतिभागियों में से प्रथम द्वितीय और तृतीय पुरस्कार अलग-अलग दिए जाते हैं। कोई प्रतिभागी एक से अधिक पुरस्कार नहीं ले सकता। कुल परिणाम कितने हैं?
प्रथम द्वितीय और तृतीय पुरस्कार के लिए क्रमशः (9,8,7) विकल्प हैं। कुल \(9 \times 8 \times 7=504\) है। / For first second and third prizes the choices are (9,8,7) respectively. The total is \(9 \times 8 \times 7=504\).
चारों प्रश्न स्वतंत्र हैं इसलिए कुल \(3 \times 4 \times 5 \times 2=120\) पैटर्न हैं। विकल्पों की संख्या सीधे गुणा करें। / The four questions are independent so the total is \(3 \times 4 \times 5 \times 2=120\) patterns. Multiply the number of options directly.
अंकों (0,1,2,3,4,5,6,7) से बिना पुनरावृत्ति (4)-अंकीय संख्याएं बनती हैं। पहली जगह (0) नहीं और अंतिम अंक गैर-शून्य सम होना चाहिए। कुल संख्याएं कितनी हैं?
अंतिम स्थान (2,4,6) में से होगा और पहले स्थान पर (6) गैर-शून्य विकल्प बचेंगे। बीच के दो स्थानों पर (6) और (5) विकल्प हैं इसलिए कुल \(3 \times 6 \times 6 \times 5=540\) है। / The last place is one of (2,4,6) and (6) non-zero choices remain for the first place. The middle two places have (6) and (5) choices so the total is \(3 \times 6 \times 6 \times 5=540\).
पांच स्वतंत्र डिज़ाइन चुनाव हैं। कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2=240\) डिज़ाइन होंगे। / There are five independent design choices. The total is \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2=240\) designs.
अंकों के लिए \(7 \times 6 \times 5\) और अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) तरीके हैं। कुल \(7 \times 6 \times 5 \times 5 \times 4=4200\) है। / For digits there are \(7 \times 6 \times 5\) ways and for letters \(5 \times 4\) ways. The total is \(7 \times 6 \times 5 \times 5 \times 4=4200\).
केवल पेय के (7) तरीके पेय-नाश्ते के \(7 \times 5=35\) तरीके और पूरे सेट के \(7 \times 5 \times 3=105\) तरीके हैं। कुल (7+35+105=147) है। / There are (7) ways for only a drink \(7 \times 5=35\) ways for drink with snack and \(7 \times 5 \times 3=105\) ways for a full set. The total is (7+35+105=147).
बस भोजन और संग्रहालय के \(5 \times 4 \times 3\) तरीके हैं। गाइड के लिए (2+1=3) विकल्प हैं इसलिए कुल \(5 \times 4 \times 3 \times 3=180\) है। / There are \(5 \times 4 \times 3\) ways for bus meal and museum. For guide there are (2+1=3) options so the total is \(5 \times 4 \times 3 \times 3=180\).
एक (6)-स्थान कोड में पहले (2) स्थानों पर (3) विकल्प हैं अगले (2) स्थानों पर (4) विकल्प हैं और अंतिम (2) स्थानों पर (2) विकल्प हैं। बीच के (2) स्थानों में विकल्प समान नहीं हो सकते और बाकी जगह पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कोड कितने हैं?
पहले दो स्थानों के लिए \(3^2\) बीच के दो अलग स्थानों के लिए \(4 \times 3\) और अंतिम दो के लिए \(2^2\) विकल्प हैं। कुल \(3^2 \times 4 \times 3 \times 2^2=432\) है। / The first two places have \(3^2\) choices the middle two distinct places have \(4 \times 3\) choices and the last two have \(2^2\) choices. The total is \(3^2 \times 4 \times 3 \times 2^2=432\).
अंतिम अंक (0) हो तो \(8 \times 7 \times 6=336\) तरीके और अंतिम अंक (5) हो तो \(7 \times 7 \times 6=294\) तरीके हैं। कुल (336+294=630) है। / If the last digit is (0) there are \(8 \times 7 \times 6=336\) ways and if the last digit is (5) there are \(7 \times 7 \times 6=294\) ways. The total is (336+294=630).
