Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(3y=12\), अतः \(y=4\)। इसलिए रेखा \(y\)-अक्ष को \((0,4)\) पर काटती है। \((4,0)\) \(x\)-अक्ष पर स्थित बिंदु है, इसलिए वह \(y\)-अवरोध नहीं है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(3y=12\), so \(y=4\). Therefore, the line meets the \(y\)-axis at \((0,4)\). The point \((4,0)\) lies on the \(x\)-axis, so it is not the \(y\)-intercept. Exam tip: always set \(x=0\) to find a \(y\)-intercept.
\(x\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए सीमा रेखा \(4x+y=20\) में \(y=0\) रखते हैं। तब \(4x=20\), अतः \(x=5\)। इसलिए \(x\)-अवरोध \((5,0)\) है। \((0,5)\) \(y\)-अक्ष पर है, इसलिए वह \(x\)-अवरोध नहीं है। परीक्षा टिप: \(x\)-अवरोध के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / To find the \(x\)-intercept, use the boundary line \(4x+y=20\) and put \(y=0\). This gives \(4x=20\), so \(x=5\). Hence, the \(x\)-intercept is \((5,0)\). The point \((0,5)\) lies on the \(y\)-axis, so it is not an \(x\)-intercept. Exam tip: for an \(x\)-intercept, always set \(y=0\).
A. हल में शामिल और सीमा पर/included in solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
((0,0)) रखने पर \(0\le 0\) सत्य है और बराबरी भी है। इसलिए मूल बिंदु सीमा रेखा पर शामिल है। / Substituting ((0,0)) gives \(0\le 0\), which is true with equality. So the origin is included on the boundary line.
पूरी असमानता को (2) से भाग देने पर (x+y<5) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Dividing the whole inequality by (2) gives (x+y<5). Dividing by a positive number does not change the sign.
B. सीमा रेखा बिंदीदार होगी और हल क्षेत्र में शामिल नहीं होगी/The boundary line will be dashed and excluded from the solution region
Explanation
Simple Explanation
सीमा रेखा पाने के लिए \(2x+y=4\) लिखते हैं। क्योंकि \(>\) सख्त असमानता है, रेखा के बिंदु हल नहीं हैं; इसलिए रेखा बिंदीदार बनती है। परीक्षा टिप: \(\ge\) या \(\le\) में ठोस रेखा बनती है। / To obtain the boundary, write \(2x+y=4\). Since \(>\) is a strict inequality, points on the line are not solutions, so the boundary is dashed. Exam tip: use a solid line for \(\ge\) or \(\le\).
बिंदु \((5,0)\) के लिए \(x=5\) है, जो शर्त \(x\le 4\) को संतुष्ट नहीं करता। इसलिए यह बिंदु हल-क्षेत्र में नहीं है। \((4,1)\) के लिए \(x=4\) और \(x+y=5\) है, इसलिए वह सभी असमानताओं को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को जाँचते समय उसके \(x\) और \(y\) मान प्रत्येक असमानता में अलग-अलग रखिए। / For the point \((5,0)\), \(x=5\), which does not satisfy \(x\le 4\). Hence, this point is not in the solution region. For \((4,1)\), \(x=4\) and \(x+y=5\), so it satisfies all the inequalities. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into every inequality separately.
रेखा (x+y=5) है और मूल बिंदु \(0\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करता। ठोस रेखा होने से बराबरी शामिल होगी। / The line is (x+y=5), and the origin does not satisfy \(0\ge 5\). Since the line is solid, equality is included.
प्रथम चतुर्थांश में दोनों रेखाओं के ऊपर का क्षेत्र अनंत तक फैलता है। इसलिए हल क्षेत्र असीमित है। / In the first quadrant, the region above both lines extends infinitely. Therefore the solution region is unbounded.
शीर्ष सीमारेखाओं के प्रतिच्छेद पर बनते हैं। \(y=0\) और \(y=x-2\) को साथ हल करने पर \(0=x-2\), अतः \(x=2\) मिलता है। इसलिए \((2,0)\) क्षेत्र का एक शीर्ष है। \((6,6)\) में \(y\le x-2\) असत्य है, क्योंकि \(6\le4\) नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक विकल्प को सभी असमिकाओं में रखकर भी जाँच सकते हैं। / Vertices occur at intersections of boundary lines. Solving \(y=0\) and \(y=x-2\) gives \(0=x-2\), so \(x=2\). Therefore, \((2,0)\) is a vertex of the region. For \((6,6)\), \(y\le x-2\) is false because \(6\le4\) is not true. Exam tip: Substitute each option into all the inequalities to check it quickly.
असमानता की सीमा रेखा \(3x+y=15\) होगी। \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(3x=15\), अतः \(x=5\) मिलता है। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(y=15\) मिलता है। इसलिए अवरोध \((5,0)\) और \((0,15)\) हैं। विकल्प B में दोनों मान आपस में बदल गए हैं। परीक्षा टिप: किसी रेखा के अवरोध ज्ञात करने के लिए बारी-बारी से दूसरे चर को शून्य रखें। / The boundary line of the inequality is \(3x+y=15\). For the \(x\)-intercept, put \(y=0\): \(3x=15\), so \(x=5\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\): \(y=15\). Hence, the intercepts are \((5,0)\) and \((0,15)\). In option B, the two values are interchanged. Exam tip: To find intercepts of a line, set one variable to zero at a time.
