Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
असमानता \(x+2y\leq 6\) में बराबरी का चिह्न भी शामिल है। इसलिए सीमा रेखा \(x+2y=6\) पर स्थित बिंदु हल-क्षेत्र में आते हैं और इसे ठोस रेखा से दर्शाया जाता है। टूटी हुई रेखा केवल \(<\) या \(>\) जैसी कठोर असमानताओं के लिए बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) दिखे तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / The inequality \(x+2y\leq 6\) includes equality. Hence, the points on the boundary line \(x+2y=6\) belong to the solution region, so the boundary is drawn as a solid line. A dashed line is used only for strict inequalities such as \(<\) or \(>\). Exam tip: draw a solid boundary whenever \(\leq\) or \(\geq\) appears.
B. रेखा टूटी हुई होगी/The boundary line will be dashed
Explanation
Simple Explanation
असमानता x+2y>6 की सीमा रेखा x+2y=6 है। क्योंकि चिह्न > है, इसलिए रेखा पर स्थित बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते। अतः सीमा रेखा टूटी हुई खींची जाती है। ठोस रेखा केवल ≥ या ≤ वाली असमानताओं में बनती है। परीक्षा टिप: पहले असमानता को बराबर करके सीमा रेखा बनाइए, फिर चिह्न देखकर ठोस या टूटी रेखा चुनिए। / The boundary line for x+2y>6 is x+2y=6. Since the inequality sign is >, points on this line are not included in the solution region. Therefore, the boundary line is drawn dashed. A solid line is used only for inequalities containing ≥ or ≤. Exam tip: First replace the inequality sign with = to obtain the boundary line, then use the sign to decide whether the line is solid or dashed.
रेखा \(y=4\) एक क्षैतिज रेखा है। इसके नीचे स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए \(y\)-निर्देशांक 4 से कम या 4 के बराबर होता है, इसलिए \(y \leq 4\) सही असमानता है। \(y<4\) भी केवल रेखा के नीचे का भाग देता, लेकिन उसमें स्वयं रेखा शामिल नहीं होती; \(\leq\) रेखा को भी शामिल करता है। परीक्षा टिप: क्षैतिज रेखा \(y=a\) के नीचे के क्षेत्र के लिए \(y\leq a\) लिखते हैं। / The line \(y=4\) is horizontal. For every point on or below it, the \(y\)-coordinate is less than or equal to 4, so \(y \leq 4\) is correct. Although \(y<4\) would represent only the region strictly below the line, it would not include the line itself; \(\leq\) includes the boundary line. Exam tip: For the region below a horizontal line \(y=a\), use \(y\leq a\).
रेखा \(x=-2\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। इसके दाईं ओर स्थित प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(-2\) से अधिक होता है, इसलिए हल-क्षेत्र \(x>-2\) होगा। \(x<-2\) रेखा के बाईं ओर का क्षेत्र दर्शाता है, जबकि \(y\) वाली असमानताएँ क्षैतिज क्षेत्रों को दर्शाती हैं। परीक्षा टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=a\) के दाईं ओर के लिए \(x>a\) लिखें। / The line \(x=-2\) is vertical. Every point to its right has an \(x\)-coordinate greater than \(-2\), so the required solution region is \(x>-2\). The inequality \(x<-2\) represents the region to the left, whereas inequalities involving \(y\) represent horizontal regions. Exam tip: for the region to the right of \(x=a\), write \(x>a\).
बिंदु \((2,1)\) के लिए \(x+2y=2+2(1)=4\) प्राप्त होता है, इसलिए यह रेखा \(x+2y=4\) पर स्थित है। विकल्प \((0,1)\) में बायाँ पक्ष \(2\) आता है, इसलिए वह रेखा पर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के रेखा पर होने की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान समीकरण में रखकर दोनों पक्षों की बराबरी जाँचें। / For the point \((2,1)\), \(x+2y=2+2(1)=4\), so it satisfies the equation \(x+2y=4\) and lies on the line. For \((0,1)\), the left-hand side is \(2\), not \(4\), so it does not lie on the line. Exam tip: Substitute the coordinates in the line equation; a point lies on the line only when the equality is satisfied.
A. सीमा रेखा बिंदीदार खींची जाती है और उसके बिंदु हल में शामिल नहीं होते।/The boundary line is drawn dashed, and its points are not included in the solution.
Explanation
Simple Explanation
‘>’ कठोर असमता है; अतः \(x+2y=6\) के बिंदु हल में नहीं आते और रेखा बिंदीदार होती है। परीक्षा में \((0,0)\) जाँचकर सही पक्ष चुनें; ठोस रेखा \(\ge,\le\) के लिए है। / Since ‘>’ is strict, points on \(x+2y=6\) are excluded, so the boundary is dashed. In exams, test \((0,0)\) to choose the side; a solid line is used for \(\ge\) or \(\le\).
A. हल में है और सीमा पर है/In solution and on boundary
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((8,0)\) रखने पर \(x+y=8+0=8\) मिलता है, इसलिए \(8\leq 8\) सत्य है। अतः यह बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल है। क्योंकि यहाँ बराबरी प्राप्त होती है, बिंदु सीमा रेखा \(x+y=8\) पर स्थित है। विकल्प B गलत है क्योंकि असमानता संतुष्ट हो रही है। परीक्षा टिप: \(\leq\) या \(\geq\) में बराबरी वाले बिंदु भी हल-क्षेत्र में आते हैं। / Substituting \((8,0)\) gives \(x+y=8+0=8\), so \(8\leq 8\) is true. Therefore, the point belongs to the solution region. Since equality holds, it lies on the boundary line \(x+y=8\). Option B is incorrect because the inequality is satisfied. Exam tip: For \(\leq\) or \(\geq\), points giving equality are included in the solution set.
मूलबिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0\leq4\) सत्य है, इसलिए आवश्यक भाग \(x+y=4\) के मूलबिंदु वाले पक्ष में होगा। सीमा रेखा भी शामिल है, अतः \(\leq\) लगेगा; \(<\) में रेखा शामिल नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले दिए गए बिंदु को असमानता में जाँचें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0\leq4\), so the required region lies on the origin side of \(x+y=4\). Since the boundary is included, the sign must be \(\leq\); \(<\) excludes the line. Exam tip: test the given point first.
सीमा रेखा पाने के लिए असमानता को \(2x+3y=12\) लिखते हैं। \(y\)-अंतःखंड पर \(x=0\) होता है। अतः \(3y=12\), इसलिए \(y=4\)। इसलिए सही विकल्प 4 है। \(x\)-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखा जाता है, इसलिए उसे \(y\)-अंतःखंड से न मिलाएँ। परीक्षा टिप: किसी रेखा का \(y\)-अंतःखंड निकालने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To obtain the boundary line, write the inequality as \(2x+3y=12\). At the \(y\)-intercept, \(x=0\). Thus, \(3y=12\), so \(y=4\). Therefore, option 4 is correct. Setting \(y=0\) gives the \(x\)-intercept, not the \(y\)-intercept. Exam tip: always set \(x=0\) to find a line's \(y\)-intercept.
((6,7)) रखने पर \(13\leq 10\) असत्य है। बाहर वाला बिंदु असमानता को संतुष्ट नहीं करता। / Substituting ((6,7)) gives \(13\leq 10\), which is false. An outside point does not satisfy the inequality.
