Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बिंदु \((1,2)\) के लिए \(x+y=1+2=3\) है और \(3\leq5\) सत्य है, इसलिए यह हल-क्षेत्र में स्थित है। इसके विपरीत, निकटतम विकल्प \((3,3)\) के लिए \(x+y=6\) होता है, जो 5 से अधिक है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल-क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान असमानता में रखिए। / For \((1,2)\), \(x+y=1+2=3\), and \(3\leq5\) is true. Hence, this point lies in the solution region. In contrast, the closest distractor \((3,3)\) gives \(x+y=6\), which is greater than 5. Exam tip: Substitute the coordinates of a point into the inequality to test whether it belongs to the solution region.
((2,3)) रखने पर (2+6>8) अर्थात (8>8) नहीं, इसलिए ध्यान दें। सही जाँच में कोई बराबरी नहीं चाहिए। / Substitution must make the expression strictly greater than (8). Here no equality is allowed in a strict inequality.
((2,4)) रखने पर (2+8>8) सत्य है। कठोर असमानता में बराबर वाला बिंदु न चुनें। / Substituting ((2,4)) gives (2+8>8), which is true. Do not choose an equal boundary point in a strict inequality.
बिंदु \((3,1)\) को असमानता में रखने पर \(2(3)+1=7\) प्राप्त होता है। चूँकि \(7\leq 7\) सत्य है, इसलिए बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में है। यह सीमा रेखा \(2x+y=7\) पर स्थित है और \(\leq\) होने के कारण सीमा रेखा भी हल में शामिल होती है। विकल्प C गलत है क्योंकि बिंदु किसी अक्ष पर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु की जाँच के लिए उसके \(x\) और \(y\) मान सीधे असमानता में रखिए। / Substituting \((3,1)\) into the inequality gives \(2(3)+1=7\). Since \(7\leq 7\) is true, the point belongs to the solution region. It lies on the boundary line \(2x+y=7\), and the boundary is included because the inequality contains \(\leq\). Option C is incorrect because the point does not lie on either axis. Exam tip: Test a point by directly substituting its coordinates into the inequality.
असमानता में \(\leq\) या \(\geq\) होने पर बराबरी का मामला भी स्वीकार्य होता है। इसलिए \(2x+y=9\) वाली सीमा रेखा हल-क्षेत्र में शामिल होती है और उसे ठोस रेखा से दर्शाते हैं। \(<\) तथा \(>\) में सीमा रेखा शामिल नहीं होती; उन्हें सामान्यतः बिंदीदार रेखा से दिखाया जाता है। परीक्षा टिप: चिह्न में बराबरी की रेखा हो तो सीमा रेखा ठोस बनाइए। / With \(\leq\) or \(\geq\), equality is allowed. Hence the boundary line \(2x+y=9\) is included in the solution region and is drawn as a solid line. For \(<\) and \(>\), the boundary line is excluded and is usually drawn dashed. Exam tip: if the inequality sign contains an equality bar, draw a solid boundary line.
विकल्प D में कठोर असमानता \(<\) है। ऐसी असमानता में सीमा रेखा \(y=x+2\) के बिंदु हल-क्षेत्र में शामिल नहीं होते, इसलिए उसे टूटी हुई रेखा से दर्शाते हैं। इसके विपरीत \(\leq\) या \(\geq\) में सीमा रेखा शामिल होती है और ठोस रेखा बनाई जाती है। परीक्षा टिप: \(<\) और \(>\) के लिए हमेशा टूटी हुई सीमा रेखा बनाइए। / Option D uses the strict inequality \(<\). The points on the boundary line \(y=x+2\) are not part of its solution region, so the boundary is drawn as a dashed line. In contrast, \(\leq\) and \(\geq\) include the boundary and require a solid line. Exam tip: use a dashed boundary for \(<\) and \(>\).
मूल बिंदु के लिए \(x=0\) और \(y=0\) रखते हैं। तब \(x+y\leq 1\) से \(0+0\leq 1\), अर्थात \(0\leq 1\), प्राप्त होता है, जो सत्य है। इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में है। \(1\leq 0\) सत्य नहीं है और यह प्रतिस्थापन से भी प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखिए। / For the origin, substitute \(x=0\) and \(y=0\). Then \(x+y\leq 1\) becomes \(0+0\leq 1\), i.e., \(0\leq 1\), which is true. Therefore, the origin lies in the solution region of the inequality. \(1\leq 0\) is false and does not result from the substitution. Exam tip: To check whether a point belongs to a solution region, substitute its coordinates in the inequality.
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x+y=0+0=0\) मिलता है। क्योंकि \(0\geq -3\) सत्य है, इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल-क्षेत्र में शामिल है। यह केवल सीमा पर नहीं है, क्योंकि सीमा रेखा \(x+y=-3\) है और मूल बिंदु के लिए योग 0 है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु के हल-क्षेत्र में होने की जाँच के लिए उसके निर्देशांक असमानता में रखकर सत्यता जाँचें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(x+y=0+0=0\). Since \(0\geq -3\) is true, the origin belongs to the solution region of the inequality. It is not only on the boundary, because the boundary line is \(x+y=-3\), whereas the sum at the origin is 0. Exam tip: To test whether a point lies in a solution region, substitute its coordinates into the inequality and check whether it is true.
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(x-y\leq 2\) से \(0-0\leq 2\), अर्थात \(0\leq 2\) प्राप्त होता है। यह सत्य है, इसलिए मूल बिंदु उस अर्ध-तल में स्थित है जो असमानता को संतुष्ट करता है। विकल्प B में इसी सत्य कथन को असत्य कहा गया है। परीक्षा टिप: ग्राफ में उस ओर छायांकन करें जिसमें कोई परीक्षण बिंदु असमानता को सत्य बनाता हो। / Substituting the origin \((0,0)\) into \(x-y\leq 2\) gives \(0-0\leq 2\), i.e. \(0\leq 2\). This is true, so the origin lies in the half-plane that satisfies the inequality. Option B incorrectly calls this true statement false. Exam tip: shade the side of the boundary line for which a test point satisfies the inequality.
B. मूल बिंदु हल में नहीं है/Origin is not in solution
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु \((0,0)\) रखने पर \(0-0\geq 2\), अर्थात \(0\geq 2\), प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए मूल बिंदु असमानता के हल क्षेत्र में नहीं है और मूल बिंदु वाला पक्ष छायांकित नहीं किया जाएगा। सीमा रेखा \(x-y=2\) फिर भी बनेगी। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने के बाद कथन सत्य हो तो उसका पक्ष, और असत्य हो तो दूसरा पक्ष चुनें। / Substituting the origin \((0,0)\) gives \(0-0\geq 2\), i.e. \(0\geq 2\), which is false. Therefore, the origin is not in the solution region, so the side containing the origin is not shaded. The boundary line \(x-y=2\) still exists. Exam tip: if the test point makes the inequality true, choose its side; if false, choose the opposite side.
