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D. दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी/strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखाएं (x+2y=10) और (x+2y=4) समानांतर हैं। इनके बीच का बंद क्षेत्र संयुक्त हल है। / The boundary lines (x+2y=10) and (x+2y=4) are parallel. The closed region between them is the common solution.
प्रथम चतुर्थांश में (x) और (y) दोनों गैर-ऋणात्मक हैं। \(x+y\le 0\) तभी संभव है जब दोनों (0) हों। / In the first quadrant, both (x) and (y) are non-negative. The condition \(x+y\le 0\) is possible only when both are (0).
C. सीमा रेखा पर और हल में/on boundary and in solution
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) रखने पर \(3=2\times 2-1\) मिलता है। बराबरी होने से बिंदु सीमा पर है और \(\le\) के कारण हल में है। / Substituting ((2,3)) gives \(3=2\times 2-1\). Equality places the point on the boundary and it is included because of \(\le\).
((3,3)) में \(y\le 2\) असत्य है। संयुक्त हल में आने के लिए सभी शर्तें सत्य होनी चाहिए। / For ((3,3)), the condition \(y\le 2\) is false. To lie in the common solution, all conditions must be true.
पूरे समीकरण को (3) से भाग देने पर (2x+y=6) मिलता है। ग्राफ बनाने से पहले समीकरण सरल कर लेना चाहिए। / Dividing the whole equation by (3) gives (2x+y=6). Simplify the equation before drawing the graph.
((3,-3)) में (y=-3) है और (-3>-4) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / For ((3,-3)), (y=-3), and (-3>-4) is true. In a strict inequality, boundary points are not included.
A. रेखा \(x=-2\) के बाईं ओर का क्षेत्र, रेखा शामिल नहीं/the region to the left of \(x=-2\), excluding the line
Explanation
Simple Explanation
असमानता \(x<-2\) में उन सभी बिंदुओं के \(x\)-निर्देशांक \(-2\) से छोटे होते हैं। इसलिए ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=-2\) के बाईं ओर का अर्ध-समतल लिया जाता है। चूँकि असमानता में \(<\) है, \(=\) नहीं, इसलिए सीमा रेखा समाधान में शामिल नहीं होती और उसे टूटी रेखा से दर्शाते हैं। विकल्प B में दायाँ क्षेत्र तथा रेखा दोनों शामिल हैं, जो \(x\ge -2\) के लिए होता। परीक्षा टिप: \(x\) वाली असमानता में बायाँ-दायाँ क्षेत्र देखें; \(<\) या \(>\) होने पर सीमा रेखा टूटी होती है। / In \(x<-2\), every solution point has an \(x\)-coordinate less than \(-2\). Hence, the required half-plane lies to the left of the vertical boundary line \(x=-2\). Since the inequality is strict, the boundary line is not included and is drawn as a dashed line. Option B includes the right side and the boundary, which would represent \(x\ge -2\). Exam tip: for inequalities involving \(x\), check left or right of the vertical line; use a dashed boundary for \(<\) or \(>\).
(x) दो ऊर्ध्वाधर सीमाओं और (y) दो क्षैतिज सीमाओं के बीच है। इसलिए बंद आयत बनता है। / (x) lies between two vertical boundaries and (y) lies between two horizontal boundaries. Hence a closed rectangle is formed.
B. मूल बिंदु हल में है क्योंकि \(0\le 5\) सत्य है/The origin is in the solution because \(0\le 5\) is true.
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(2(0)-0=0\) मिलता है। अतः असमानता \(0\le 5\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु हल-क्षेत्र में है और उसी ओर का अर्धतल छायांकित होगा। विकल्प C गलत है क्योंकि सीमा रेखा के लिए \(2x-y=5\) होना चाहिए, जबकि मूल बिंदु पर बायाँ पक्ष \(0\) है। परीक्षा टिप: यदि मूल बिंदु सीमा रेखा पर न हो, तो उसे रखकर सही छायांकित पक्ष तुरंत ज्ञात किया जा सकता है। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(2(0)-0=0\). Thus, \(0\le 5\) is true, so the origin lies in the solution region and the half-plane containing it is shaded. Option C is incorrect because a point lies on the boundary only if \(2x-y=5\); at the origin, the left-hand side is \(0\), not \(5\). Exam tip: If the origin is not on the boundary line, substitute it to identify the correct shaded side quickly.
समीकरण \(x-y=2\) से \(y=x-2\) प्राप्त होता है। इसे \(2x+y=7\) में रखने पर \(2x+x-2=7\), अर्थात \(3x=9\), इसलिए \(x=3\) मिलता है। तब \(y=3-2=1\) होगा। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,1)\) है। विकल्प \((4,1)\) में पहला समीकरण सही नहीं होता, क्योंकि \(2(4)+1=9\), 7 नहीं। परीक्षा टिप: प्राप्त बिंदु को दोनों रेखीय समीकरणों में रखकर उत्तर जाँचें। / From \(x-y=2\), we get \(y=x-2\). Substituting this in \(2x+y=7\) gives \(2x+x-2=7\), so \(3x=9\) and \(x=3\). Then \(y=3-2=1\). Therefore, the intersection point is \((3,1)\). Option \((4,1)\) does not satisfy the first equation because \(2(4)+1=9\), not 7. Exam tip: Verify an intersection point by substituting it into both equations.
