Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। दोहराए गए अवयव केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
यहां \(A\cap B={1,3,5,15}\) है, इसलिए संघ से सामान्य भाग हटता है। परीक्षा में पहले गुणनखंडों की पूरी सूची बनाएं। / Here \(A\cap B={1,3,5,15}\), so the common part is removed from the union. In exams, first list all factors completely.
\(A\cap B\) में केवल समान अवयव आते हैं। यहां समान अवयव (6) और (12) हैं। / \(A\cap B\) contains only common elements. Here the common elements are (6) and (12).
पहले \(A\cap B={2,4,6,8}\) मिलता है। इसमें से (C) के (4) और (8) हटाने पर ({2,6}) बचता है। / First \(A\cap B={2,4,6,8}\). Removing (4) and (8) from (C) leaves ({2,6}).
\(A\setminus B\) में (A) के वे अवयव रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। इसलिए (c) और (g) हट जाते हैं। / \(A\setminus B\) keeps elements of (A) that are not in (B). So (c) and (g) are removed.
एक सर्वे में (58) विद्यार्थी ऑनलाइन कक्षा लेते हैं, (46) विद्यार्थी पुस्तकालय जाते हैं और (21) दोनों करते हैं। केवल एक ही गतिविधि करने वाले विद्यार्थियों की संख्या क्या है?
केवल एक गतिविधि (=(58-21)+(46-21)=62) है। ऐसे प्रश्न में दोनों वाले भाग को दोनों समूहों से अलग-अलग घटाएं। / Exactly one activity is ((58-21)+(46-21)=62). In such questions, subtract the both part from each group separately.
\(B\setminus A\) में (B) से (A) के सामान्य अवयव हटते हैं। (4) और (16) हटाने पर (36) बचता है। / In \(B\setminus A\), common elements of (A) are removed from (B). Removing (4) and (16) leaves (36).
दोनों अंतरों के रिक्त होने का अर्थ है कि दोनों समुच्चयों में कोई अतिरिक्त अवयव नहीं है। इसलिए (A=B) होगा। / Both differences being empty means neither set has any extra element. Therefore (A=B).
\(A=\{1,3,5,7,9\}\) और \(B=\{2,3,5,7\}\), इसलिए समान अवयव (3,5,7) हैं। (1) अभाज्य नहीं है। / \(A=\{1,3,5,7,9\}\) and \(B=\{2,3,5,7\}\), so the common elements are (3,5,7). Remember that (1) is not prime.
\(यदि (A={x:x\in\mathbb{Z},-5<x<4}) और (B={x:x\in\mathbb{Z},x\) सम है\(}) हैं, तथा केवल (B) के वे अवयव लिए जाएं जो (-5<x<4) को संतुष्ट करते हैं, तो (A\setminus B) क्या है\)?
\(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) है और सम अवयव हट जाते हैं। इसलिए विषम अवयव ({-3,-1,1,3}) बचते हैं। / \(A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), and the even elements are removed. Therefore the odd elements ({-3,-1,1,3}) remain.
दोनों पूर्णांक अंतरालों को मिलाने पर (-4) से (4) तक सभी पूर्णांक मिलते हैं। संघ में सभी उपलब्ध अवयव लिखें। / Combining both integer intervals gives all integers from (-4) to (4). In union, write every available element.
\(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) है, इसमें से (2,4,6) हटते हैं। इसलिए \(A\setminus B={1,3,5,7}\)। / \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), and (2,4,6) are removed from it. Hence \(A\setminus B={1,3,5,7}\).
तीनों समुच्चयों में (3) और (6) दोनों हैं। तीन-समुच्चय प्रतिच्छेद में अवयव सभी समुच्चयों में होना चाहिए। / Both (3) and (6) are in all three sets. In a three-set intersection, an element must be in every set.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=31+28-46=13) है। संघ दिया हो तो सामान्य भाग इसी सूत्र से निकालें। / By the formula, (n\(A\cap B\)=31+28-46=13). When union is given, find the common part using this formula.
समुच्चय (A) दो भागों \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n(A)=17+11=28)। / Set (A) is made of two parts, \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Therefore (n(A)=17+11=28).
(B) के दो भाग \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) हैं। इसलिए (n\(A\cap B\)=42-25=17)। / The two parts of (B) are \(B\setminus A\) and \(A\cap B\). Hence (n\(A\cap B\)=42-25=17).
केवल गणित (=40-18=22) है। केवल वाले प्रश्न में दोनों वाले भाग को घटाएं। / Only mathematics is (40-18=22). In only-type questions, subtract the both part.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\) और \(B\cap A=A\) होता है। उपसमुच्चय प्रश्न में बड़ा और छोटा समुच्चय पहचानें। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\) and \(B\cap A=A\). In subset questions, identify the larger and smaller sets.
यदि (B) का हर अवयव (A) में है, तो (B) में ऐसा कुछ नहीं बचता जो (A) में न हो। इसलिए \(B\setminus A=\emptyset\)। / If every element of (B) is in (A), nothing remains in (B) that is not in (A). Hence \(B\setminus A=\emptyset\).
