Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दाईं ओर (x) के मान (3) से बड़े होते हैं और ठोस रेखा बराबरी शामिल करती है। इसलिए \(x\ge 3\) सही है। / To the right, (x)-values are greater than (3), and a solid line includes equality. Therefore \(x\ge 3\) is correct.
रेखा \(y=-2\) के ऊपर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(y\) का मान \(-2\) से बड़ा होता है। टूटी हुई सीमा रेखा बताती है कि रेखा के बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं, इसलिए बराबर का चिह्न नहीं लगेगा। अतः असमानता \(y>-2\) है। \(y\geq -2\) में रेखा भी शामिल होती, जिसके लिए ठोस रेखा बनाई जाती। परीक्षा टिप: शेडिंग ऊपर हो तो \(y\) बड़ा और नीचे हो तो \(y\) छोटा होता है। / For every point above the line \(y=-2\), the value of \(y\) is greater than \(-2\). A dashed boundary means that points on the line are not included, so equality is excluded. Therefore, the inequality is \(y>-2\). The option \(y\geq -2\) would include the boundary line and would be shown with a solid line. Exam tip: shading above a horizontal line means larger \(y\)-values; shading below means smaller \(y\)-values.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=9) के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above (x+y=9) extends infinitely. Hence the solution region is unbounded.
दिए गए प्रतिबंधों से \(0\le x\le 4\) और \(0\le y\le 3\) मिलता है। अतः क्षेत्र \(x\)-अक्ष के समानांतर 4 इकाई लंबाई और \(y\)-अक्ष के समानांतर 3 इकाई चौड़ाई वाला आयत है। इसका क्षेत्रफल \(4\times 3=12\) वर्ग इकाई है। 10 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब क्षेत्र को गलत आकार का माना जाए। परीक्षा टिप: पहले \(x\) और \(y\) की न्यूनतम तथा अधिकतम सीमाएँ लिखकर क्षेत्र का आकार पहचानें। / The constraints give \(0\le x\le 4\) and \(0\le y\le 3\). Therefore, the region is a rectangle with length 4 units parallel to the \(x\)-axis and width 3 units parallel to the \(y\)-axis. Its area is \(4\times 3=12\) square units. A value such as 10 may result from identifying the shape incorrectly. Exam tip: first write the minimum and maximum bounds of \(x\) and \(y\) to identify the region.
रेखा के अवरोध ((9,0)) और ((0,6)) हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\) है। / The intercepts are ((9,0)) and ((0,6)). The area is \(\frac{1}{2}\times 9\times 6=27\).
((1,2)) सीधे (x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए सीमाओं को जोड़ी में काटें। / The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
B. सीमा रेखा को छोड़कर एक खुला अर्धतल/An open half-plane excluding the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(ax+by=c\) सीमा रेखा है। चूँकि चिह्न \(<\) है, रेखा के बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करते; इसलिए रेखा के एक ओर का खुला अर्धतल हल होता है। परीक्षा में \(<\) या \(>\) के लिए बिंदीदार रेखा बनाइए। / \(ax+by=c\) is the boundary line. Since the sign is \(<\), points on this line do not satisfy the inequality, so the solution is an open half-plane on one side. Exam tip: draw a dashed boundary for \(<\) or \(>\).
असमानता \(4x+2y\le 16\) के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर \(2x+y\le 8\) मिलता है। ग्राफ बनाने के लिए असमानता की सीमा रेखा प्राप्त करने हेतु \(\le\) के स्थान पर \(=\) रखते हैं। इसलिए सीमा रेखा \(2x+y=8\) है। विकल्प B सरल की गई असमानता है, सीमा रेखा नहीं। परीक्षा टिप: सीमा रेखा ज्ञात करते समय असमानता के चिह्न को बराबर के चिह्न में बदलें। / Dividing both sides of \(4x+2y\le 16\) by 2 gives \(2x+y\le 8\). To draw the graph, replace the inequality sign with an equality sign to obtain the boundary line. Therefore, the boundary line is \(2x+y=8\). Option B is the simplified inequality, not its boundary line. Exam tip: For a boundary line, always replace the inequality sign with \(=\).
(x=2) और (y=3) का प्रतिच्छेद ((2,3)) है और यह \(x+y\le 10\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह एक शीर्ष है। / The intersection of (x=2) and (y=3) is ((2,3)), and it satisfies \(x+y\le 10\). Therefore it is a vertex.
A. सीमा-रेखा बिंदीदार होगी और उस पर स्थित बिंदु हल में शामिल नहीं होंगे/The boundary line will be dashed, and points on it will not be included in the solution.
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(<\) कठोर असमिका दर्शाता है, इसलिए \(x+2y=6\) वाले बिंदु हल का भाग नहीं हैं और रेखा बिंदीदार बनती है। \(\le\) होता तो रेखा ठोस होती। परीक्षा में पहले असमिका के चिह्न को ध्यान से देखें। / The symbol \(<\) represents a strict inequality, so points satisfying \(x+2y=6\) are excluded and the boundary is dashed. A solid line is used for \(\le\) or \(\ge\). Exam tip: decide the line style from the inequality sign first.
