Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दी गई असमानता की सीमा रेखा \(x+5y=10\) होगी। \(x\)-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(x=10\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((10,0)\) है। \(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(5y=10\), अर्थात \(y=2\) मिलता है, इसलिए बिंदु \((0,2)\) है। विकल्प B में अवरोधों के मान आपस में गलत हैं। परीक्षा टिप: सीमा रेखा के अवरोध ज्ञात करने के लिए बारी-बारी से एक चर को शून्य रखें। / The boundary line of the given inequality is \(x+5y=10\). For the \(x\)-intercept, put \(y=0\); this gives \(x=10\), so the point is \((10,0)\). For the \(y\)-intercept, put \(x=0\); then \(5y=10\), so \(y=2\) and the point is \((0,2)\). Option B incorrectly interchanges the intercept values. Exam tip: To find intercepts of a line, set one variable to zero at a time.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(2\) से भाग देने पर \(6x/2+2y/2\geq 12/2\), अर्थात \(3x+y\geq 6\) मिलता है। धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B में चिह्न गलत दिशा में है। परीक्षा टिप: असमानता को सरल करते समय जाँचें कि जिस संख्या से गुणा या भाग किया जा रहा है, वह ऋणात्मक तो नहीं है; केवल ऋणात्मक संख्या के लिए चिह्न उलटता है। / Dividing both sides of the inequality by the positive number \(2\) gives \(6x/2+2y/2\geq 12/2\), i.e., \(3x+y\geq 6\). The inequality sign does not change when dividing by a positive number. Option B incorrectly reverses the sign. Exam tip: Check whether the number used for multiplication or division is negative; the inequality sign reverses only for a negative number.
A. प्रथम चतुर्थांश में सीमा रेखा के नीचे/in first quadrant below the boundary line
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 0\) और \(y\geq 0\) प्रथम चतुर्थांश देते हैं। \(2x+y\leq 4\) रेखा के नीचे का भाग चुनता है। / \(x\geq 0\) and \(y\geq 0\) give the first quadrant. \(2x+y\leq 4\) selects the part below the line.
किसी बिंदु के हल क्षेत्र में होने के लिए उसके निर्देशांकों को असमानता x+2y>4 में रखने पर परिणाम 4 से बड़ा होना चाहिए। विकल्प D के लिए 1+2(3)=7, और 7>4 है, इसलिए (1,3) हल क्षेत्र में है। विकल्प B में 1+2(1)=3 आता है, जो 4 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: सख्त असमानता > में सीमा रेखा के बिंदु शामिल नहीं होते। / A point lies in the solution region if substituting its coordinates into x+2y>4 gives a value greater than 4. For option D, 1+2(3)=7, and 7>4, so (1,3) lies in the solution region. For option B, 1+2(1)=3, which is not greater than 4. Exam tip: For the strict inequality >, points on the boundary line are not included.
असमानता की सीमा रेखा \(4x+3y=12\) होगी। x-अवरोध के लिए \(y=0\) रखने पर \(4x=12\), अतः \(x=3\) मिलता है, यानी बिंदु \((3,0)\)। y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखने पर \(3y=12\), अतः \(y=4\), यानी बिंदु \((0,4)\)। विकल्प B में अवरोधों के मान आपस में बदल दिए गए हैं। परीक्षा टिप: अक्षीय अवरोध निकालते समय दूसरे चर को शून्य रखें। / The boundary line of the inequality is \(4x+3y=12\). For the x-intercept, put \(y=0\): \(4x=12\), so \(x=3\), giving \((3,0)\). For the y-intercept, put \(x=0\): \(3y=12\), so \(y=4\), giving \((0,4)\). In option B, the intercept values have been interchanged. Exam tip: to find an intercept on one axis, set the other variable equal to zero.
\(-3y\geq 6-x\) से \(y\leq \frac{x-6}{3}\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिन्ह बदलता है। / From \(-3y\geq 6-x\), we get \(y\leq \frac{x-6}{3}\). The inequality sign changes when dividing by a negative number.
A. मूल बिंदु वाली ओर छायांकन होगा/shade the side containing the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु रखने पर \(0\leq \frac{0}{2}+2\), अर्थात \(0\leq 2\), प्राप्त होता है, जो सत्य है। इसलिए मूल बिंदु जिस ओर है, उसी ओर का अर्ध-तल हल क्षेत्र होगा। \(\leq\) होने के कारण सीमा रेखा भी हल में शामिल रहती है; वह हटाई नहीं जाती। परीक्षा टिप: किसी बिंदु को असमानता में रखने पर सत्य परिणाम मिले तो उस बिंदु वाली ओर छायांकन करें। / Substituting the origin gives \(0\leq \frac{0}{2}+2\), i.e., \(0\leq 2\), which is true. Therefore, the half-plane on the side containing the origin is the solution region. Since the sign is \(\leq\), the boundary line is also included; it is not removed. Exam tip: if a test point makes an inequality true, shade the side containing that point.
C. यह सीमा रेखा पर है, लेकिन हल में शामिल नहीं है/It lies on the boundary line but is not included in the solution
Explanation
Simple Explanation
बिंदु
(4,2) रखने पर
\(2(4)+2=10\) मिलता है। अतः बिंदु सीमा रेखा \(2x+y=10\) पर स्थित है। दी गई असमानता में \(>\) है, जिसमें बराबरी शामिल नहीं होती; इसलिए यह बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं है। निकट विकल्प B गलत है क्योंकि वह बराबरी को शामिल मानता है। परीक्षा टिप: कठोर असमानताओं \(>\) और \(<\) में सीमा रेखा बिंदुओं को हल में नहीं लेते हैं। / Substituting
(4,2) gives
\(2(4)+2=10\). Hence, the point lies on the boundary line \(2x+y=10\). Since the inequality uses \(>\), equality is not included, so this point is not part of the solution region. Option B is incorrect because it includes equality. Exam tip: For strict inequalities, \(>\) and \(<\), points on the boundary line are excluded.
B. रेखा (x=1) के दाएँ और (y=2) के ऊपर/right of (x=1) and above (y=2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\geq 1\) दाईं ओर और \(y\geq 2\) ऊपर का क्षेत्र देता है। दोनों का सामान्य भाग ही संयुक्त हल है। / \(x\geq 1\) gives the region to the right and \(y\geq 2\) gives the region above. Their common part is the combined solution.
A. बिंदु \((0,1)\) वाली ओर/the side containing \((0,1)\)
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((0,1)\) रखने पर \(2(0)-1=-1\) मिलता है और \(-1\leq 0\) सत्य है। इसलिए \((0,1)\) जिस अर्ध-तल में है, उसी ओर छायांकन होगा। सीमा रेखा \(2x-y=0\) भी शामिल होगी, क्योंकि असमानता में \(\leq\) है। परीक्षा टिप: परीक्षण बिंदु रखने पर असमानता सत्य आए तो उस बिंदु वाली ओर छायांकन करें। / Substituting \((0,1)\) gives \(2(0)-1=-1\), and \(-1\leq 0\) is true. Therefore, the half-plane containing \((0,1)\) is shaded. The boundary line \(2x-y=0\) is also included because the inequality contains \(\leq\). Exam tip: if a test point satisfies the inequality, shade the side containing that point.