असंबद्ध समुच्चयों में सामान्य भाग (0) होता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=15+18=33)। / For disjoint sets, the common part is (0). Therefore (n\(A\cup B\)=15+18=33).
(A) में सम संख्याएं और (B) में विषम संख्याएं हैं, इसलिए कोई समान अवयव नहीं है। अतः प्रतिच्छेद रिक्त है। / (A) has even numbers and (B) has odd numbers, so there is no common element. Hence the intersection is empty.
यह संघ का प्रतिच्छेद पर वितरण है। वितरण नियम में बाहर का समुच्चय दोनों भागों के साथ जुड़ता है। / This is distribution of union over intersection. In the distributive law, the outside set combines with both parts.
जब सामान्य भाग पूरा (B) है, तो (B) का हर अवयव (A) में है। अतः \(B\subseteq A\)। / When the common part is the whole set (B), every element of (B) is in (A). Thus \(B\subseteq A\).
संघ ( {1,3,5,7,9} ) और प्रतिच्छेद ( {3,7} ) है। प्रतिच्छेद हटाने पर ( {1,5,9} ) बचता है। / The union is ( {1,3,5,7,9} ) and the intersection is ( {3,7} ). Removing the intersection leaves ( {1,5,9} ).
\(A\setminus B={2,7}\) और \(B\setminus A={1,9}\) है। दोनों का संघ ({1,2,7,9}) है। / \(A\setminus B={2,7}\) and \(B\setminus A={1,9}\). Their union is ({1,2,7,9}).
(24) और (36) के सामान्य गुणनखंड (1,2,3,4,6,12) हैं। गुणनखंड वाले प्रश्न में पहले दोनों सूचियां बनाएं। / The common factors of (24) and (36) are (1,2,3,4,6,12). In factor questions, first make both lists.
(A) में (3) के गुणज और (B) में (7) के गुणज हैं। संघ में (21) को दो बार नहीं लिखते। / (A) has multiples of (3), and (B) has multiples of (7). In the union, do not write (21) twice.
संघ में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। (U) केवल सार्वत्रिक सीमा देता है। / The union contains all distinct elements of (A) and (B). (U) only gives the universal boundary.
(A) और (B) दोनों में (c) और (e) हैं। प्रतिच्छेद में केवल साझा अवयव रखें। / Both (A) and (B) contain (c) and (e). Keep only shared elements in the intersection.
\(B\setminus A={5,6}\) है और इसमें (A) का कोई अवयव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(B\setminus A={5,6}\), and it has no element of (A). Hence the intersection is empty.
\(B\setminus A={r,s}\) है। इसे (A) से मिलाने पर \(A\cup B\) जैसा पूरा समुच्चय मिलता है। / \(B\setminus A={r,s}\). Combining it with (A) gives the complete set same as \(A\cup B\).
क्योंकि \(B\subseteq A\), \(A\setminus B={1,3,5}\) है। इसे (B) से मिलाने पर पूरा (A) वापस मिलता है। / Since \(B\subseteq A\), \(A\setminus B={1,3,5}\). Union with (B) gives the whole set (A) back.
\(A\cap B={4,6}\) है, जबकि (5) संघ में है पर प्रतिच्छेद में नहीं। पहले साझा अवयव पहचानें। / \(A\cap B={4,6}\), while (5) is in the union but not in the intersection. Identify common elements first.
\(A\cup B\) सभी अलग-अलग अवयवों का समुच्चय होना चाहिए, केवल सामान्य भाग नहीं। सही संघ ({0,1,2,3,4,6}) है। / \(A\cup B\) should be the set of all distinct elements, not only the common part. The correct union is ({0,1,2,3,4,6}).
(B) के सभी अवयव (15) तक की संयुक्त संख्याएं हैं, इसलिए \(B\subseteq A\)। अतः \(B\setminus A=\emptyset\)। / All elements of (B) are composite numbers up to (15), so \(B\subseteq A\). Hence \(B\setminus A=\emptyset\).
(B) से (C) के सामान्य अवयव (2) और (4) हटते हैं। इसलिए \(B\setminus C={6,8}\)। / The common elements (2) and (4) of (C) are removed from (B). Hence \(B\setminus C={6,8}\).
\(B\cap C={s,u}\), लेकिन (A) में केवल (s) हटेगा। इसलिए (A\setminus\(B\cap C\)={p,q,r,t})। / \(B\cap C={s,u}\), but only (s) is removed from (A). Thus (A\setminus\(B\cap C\)={p,q,r,t}).
\(A\setminus B\) में केवल (A) के ही कुछ अवयव बचते हैं। इसलिए \(A\setminus B\subseteq A\) हमेशा सत्य है। / \(A\setminus B\) contains only some elements of (A). Therefore \(A\setminus B\subseteq A\) is always true.
