Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रतिच्छेद बिंदु दोनों रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करता है। \(y=2\) को \(2x+5y=20\) में रखने पर \(2x+5(2)=20\), अर्थात \(2x+10=20\) मिलता है। इसलिए \(2x=10\) और \(x=5\) है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((5,2)\) है। \((2,5)\) में \(y=5\) है, इसलिए वह \(y=2\) वाली रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: एक समीकरण में दिया हुआ स्थिर चर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / An intersection point must satisfy both line equations. Substituting \(y=2\) into \(2x+5y=20\) gives \(2x+5(2)=20\), or \(2x+10=20\). Thus \(2x=10\) and \(x=5\). Therefore, the intersection point is \((5,2)\). The point \((2,5)\) has \(y=5\), so it cannot lie on the line \(y=2\). Exam tip: Substitute the fixed variable from one equation into the other equation.
((2,4)) पर \(4\ge 3\) और \(4\le 5\) दोनों सत्य हैं। संयुक्त क्षेत्र के लिए सभी असमानताएं जांचें। / At ((2,4)), both \(4\ge 3\) and \(4\le 5\) are true. For a common region, check all inequalities.
A. हल क्षेत्र में और सीमा पर/in solution region and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((1,4)) रखने पर (2+4=6) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\ge\) के कारण शामिल है। / Substituting ((1,4)) gives (2+4=6). Equality puts the point on the boundary and it is included because of \(\ge\).
(x=6) और (y=0) मिलने पर ((6,0)) आता है और यह \(x+2y\le 8\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह क्षेत्र का शीर्ष है। / The intersection of (x=6) and (y=0) is ((6,0)), and it satisfies \(x+2y\le 8\). Hence it is a vertex of the region.
कोई (x) एक साथ (1) से छोटा या बराबर और (4) से बड़ा या बराबर नहीं हो सकता। इसलिए कोई संयुक्त हल नहीं है। / No (x) can be both less than or equal to (1) and greater than or equal to (4). Therefore there is no common solution.
C. दो क्षैतिज रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two horizontal lines
Explanation
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असमानता \(2\le y\le 6\) का अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 2 से 6 के बीच, दोनों सीमाओं सहित, होगा। \(y=2\) और \(y=6\) दोनों क्षैतिज रेखाएँ हैं, इसलिए इनके बीच की बंद पट्टी हल क्षेत्र है। \(y=2\) केवल निचली सीमा रेखा है, पूरा हल क्षेत्र नहीं। परीक्षा टिप: केवल \(y\) वाली असमानताएँ क्षैतिज सीमाएँ देती हैं। / The inequality \(2\le y\le 6\) means that the \(y\)-coordinate of every solution point lies from 2 to 6, including both boundaries. The lines \(y=2\) and \(y=6\) are horizontal, so the closed strip between them is the solution region. The line \(y=2\) alone is only the lower boundary, not the complete solution set. Exam tip: inequalities involving only \(y\) have horizontal boundary lines.
A. सीमा रेखा \(x-y=3\) बिंदीदार होगी और \((0,0)\) वाला अर्ध-समतल छायांकित होगा।/The boundary line \(x-y=3\) will be dashed, and the half-plane containing \((0,0)\) will be shaded.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(<\) कठोर असमता है, इसलिए सीमा रेखा \(x-y=3\) समाधान में शामिल नहीं होती और बिंदीदार बनती है। जाँच बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0<3\) सत्य है, अतः उसी ओर छायांकन होगा। परीक्षा टिप: सीमा पर \(<,>\) के लिए हमेशा बिंदीदार रेखा बनाइए। / The sign \(<\) is strict, so the boundary \(x-y=3\) is not included and must be dashed. Testing \((0,0)\) gives \(0<3\), which is true; therefore, shade the side containing that point. Exam tip: use a dashed line for \(<\) or \(>\).
दिया है \(x-y=4\)। \(x\) को दूसरी ओर ले जाने पर \(-y=4-x\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर \(y=x-4\) प्राप्त होता है। इसलिए सीमा रेखा विकल्प D है। विकल्प A में स्थिरांक का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: \(y\) का गुणांक ऋणात्मक हो तो \(y\) को अकेला करते समय चिह्नों को सावधानी से बदलें। / Given \(x-y=4\), moving \(x\) to the other side gives \(-y=4-x\). Multiplying both sides by \(-1\) gives \(y=x-4\). Hence, option D is the boundary line. Option A has the wrong sign for the constant term. Exam tip: When isolating \(y\) with a negative coefficient, change the signs carefully.
असमानता \(y\ge -x+6\) की सीमा रेखा प्राप्त करने के लिए \(\ge\) के स्थान पर बराबर का चिह्न लेते हैं: \(y=-x+6\)। अब \(x=2\) रखने पर \(y=-2+6=4\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(4\) है। \(6\) केवल \(x=0\) पर \(y\) का मान है। परीक्षा टिप: किसी असमानता की सीमा रेखा के लिए असमानता-चिह्न को पहले \(=\) में बदलें। / To obtain the boundary line of \(y\ge -x+6\), replace \(\ge\) with equality: \(y=-x+6\). Substituting \(x=2\) gives \(y=-2+6=4\). Therefore, the correct answer is \(4\). Note that \(6\) is the value of \(y\) only when \(x=0\). Exam tip: For a boundary line, first replace the inequality sign with \(=\).
बिंदु \((4,0)\) को असमानता \(3x+y\le 9\) में रखने पर \(3(4)+0=12\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(12\le 9\) असत्य है, इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र के बाहर है। सीमा रेखा पर होने के लिए \(3x+y=9\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की स्थिति जाँचने के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर कथन को सत्य या असत्य जाँचें। / Substituting \((4,0)\) into \(3x+y\le 9\) gives \(3(4)+0=12\). Since \(12\le 9\) is false, the point lies outside the solution region. A point would lie on the boundary only if \(3x+y=9\), which is not true here. Exam tip: test a point by substituting its coordinates into the inequality.
