Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
रेखा को शामिल न करने के लिए कठोर असमानता चाहिए। नीचे का भाग (y<3) से दर्शाया जाता है। / A strict inequality is needed to exclude the line. The region below it is represented by (y<3).
(y) को अधिकतम करने के लिए (x) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(2+y\leq 9\) और \(1+y\leq 7\) से \(y\leq 6\) मिलता है। / To maximize (y), take the minimum allowed (x=1). Then \(2+y\leq 9\) and \(1+y\leq 7\) give \(y\leq 6\).
\(y\) का न्यूनतम मान पाने के लिए \(x\) का अधिकतम अनुमत मान \(4\) लेते हैं। तब \(x+y\geq 6\) से \(y\geq 2\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(2x+y\geq 7\) में \(x=4\) रखने पर \(y\geq -1\) मिलता है, और \(y\geq 0\) भी दिया है। अतः सभी शर्तों को मिलाकर \(y\geq 2\), इसलिए न्यूनतम मान \(2\) है। बिंदु \((4,2)\) सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी चर का न्यूनतम मान ज्ञात करते समय सभी प्रतिबंधों से मिलने वाली निचली सीमाओं में सबसे बड़ी सीमा चुनें। / To obtain the minimum value of \(y\), take the largest allowed value of \(x\), namely \(4\). Then \(x+y\geq 6\) gives \(y\geq 2\). Also, substituting \(x=4\) in \(2x+y\geq 7\) gives \(y\geq -1\), while \(y\geq 0\) is already given. Combining all the lower bounds gives \(y\geq 2\), so the minimum value is \(2\). The point \((4,2)\) satisfies every inequality. Exam tip: when minimizing a variable, compare all lower bounds imposed by the constraints.
दोनों रेखाओं की ढाल 2 है, इसलिए वे समानांतर हैं। प्रत्येक \(x\) के लिए \(2x+3\), \(2x-1\) से 4 अधिक है। अतः \(y\) का एक साथ \(2x-1\) से कम या बराबर और \(2x+3\) से अधिक या बराबर होना असंभव है। इसलिए कोई सामान्य क्षेत्र नहीं मिलता। परीक्षा टिप: समान ढाल वाली रेखाओं के लिए नियत पदों की तुलना करके जल्दी जाँचें कि उनके अर्धतल प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं। / Both boundary lines have slope 2, so they are parallel. For every value of \(x\), \(2x+3\) is 4 greater than \(2x-1\). Thus, no value of \(y\) can be simultaneously less than or equal to \(2x-1\) and greater than or equal to \(2x+3\). Hence, there is no common region. Exam tip: for parallel boundary lines, compare the constant terms to quickly check whether the half-planes overlap.
पहली दो शर्तें (x+y=6) और अगली दो शर्तें (x-y=2) देती हैं। दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((4,2)) है। / The first two conditions give (x+y=6), and the next two give (x-y=2). Their intersection is ((4,2)).
(x=0) से (4) तक क्रमशः (5,4,3,2,1) मान मिलते हैं। कुल (15) पूर्णांक बिंदु हैं। / For (x=0) to (4), the numbers of possible (y)-values are (5,4,3,2,1). The total is (15) integer points.
चूँकि \(x\geq 1\) और \(x+y\leq 5\), इसलिए \(x\) के मान \(1,2,3,4\) हो सकते हैं। प्रत्येक मान के लिए \(y\) के धनात्मक पूर्णांक मान क्रमशः \(1\) से \(4\), \(1\) से \(3\), \(1\) से \(2\), और \(1\) से \(1\) तक हैं। अतः बिंदुओं की संख्या \(4+3+2+1=10\) है। \(8\) जैसे विकल्प में कुछ वैध सीमा-बिंदु छूट जाते हैं। परीक्षा टिप: पूर्णांक बिंदु गिनते समय असमानता में बराबरी होने पर सीमा-रेखा के बिंदुओं को भी शामिल करें। / Since \(x\geq 1\) and \(x+y\leq 5\), the possible integer values of \(x\) are \(1,2,3,4\). For these values, the allowable positive integer values of \(y\) are respectively \(1\) to \(4\), \(1\) to \(3\), \(1\) to \(2\), and \(1\) to \(1\). Therefore, the number of points is \(4+3+2+1=10\). An option such as \(8\) misses some valid boundary points. Exam tip: when an inequality includes equality, count the points on the boundary line as well.
पूरे वर्ग का क्षेत्रफल (25) है और रेखा (x+y=4) के नीचे का त्रिभुज क्षेत्रफल (8) है। इसलिए बचा क्षेत्रफल (17) है। / The square has area (25), and the triangle below (x+y=4) has area (8). Therefore the remaining area is (17).
(x=3) को (x+2y=11) में रखने पर (3+2y=11) मिलता है। इसलिए (y=4) और प्रतिच्छेद ((3,4)) है। / Substituting (x=3) in (x+2y=11) gives (3+2y=11). Thus (y=4), and the intersection is ((3,4)).
चूँकि \(x\geq 0\) और \(y\geq 5\), इसलिए \(x+y\geq 5\) होना आवश्यक है। लेकिन तीसरी असमानता \(x+y\leq 4\) है, जो इसके विपरीत है। अतः कोई भी बिंदु तीनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट नहीं करता और हल-क्षेत्र खाली है। \(x+y=4\) वाली रेखा पर भी \(y\geq 5\) संभव नहीं है जब \(x\geq 0\) हो। परीक्षा टिप: असमानताओं को जोड़कर या न्यूनतम/अधिकतम मान देखकर असंगति जल्दी पहचानें। / Since \(x\geq 0\) and \(y\geq 5\), it must follow that \(x+y\geq 5\). However, the third inequality requires \(x+y\leq 4\), which is incompatible with this condition. Therefore, no point satisfies all three inequalities simultaneously, so the solution region is empty. Even on the boundary line \(x+y=4\), \(y\geq 5\) is impossible when \(x\geq 0\). Exam tip: Compare minimum and maximum possible values to spot an inconsistency quickly.
